随机-过程谱分析

第三章

平稳随机过程的谱分析

频域分析我们知道，傅里叶变换建立了时域和频域之间的关系，对于确定性信号，应用傅里叶变换可以使线性时不变系统的分析变得简单，因为时域卷积对应于频域相乘。问题：对于随机信号来说，可否用频域分析方法呢？回答：随机信号仍然可以应用傅里叶变换，但是需要根据随机信号的特点构建新的时域、频域物理量，同样可以使随机信号通过线性时不变系统的分析大大简化。

3.1随机过程的谱分析

2023/2/1一预备知识1傅里叶变换设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t)

满足

在范围内满足狄利赫利条件

绝对可积，即

信号的总能量有限，即有限个极值有限个断点断点为有限值2023/2/1则的傅里叶变换为：

其反变换为：

称为的频谱。包含：振幅谱相位谱2023/2/12帕塞瓦（Parseval）等式即能谱密度信号总能量2023/2/163.2随机过程的功率谱密度

由于随机过程的持续期无限长，其样本函数不满足绝对可积和能量有限条件，因此傅里叶变换不存在，但是，样本函数的功率是有限的对于随机信号，傅里叶变换不存在，无法分析频谱，能量无限，无法分析能谱，但是功率是有限的，因此研究随机过程的功率谱是有意义的。信号能量的时间平均2023/2/173.2随机过程的功率谱密度

截取函数：

为了将傅里叶变换应用于随机过程，对样本函数进行截取，使其满足可积和能量有限条件

2023/2/18当x(t)为有限值时，的傅里叶变换存在

应用帕塞瓦等式

注：样本函数具有随机性，因此平均功率具有随机性求平均功率：

2023/2/19令，再取极限，交换求数学期望和积分的次序

随机过程的功率Q

（1）Q为确定性值，不是随机变量（2）为确定性实函数。注意：取集合平均

10/30（1）随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值的求时间平均得到，若随机过程为宽平稳，则其功率就等于均方值w.s.s（2）功率谱密度描述了随机过程平均功率在频域的分布（3）对于平稳随机过程有对功率谱密度定义的讨论

11/30功率谱密度的计算

12/30功率谱密度的计算

13/30功率谱密度的计算x(t)-TT1tSx()2a2b2/2b2/200

14/30功率谱密度的计算傅里叶反变换2023/2/1例2：设随机过程，其中皆是实常数，是服从上均匀分布的随机变量，求随机过程的平均功率。

解：不是宽平稳的平均功率的计算2023/2/1平均功率的计算2023/2/1功率谱密度和复频率面

（只是记号相同，函数形式不同）例：应用复频率来表示功率谱密度，对于某些应用会带来方便（例如，求有理谱的平均功率）2023/2/13.3平稳随机过程功率谱密度的性质

一功率谱密度的性质

1功率谱密度为非负的,即

证明：2功率谱密度是的实函数

是的实函数3

对于实随机过程来说，功率谱密度是的偶函数，即证明：是实函数2023/2/14

功率谱密度可积，即

证明：对于平稳随机过程，有：

平稳随机过程的均方值有限2023/2/1二(有理)谱分解定理

1谱分解

在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近。这时可以表示为两个多项式之比，即

2023/2/122

若用复频率s来表示功率谱密度，那么，对于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式分解形式：

这种偶次幂形式可以保证满足偶对称性质2023/2/1

据平稳随机过程的功率谱密度的性质，可以导出关于的零、极点的如下性质：（1）

为实数。

（2）

的所有虚部不为0的零点和极点都成复共轭出现。

（3）的所有零、极点皆为偶重的。

（4）M＜N（根据性质4）

s-plane2023/2/12谱分解定理

根据上面的性质，可将

分解成两项之积，即：

其中（零极点在s上半平面）（零极点在s下半平面）且谱分解定理

此时注：有两种分解方法：上下分解，左右分解2023/2/13为有理函数时的均方值求法（1）利用

（2）直接利用积分公式

（3）查表法（4）留数法2023/2/1预备知识：留数定理

设为复变量s的函数，且其绕原点的简单闭曲线C反时针方向上和曲线C内部只有几个极点

则：

一阶留数

二阶留数

上式积分路径是沿着轴，应用留数法时，要求积分沿着一个闭合围线进行。为此，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半园积分。根据留数定理，不难得出（4）留数法2023/2/1例:

考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度

求过程的均方值（平均功率）解:用复频率的方法来求解。用代入上式得用复频率s表示得功率谱密度：2023/2/1因式分解：

在左半平面内有两个极点：-1和-3。于是可以分别计算这两个极点的留数为：

故：

30/303.4功率谱密度与自相关函数的关系Khinchine前苏联数学家,

1894-1959

Wiener美国学者,

1894-1964

维纳-辛钦定理建立了随机过程的时域和频域统计特性之间的联系，是分析随机信号的最重要、最基本的公式

31/30W.S.S维纳-辛钦定理的证明证明：若X(t)为宽平稳随机信号，则

32/30W.S.S维纳-辛钦定理的证明令t2t1T-T-TT0t2T-2T-TT0趋于1

33/30**

教材200-201页证明：无论随机过程平稳与否，总存在功率谱密度：

**利用实随机过程的自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：维纳-辛钦定理（续）

34/30维纳-辛钦定理（续）

35/30维纳-辛钦定理（续）

36/30维纳-辛钦定理（续）

37/30维纳-辛钦定理（续）00

38/30维纳-辛钦定理（续）

39/30常见W.S.S自相关函数及其功率谱密度

40/30常见W.S.S自相关函数及其功率谱密度1

41/303.4.1、平稳离散时间随机过程的相关函数

若X(n)为由X(t)经采样间隔T均匀采样后得到的广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳随机序列，则其自相关函数序列是X(t)自相关函数的采样序列，即3.4离散时间随机过程的功率谱密度

42/303.4.2、平稳离散时间随机过程的功率谱密度

离散时间随机过程的功率谱密度SX()20一、定义（直接给出）二、离散维纳-辛钦定理数字角频率以2pi为周期

43/30①复频域功率谱离散时间随机过程的功率谱密度②性质

③谱分解定理极点在单位圆内零点在单位圆内/上极点在单位圆外零点在单位圆外/上3.4.3、谱分解定理

1确知信号的采样定理(香农采样定理)

平稳随机过程的采样定理从冲激抽样信号恢复连续时间信号的时域分析采样信号，采样频率大于信号最高频率的2倍。设理想低通滤波器，其频域特性为：截止频率滤波器冲激响应为：1确知信号的采样定理(香农采样定理)

平稳随机过程的采样定理采样后的信号为原始连续信号为：当时，2023/2/1连续时间确知信号离散时间确知信号采样香农采样定理连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样香浓采样定理在数字信号处理中具有重要地位，建立了连续信号与其离散采样信号之间的变换关系2023/2/1

若为平稳随机过程，具有零均值，其功率谱密度为

，则当满足条件时，可将按它的振幅采样展开为平稳随机过程的采样定理均方意义下的极限2023/2/1证明:

带宽有限，第一步：(1)

的带宽也是有限(2)令，则(3)是确知函数，根据维纳-辛钦定理，对，

对应用香农采样定理的，对应用香农采样定理2023/2/149第二步：令，则=0(2)这说明，正交

又是的线性组合，因此正交2023/2/150即

(4)又

(5)(3)第三步：=0即2023/2/151第一步第二步第三步(1)(2)(3)(4)(5)=0

52/30

53/30

54/30

55/30

56/302023/2/1二、互谱密度和互相关函数的关系自相关函数功率谱密度

F互相关函数互谱密度

F

定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度与互相关函数之间的关系为

即2023/2/1若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有即结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。2023/2/1三、互谱密度的性质性质1：证明：

（令）互谱密度和功率谱密度不同，不再是正的、实的偶函数2023/2/1性质2：

证明：

（令）

同理可证2023/2/1性质3：

证明：类似性质2证明。性质4：

若X(t)与Y(t)正交，则有

证明：若X(t)与Y(t)正交，则所以2023/2/1性质5：

若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值和，则

证明：

因为X(t)与Y(t)不相关，所以（）2023/2/163性质6：

例：设两个随机过程X(t)