双曲线及其标准方程

第二章圆锥曲线与方程2.3.1.2

双曲线及其标准方程悲伤的双曲线平面内与两个定点

F1，F2

的距离的差等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．1.双曲线的定义是什么？F1MF2【问题提出】2.双曲线的标准方程是什么？3.双曲线的定义和标准方程是双曲线的基本知识点，在此基础上再作适当拓展，我们会对双曲线有更深层次的认识.思考1：双曲线的定义特征是||MF1|－|MF2||＝2a（2a＜|F1F2|），若去掉绝对值符号，则满足|MF1|－|MF2|＝2a（2a＜|F1F2|）的点M的轨迹是什么？靠近点F2的一支单曲线.【知识探究】『知识探究（一）——双曲线概念的拓展』F1MF2思考2：若a＝0，即|MF1|－|MF2|＝0，则点M的轨迹是什么？线段F1F2的垂直平分线F1F2M思考3：若2a＝|F1F2|，即||MF1|－|MF2||＝|F1F2|，则点M的轨迹是什么？以F1，F2为端点的两条射线F2F1思考4：若||MF1|－|MF2||＞|F1F2|，则点M轨迹是什么？不存在

思考1：在双曲线中，参数a，b，c的几何意义如何？F1oF2xycab『知识探究（二）——双曲线方程的拓展』思考2：双曲线的焦点坐标是什么？思考3：双曲线的焦点坐标是什么？思考4：在什么条件下，方程Ax2－By2＝1表示双曲线？AB＞0思考5：在什么条件下，方程Ax2＋By2＝1表示双曲线？AB＜0思考6：当A、B变化时，方程Ax2＋By2＝1可以表示哪些类型的曲线？（1）当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时，方程表示两条平行直线；（2）当A＞0，B＞0，A＝B时，方程表示圆；（3）当A＞0，B＞0，A≠B时，方程表示椭圆；（4）当AB＜0时，方程表示双曲线.思考7：点M(x0，y0)和双曲线什么条件下点M在双曲线内部？双曲线外部？1.点P在双曲线内⇔2.点P在双曲线上⇔3.点P在双曲线外⇔内外外F1oF2xy『知识探究（三）——双曲线的渐近线』思考1：双曲线与x轴的交点是A1(－a，0)，A2(a，0)，我们把A1，A2叫做双曲线的顶点，线段A1

A2叫做双曲线的实轴，那么双曲线的实轴长是多少？双曲还有其它顶点吗？oxyA2A1思考2：双曲线的实轴对应于椭圆的长轴，类似于椭圆的短轴，我们把B1(0，－b)

，B2(0，b)对应的线段B1

B2叫做双曲线的虚轴，那么虚轴的端点B1，B2能叫做双曲线的顶点吗？oxyA2A1B2B1思考3：过双曲线的实轴、虚轴的端点，分别作垂直于实轴与虚轴的直线，这些直线围成一个矩形，如图，连接这个矩形的对角线，那么对角线的方程是什么？B1oxyA2A1B2思考4：观察直线与双曲线的位置关系，你以猜想出什么规律？你能利用函数的知识来说明你的猜想吗？B1oxyA2A1B2双曲线向左右延伸时，会无限的与直线接近，但永远不相交。思考5：我们把直线叫做双曲线(a＞0，b＞0)的渐近线，反比例函数的图象也是双曲线，那么它的渐近线是什么？oxy思考6：渐近线方程可作哪些变形？如何与双曲线方程联系起来记忆？焦点在x轴的双曲线的渐近线方程是，即思考7：焦点在y轴的双曲线的渐近线方程是什么？焦点在y轴的双曲线的渐近线方程是，即思考8：渐近线相同的双曲线有多少条？渐近线为的双曲线方程有何特点？（1）渐近线方程为的双曲线方程为（2）与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（3）如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程为A2x2－B2y2＝m(m≠0)．思考9：实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般式方程是什么？其渐近线方程是什么？一般式：x2－y2＝λ（λ≠0）渐近线：y＝±x

悲伤的双曲线

如果我是双曲线，你就是那渐近线

如果我是反比例函数，你就是那坐标轴

虽然我们有缘，能够生在同一个平面

然而我们又无缘，漫漫长路无交点

为何看不见，等式成立要条件

难道正如书上说的，无限接近不能达到

为何看不见，明月也有阴晴圆缺，

此事古难全，但愿千里共婵娟『知识探究（四）——双曲线的离心率』思考1：与椭圆类似，把双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率，用e表示，即，那么双曲线的离心率e的取值范围是什么？e∈(1,＋∞)思考2：双曲线的离心率与其渐近线的斜率有什么关系？思考3：当离心率e在（1，+∞）内变化时，它对双曲线的形状产生什么影响？如何用三角函数知识解释上述现象？思考4：等轴双曲线的离心率为多少？反之成立吗？yA1A2xOF1F2B2B1离心率越大，双曲线的开口越大『知识探究（五）——双曲线的准线与第二定义』思考1：对于双曲线的原始方程：变形后得到,再变形为这个方程有什么几何意义？双曲线上的点M(x，y)到焦点F(c，0)的距离与它到直线的距离之比等于离心率.F1oF2xyM思考2：直线l：

叫做双曲线相应于右焦点F2(c，0)的准线，根据对称性，双曲线相应于左焦点F2(－c，0)的准线方程是什么？两条准线大致在什么位置？F1oF2xy思考3：双曲线的焦点到它相应准线的距离等于多少？思考4：一般地，若点F是直线l外一定点，动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e（e>1），则点M的轨迹一定是双曲线吗？FMM

一般地，点F是定直线l外一定点，若平面内动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e（e>1），则点M的轨迹是双曲线.定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e(e>1)叫做双曲线的离心率.双曲线的第二定义：【题型分类深度剖析】题型1：双曲线的渐近线方程『变式探究』3.求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是