第四章万有引力第四节

第四节万有引力

所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。第一定律(轨道定律)补充：开普勒定律

从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积.第二定律(面积定律)则说明：行星离太阳近时速度快，离太阳远时速度慢。V1R1=V2R2

行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量.第三定律：（周期定律）注意：比值k是一个对所有行星都相同的常量，与行星无关，是只与太阳（中心天体）的质量有关的恒量。C太阳半长轴rAB行星一、万有引力定律知识梳理1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的_____成正比，与它们之间距离r的______成反比．2．表达式：F＝

，其中G＝___________N·m2/kg2，叫引力常量．要点整合·基础落实乘积二次方6.67×10－11著名的“月-地”检验3．适用条件：公式适用于质点间的相互作用．但对于不能看做质点的两个质量分布均匀的球体间的相互作用是适用的，此时r是

的距离；另外，对于一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的相互作用万有引力定律也适用，其中r为

的距离．两球心间球心到质点答案ABD（1）实验原理：科学方法——放大法卡文迪许卡文迪许实验室现代科技测得的G值为6.67×10-11

Nm2/kg2补充：引力常量的测量——扭秤实验（２）卡文迪许测得

G值为6.745×10-11

Nm2/kg2（３）卡文迪许扭称实验的意义①证明了万有引力的存在，使万有引力定律进入了真正实用的时代；②开创了微小量测量的先河，使科学放大思想得到推广。注意：若忽略地球的自转，则有：卡文迪许被称为“能称出地球质量的人”！补充：重力与万有引力的关系万有引力（指向地心）分解F向=mω2r（指向所在纬度圆心）G=mg(竖直向下）1.2.纬度增加，F向=mω2r减小，G增加，g也增加。特别地：两极点：F向=0，赤道上：O1OFF向mgφω不考虑地球自转的影响，地球表面的物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。------黄金代换式3.黄金代换式4.重力加速度的计算方法:g=GMR2补充：人造卫星人造卫星的轨道（1）地心是椭圆轨道的一个焦点或是圆轨道的圆心；（2）做匀速圆周运动的卫星a向=g轨，故卫星处于完全失重。3．人造卫星的运行规律

若无特别说明，都认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，则有：F向＝F万，由此可知：------r越大，T越大------r越大，v越小------r越大，ω越小------r越大，a向越小注意：在同一中心天体做匀速圆周运动的所有卫星的v、ω、T、a向各量都只与轨道半径r有关．（1）发射速度（v发）：4.人造卫星的两个速度（2）运行速度（即线速度）：卫星在轨道上绕行时所具有的速度，即：V运=可见：轨道越高，运行速度越小。mM解：对于靠近地面的卫星，可以认为此时的r近似等于地球半径R，则由万有引力定律和向心力公式有：

这就是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的最小发射速度，也是最大的运行速度，也叫做第一宇宙速度。问题：绕地球做匀速圆周运动的近地卫星的速度是多少呢？二、宇宙速度1.第一宇宙速度：（v1）推导：已知天体表面重力加速为g，自身半径为R，对m由F向=F万=mg

可得：第一宇宙速度的另外一种推导方法：对地球，R=6400km,g=9.8m/s2mM2.第二宇宙速度v2：（也叫脱离速度）3.第三宇宙速度v3：（也叫逃逸速度）v2=11.2km/sv3=16.7km/s三、近地卫星与同步卫星（详见《能》P42）1．近地卫星所谓近地卫星指的是卫星的轨道半径等于地球的半径，卫星做匀速圆周运动的向心力是万有引力．它的运动速度为第一宇宙速度，它是卫星的最大运行速度．2．同步卫星同步卫星指在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星．同步卫星又叫通讯卫星，同步卫星有以下几个特点：(1)同步卫星的运行方向与地球自转方向一致．(2)同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T＝24h.(3)同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度．(4)同步卫星的轨道一定与赤道平面共面．如图所示，假设卫星在轨道B跟着地球的自转同步做匀速圆周运动，卫星运动的向心力由地球对它的引力F引的一个分力F1提供，由于另一个分力F2的作用将使卫星轨道靠向赤道，故只有在赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行，所以所有同步卫星只能在赤道正上方，且在一定高度处．（5）同步卫星的高度固定不变（6）同步卫星的运行速度大小不变。(1)所有同步卫星的周期T、轨道半径r、环绕速度v、角速度ω及向心加速度a的大小均相同．(2)所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，它们都在同一轨道上运动且都相对静止．注意：二、卫星运行规律及宇宙速度知识梳理1．地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和

平面重合．(2)周期一定：与地球

周期相同，即T＝24h＝86400s.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．赤道自转一致2．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过

由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于

，其运行线速度约为___km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过

．南北两极地球的半径7.9地球的球心3．三种宇宙速度比较宇宙速度数值(km/s)意义第一宇宙速度___这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度第二宇宙速度___这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度___这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度7.911.216.7自主检测2．(2014·天津理综)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比A．距地面的高度变大B．向心加速度变大C．线速度变大

D．角速度变大A考点突破·规律总结[例1]

(2013·大纲全国)

“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103km.利用以上数据估算月球的质量约为A．8.1×1010kg

B．7.4×1013kgC．5.4×1019kgD．7.4×1022kgD1．(2015·合肥模拟)1798年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转的周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2，可估算出◎变式训练A比较内容赤道表面的物体近地卫星同步卫星向心力来源万有引力的分力万有引力向心力方向指向地心重力与万有引力的关系重力略小于万有引力重力等于万有引力4.四个关系“四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系．[例2]

(2014·凉山诊断)“嫦娥二号”环月飞行的高度为100km，所探测到的有关月球的数据将比环月飞行高度为200km的“嫦娥一号”更加详实．若两颗卫星环月的运行均可视为匀速圆周运动，运行轨道如图所示．则A．“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”大B．“嫦娥二号”环月运行的线速度比“嫦娥一号”小C．“嫦娥二号”环月运行的向心加速度比“嫦娥一号”大D．“嫦娥二号”环月运行的向心力与“嫦娥一号”相等CC[例4]

(2014·安徽联考)北京时间2012年10月25日23时33分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭，成功将第16颗北斗导航卫星发射升空并送人预定转移轨道．第16颗北斗导航卫星是一颗地球静止轨道卫星，它将与先期发射的15颗北斗导航卫星组网运行，形成区域服务能力．根据计划，北斗卫星导航系统将于2013年初向亚太大部分地区提供服务．下列关于这颗卫星的说法正确的是A．该卫星正常运行时一定处于赤道正上方，角速度小于地球自转角速度B．该卫星正常运行时轨道也可以经过地球两极C．该卫星的速度小于第一宇宙速度D．如果知道该卫星的周期与轨道半径可以计算出其质量C2．(2014·广东理综)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是A．轨道半径越大，周期越长B．轨道半径越大，速度越大C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度◎变式训练AC2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道．如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ；(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动．[例5]

北京航天飞行控制中心对“嫦娥二号”卫星实施多次变轨控制并获得成功．首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的，紧随其后进行的3次变轨均在近地点实施．“嫦娥二号”卫星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近地点的轨道高度．同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨．图为“嫦娥二号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是A．“嫦娥二号”在轨道1的A点处应点火加速B．“嫦娥二号”在轨道1

A点处的速度比在轨道2的点A处的速度大C．“嫦娥二号”在轨道1

A点处的加速度比在轨道2的A点处的加速度大D．“嫦娥二号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大A3．2013年12月14日21时11分“嫦娥三号”探测器成功落月，中国成为世界上第三个有能力独立自主实施月球软着陆的国家．假设月球半径为R.月球表面的重力加速度为g0.飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．下列判断正确的是◎变式训练B思维提升·满分培优构建物理模型7．双星系统模型(1)双星系统模型的特点①两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等．②两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；③两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r1＋r2＝L.(2)双星系统模型的三大规律①双星系统的周期、角速度相同．②速度及轨道半径均与质量成反比．③双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关．[例6]

(2014·唐山模拟)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若AO＞OB，则A．星球A的质量一定大于B的质量B．星球A的线速度一定大于B的线速度C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大BD4．(2013·山东理综)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为◎变式训练B1．长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19600km，公转周期T1＝

6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48000km，则它的公转周期T2最接近于A