第四章 系统误差

第5章系统误差1测量过程中系统误差往往伴随着随机误差一起出现，但系统误差更具有隐蔽性。本章讨论系统误差的来源、分类以及对测量结果的影响，发现和检验系统误差的方法，以及消除系统误差的基本方法。教学目标2系统误差产生的原因系统误差的特征系统误差的发现系统误差的统计检验系统误差减少和消除的方法教学重点和难点3第一节

系统误差概述本节主要介绍系统误差产生的原因以及系统误差的分类与特征

4一、系统误差产生的原因在测量过程中，影响测量偏离真值的所有误差因素中，只要是由确定性变化规律的因素造成的，都可以归结为是系统误差的原因

系统误差产生的原因从各种可能影响测量结果的要素中去寻找

系统误差是可以设法预测的

测量装置的因素测量方法的因素测量环境的因素测量人员的因素5测量装置和测量人员的因素测量装置的因素

计量校准后发现的偏差仪器设计原理的缺陷仪器制造和安装的不正确标准环规的直径偏差齿轮杠杆测微仪直线位移和转角不成比例的误差标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏心、仪器导轨的误差测量人员的因素

由于测量者固有的测量习性，如读出刻度上读数时，习惯于偏于某一个方向，记录动态测量数据时总有一个滞后的倾向等

6测量环境的因素测量方法的因素测量环境和测量方法的因素测量时的实际温度对标准温度的偏差，对测量结果可以按确定规律修正的误差等等

采用近似的测量方法或近似的计算公式等所引起的误差

用均值电压表测量交流电压时，由于计算公式出现无理数和，取近似公式，由此产生的误差

在间接测量中常见此类误差

7激光数字波面干涉仪的系统误差来源激光波长系统漂移标准镜面局部缺陷的固定电噪声干涉视场的系统噪声波差多项式模型误差8二、系统误差的分类与特征

1.分类

2.特征(1)无补偿性：影响算术平均值的估计(2)可变系统误差影响测量结果分散性的估计恒定（常量）(2)根据对系统误差的掌握程度分类(1)根据系统误差在测量过程中所具有的不同变化特性分类可变（线性、周期性、其他复杂规律）已定的未定的9恒定系统误差在整个测量过程中，误差大小和符号均固定不变的系统误差某量块的公称尺寸为10mm，实际尺寸为10.001mm,误差为0.001mm,若按公称尺寸使用,则始终会存在0.001mm的系统误差某千分尺零位位置不指零，也会在使用过程中造成对每次测量量值读数的一个常量的零值误差10可变系统误差在整个测量过程中，误差的大小和符号随着测量位置或时间的变化而发生有规律的变化线性变化系统误差周期性变化系统误差复杂规律变化系统误差11线性变化系统误差

在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差值成比例地增大或减小，称该误差为线性变化系统误差

刻度值为1mm的标准刻尺，存在刻划误差，每一刻度间距实际为，若用它与另一长度比较，得到比值为，则被测长度的实际值为由于测量值为，故产生的系统误差 是随测量值的大小而线性变化的

12线性变化系统误差举例某长度为1金属刻尺的材料随温度变化的线膨胀系数为，则在使用其测长时在偏离标准温度(200C)50C的条件下引起的测长误差可视为随温度线性变化的系统误差有3在丝杠测量中，由于丝杠轴心线安装偏斜所造成的螺距累积误差，是随牙数或螺距的测量长度而线性变化的系统误差13周期性变化系统误差在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差按周期性规律变化的，称其为周期性变化系统误差

仪表指针的回转中心与刻度盘中心有一个偏离值，则指针在任一转角处引起的读数误差为。此误差变化规律符合正弦曲线规律，当指针在00和1800时误差为零，而在900和2700时误差绝对值达最大某齿轮、光学分度头中分度盘等安装偏心引起的齿轮齿距误差、分度误差，都是属于正弦规律变化的系统误差14复杂规律变化系统误差

在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差按确定的更为复杂的规律变化，称其为复杂规律变化系统误差

微安表的指针偏转角与偏转力矩不能保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差复杂规律一般可建立诸如代数多项式、三角多项式或其他正交函数多项式等数学模型来描述15各类特征系统误差图示曲线a是恒定系统误差，曲线b是线性变化系统误差，曲线c是非线性变化系统误差，曲线d是周期性变化系统误差，曲线e是复杂规律变化系统误差。16已定系统误差和未定系统误差

指误差的大小和符号均已确切掌握了的，因此在处理和表征测量结果时，是属于可修正的系统误差。指这类系统误差的大小和符号不能完全确切掌握的，因此在处理和表征测量结果时，是属于不可修正的系统误差。已定系统误差未定系统误差17三、系统误差

对测量结果的影响181．影响测量最佳值的估计

设有一组常量测量数据中分别存在系统误差和随机误差，真值记为则这组测量数据的算术平均值

表明系统误差一般不具有抵偿性，即

系统误差会影响对算术平均值的估计

192.可变系统误差影响测量结果分散性的估计

测量数据的残余误差对于恒定系统误差，上式第二项为零，说明恒定系统误差不会影响对残差的计算，因而不会对标准差的估计产生影响对于可变系统误差的情形，上式第二项一般不为零，说明可变系统误差还会对标准偏差的估计产生影响20由于它在数据处理中只影响算术平均值，而不影响残差及标准差，所以除了要设法找出该恒定系统误差的大小和符号，对其算术平均值加以修正外，不会影响其他数据处理的过程。由于它对算术平均值和残差均产生影响，所以应在处理测量数据的过程中，必须要同时设法找出该误差的变化规律，进而消除其对测量结果的影响。可变系统误差恒定系统误差小结21可变系统误差的随机误差分布

时刻时刻时刻时刻对于测量过程中不同时刻情形，由于可变系统误差的存在，将随机误差的测量值分布展开后呈现如图所示可变系统误差造成测量结果的算术均值变化、分散性也变大的图形解释22第二节系统误差的发现与统计检验23发现系统误差的常用方法用标准器具（物质）检定组内统计检验（残差统计法）组间系统误差检验在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，通常人们难于查明所有的系统误差，即使经过修正系统误差，也不可能全部消除系统误差的影响。但是，人们在实际测量的工作过程中，经过不断的探索与总结，还是有一些发现系统误差的行之有效的方法24

一、用标准器具（物质）检定在计量工作中，常用标准器具或标准物质作为检定工具，来检定某测量器具的标称值或测量值中是否含有显著的系统误差。标准器具所提供的标准量值的准确度应该比被检定测量器具的要高出1～2个等级或至少高几倍以上。

现对被检量重复测量次，假设测量服从正态分布

在计量检定中，常设（标准器具量值），现对均值进行检定，判断其是否含有系统误差。25用标准器具（物质）检定步骤2、构造统计量3、在给定显著水平下，查分布表的临界值4、作出决策。若，判定被检量算术平均值与期望的标准值之间存在显著的差异，即被检量含有恒定的系统误差。5、加修正值。对测得值加一个修正值，即1、计算均值，按贝塞尔公式计算标准差26【例5-1】【解】计算假设被检仪器有故仪器有显著系统误差

修正值

用量值为3.05的标准器具检定某台仪器，重复测量15次，数据依次见下，试分析该仪器的系统误差。

2.9，3.0，3.1，3.0，3.1，3.2，3.1，2.8，2.9，2.9，3.0，3.0，2.9，2.9，2.827测量值检查时间序号标定该仪器在不同时间段的测量值的变化，包括算术平均值和标准差，以核查该测量仪器在一个长的时期内的测量准确度,使之得到控制

某仪器测量过程控制图

28二、多台仪器间的比对测试

缺少标准器具的检定手段时，可以考虑选择几个实验室之间进行比对测试，在严格规定比对测试的规范基础上，可以通过对几个参加实验室的测试数据的汇总、统计分析，得出一些说明实验室之间测试结果是否有显著差异的结论。

在检查仪器的测量稳定性试验中，需要对仪器的某标准测量值进行不同时间段的多次重复测量，得到多组数据

组间t检验法

组间F检验法29两组数据

统计量

给定显著水平，若，则与有显著差别，即存在系统误差；反之则无根据怀疑两组间有系统误差。

和1、组间检验法（组数，正态）30【例5-2】

对某10电阻器进行次测量，其均值和标准差估计值分别为和,两周后又用对电阻器进行次测量，其均值和标准差估计值分别为和。试分析该两组测量结果是否有显著差异。（显著水平）

【解】根据题意查t分布临界值表有故可断定在下两组均值之间有显著差异。按公式计算由于31两组标准差之间的方差检验1、检验2、计算检验统计量3、给定显著水平，查F分布表和4、作出决策。若，接受原假设，即认为两组标准层之间没有显著差异，否则存在显著差异32【例5-2】中的标准差的方差检验计算查F分布表由于故接受，即认为两组数据的标准差之间没有显著差异332、组间F检验法（组数正态）

组数据，每组数据个数，

构造统计量组内残差平方和组间残差平方和给定显著水平，若，则存在系统误差；反之则无根据怀疑各组间有系统误差。

自由度34【例5-3】在某仪器上测得13组数据，每组次数与算术平均值见下表（每次测量值略），试分析各组数据间是否有显著差异。（显著水平）

组号次数算术平均值组号次数算术平均值１261247842121323212439861234371239103312384501239117122352412301291243632123913551248736123635【解】故可断定在下各组间存在系统误差。经计算列出方差分析表，得

按查表得

因残差平方和自由度组间组内和计算结果36三、组内统计检验（残差统计法）37含有系统误差的残差散点图

图（b）的残差数值有规律地递增，且在测量开始与结束时误差符号相反，则说明存在线性递增的系统误差。图（a）说明各残差大体正负相间，无显著变化规律，故无根据怀疑有可变系统误差。38含有系统误差的残差散点图(续）图（c）的残差符号由正变负，再由负变正，循环交替地变化，则说明存在周期性系统误差

图（d）的残差值变化既有线性递增又有周期性变化，则说明存在复杂规律的系统误差。39常用的系统误差检验方法残差散点图上并没有标明测量真值的位置。因此，只分析残差是无法发现恒定系统误差的用残差散点图观察系统误差是否存在，还缺乏定量的检验界限

两个常用从残差出发的系统误差检验方法

和检验法

小样本序差法

401、和检验法记分别为前后各半残差和引入统计量

（检验显著递增和递减误差）若则存在显著的线性变化或递增、递减系统误差。412、小样本序差法记序差序差平方和（检验显著周期性变化误差）残差平方和（突出分散性）引入统计量若则存在显著的周期性变化系统误差。

4240.390130.57850.410140.59160.445150.60370.468160.61480.491170.62490.512180.633100.531190.642110.548200.650120.564小样本序差法值43【例5-4】在研究光电显微镜中，曾对其读数电表的示值精度进行检定，所得15次重复测量的读数2.9，3.0，3.1，3.0，3.1，3.2，3.1，2.8，2.9，2.9，3.0，3.0，2.9，2.9，2.8，试判断有无系统误差。【解】先作出残差散点图，判断图中前半残差符号偏正，后半残差符号偏负，数值由小变大，又由大变小。因此，可能存在周期或递减误差，但还需要定量的检定准则来帮助判定。和检验法有故认为数据存在显著的递减系统误差。

44散点图45小样本序差法查表得有故认为存在显著的周期性系统误差。结论：该组数据存在显著的递减和周期性系统误差。计算结果46第三节

系统误差的减小与消除消误差源法加修正值法改进测量方法在测量过程中，如果发现有显著系统误差存在，就尽量采取适当的技术措施将其减小或消除。由于减小或消除系统误差的方法与具体的测量对象、测量方法以及测量人员的经验有关，因此要找出普遍有效的方法比较困难47一、消误差源法

最理想的方法。它要求对产生系统误差的因素有全面而细致的了解，并在测试前就将它们消除或减弱到可忽略的程度。视具体条件不同，有：（1）所用基、标准件（如量块、刻尺、光波波长等）是否准确可靠。（2）所用仪器是否经过检定，并有有效周期的检定证书。（3）仪器调整、测件安装定位和支承装卡是否正确合理。（4）

所用测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差。（5）测量场所的环境条件是否符合规定要求，如温度变化等（6）

测量人员主观误差，如视差习惯等。48二、加修正值法49基本思想关键：确定修正值或修正函数。预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，作出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果量块的实际尺寸不等于公称尺寸，若按公称尺寸使用，就要产生系统误差。因此应按经过检定的实际尺寸（即将量块的公称尺寸加上修正量）使用，就可以避免此项系统误差的产生50加修正值法恒定系统误差可变系统误差按某变化因素，依次测得基准量的测值，对差值按最小二乘法确定该因素变化函数规律，取其负值即为该可变系统误差的修正函数。修正后残留的误差，可归成偶然误差来处理。对已知基准量重复测量取其均值，即为其修正值51三、改进测量方法52基本思想在测量过程中，根据具体的测量条件和系统误差的性质，采取一定的技术措施，选择适当的测量方法，使测得值中的系统误差在测量过程中相互抵消或补偿而不带入测量结果之中，从而实现减弱或消除系统误差的目的。

恒定系统误差

替代法

交换法

抵消法

线性系统误差周期性系统误差对称补偿法半周期法53恒定系统误差－替代法在测量装置上测量被测量后不改变测量条件，立即用相应的标准量代替被测量，放到测量装置上再次进行测量，从而得到该标准量测量结果与已知标准量的差值，即系统误差，取其负值即可作为被测量测量结果的修正量。54等臂天平称重,先将被测量放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，则有移去被测量，用标准砝码代替，若该砝码不能使天平重新平衡，如能读出使天平平衡的差值，则有便消除了天平两臂不等造成的系统误差。

由于（存在恒定统误差的缘故）恒定系统误差－替代法举例55根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。

恒定系统误差－交换法等臂天平称重,先将被测量放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，则有若将与交换位置，由于（存在恒定统误差的缘故），天平将失去平衡。原砝码P调整为砝码,才使天平再次平衡。于是有则有消除了天平两臂不等造成的系统误差。

56恒定系统误差－抵消法进行两次反向测量，该两次测量读数时出现的系统误差大小相等，符号相反，即取两次测值的平均，有在使用直角尺检定某量仪导轨运动的垂直度时，可用它分别读数一次取算术平均值的方法，以使直角尺垂直误差得到补偿。在使用丝杠传动机构测量微小位移时，为消除测微丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的空回误差，往往采用往返两个方向的两次读数区算术平均值作为测得值，以补偿空回误差的影响57线性系统误差-对称补偿法在选取测量点时，取关于因素t的左右对称处，两次读数平均，可消除线性系统误差。基本原理对于线性系统误差，由于它随某因素t按比例地递增或递减，因而对任一量值而言，线性误差依赖t而相对该值具有负对称性，对读数与读数，因有58对称补偿法举例测得依赖因素t的5个读数，可取对称读数平均值作为测得值，可有效消除该范围内的线性误差机械式测微仪、光学比长仪等，都以零位中心对称刻度，一般都存在随示值而递增（减）的示值误差。采用对称补偿法可消除这类示值误差很多随时间变化的系统误差，在短时间内均可看作是线性的，即使并非线性的，只要是递增或递减的，如采用对称补偿法，则可基本或部分消除59周期性系统误差-半周期法对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心引起的刻