北师版八下第一章-三角形的证明复习

第一章三角形的证明ACB有两边相等的三角形叫等腰三角形.

腰腰底边底角底角顶角等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.一、等腰三角形的概念

证明:∴∠1＝∠2D12在△ABD和△ACD中作顶角∠BAC的平分线AD.AB＝AC

（已知）

∠1＝∠2

（已证）

AD＝AD

（公共边）

∴

△ABD≌

△ACD

（SAS）

∴

∠B＝

∠C

（全等三角形对应角相等）

求证：等腰三角形的两底角相等.已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABC等腰三角形的性质:ACB

性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”)在△ABC中∵AB=AC∴∠B＝∠C

(等边对等角)注意：在一个三角形中,等边对等角.ABCD12作顶角的平分线AD

△ABD≌△ACD证到了

除了得到∠B=∠C外

还可以得到：

BD=CD

即AD是BC边上的中线

即AD是BC边上的高

∠ADB=∠ADC=90°

等腰三角形

（1）性质：①等腰三角形的

两底角

相等。（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线

互相重合

（三线合一）。

在△ABC中（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠___=∠___，____=____；（2）∵AB=AC，AD是中线，∴∠＿=∠＿，____⊥____；（3）∵AB=AC，AD是角平分线，∴____⊥____，____=____.

CAB12D等腰三角形“三线合一”的性质用符号语言表示为：12BＤCＤ12ADBCADBCBDCD1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为(

)A．20°B．40°

C．50°D．80°考点1等腰三角形的性质2.等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则它的周长是_______________．考点1等腰三角形的性质3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，

则△ABC的角平分线AD的长是________cm.考点1等腰三角形的性质如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．ABCD已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，

AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．

等腰三角形

（2）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形.②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.

2.如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求证：△ABD是等腰三角形;（2）求∠BAD的度数.已知：如图，在△ABC中,AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．证明:等腰三角形两底角的平分线相等.21EDCBA求证：BD=CE．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．证明:等腰三角形两底角的平分线相等.43EDCBA求证：BD=CE．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠3=∠ABC，∠4=∠ACB，∴∠3=∠4．

在△ABD和△ACE中，∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的高．证明:等腰三角形两腰上的高相等.求证：BD=CE．EDCBA

分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．大胆尝试，练一练！已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的中线．2.证明:等腰三角形两腰上的中线相等.求证：BD=CE．EDCBA

分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．

等边三角形

（1）定义：

三条边都相等

的三角形是等边三角形。

（2）性质：①三个内角都等于60度，三条边都相等②具有等腰三角形的一切性质。

等边三角形

（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。1．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________．考点2等边三角形的性质2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度．考点2等边三角形的性质

直角三角形

（1）性质:直角三角形的两锐角互余。(2)定理：直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。(3)定理：在直角三角中，斜边上的中线等于斜边的一半.

直角三角形

（3）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是(

)A．20B．10C．5D.考点3

直角三角形2．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AD＝6，则CD＝_____．考点3直角三角形3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是(

)A．3.5B．4.2C．5.8D．7考点3直角三角形2．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(

)A．3，4，5B．6，8，10C.，2，D．5，12，13考点4勾股定理及其逆定理2.一架长5米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论．考点4勾股定理及其逆定理

【归纳总结】

勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个

三角形是直角三角形。1、

如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是________．考点梳理

考点5角平分线的性质和判定2．如图1－2，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的(

)A．垂直平分线B．角平分线C．高D．中线考点梳理

考点5角平分线的性质和判定

【归纳总结】

角平分线

（1）角平分线上的点到这个叫的两边的距离相等。（2）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。2、如图，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=

_________．考点6垂直平分线的性质和判定2、如图，在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）A.10B.8C.5D2.5考点6垂直平分线的性质和判定

【归纳总结】

线段的垂直平分线

（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等

（2）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上1、下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0,则a+b＞0B．直角都相等C．两直线平行,同位角相等D．若a=6,则|a|=|b|考点7命题及逆命题

【归纳总结】

命题和逆命题：

命题：由条件和结论组成

逆命题：由结论和条件组成1、用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中

___．考点7反证法

【归纳总结】

反证法：

先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件相矛盾的结果1.如图,△ABC,△CDE是等边三角形(1)求证:AE=BD(2)若BD和AC交于点M,AE和CD交于点N,求证:CM=CN(3)连结MN,猜想MN与BE的位置关系.并加以证明考点8三角形的全等ABCDEMN2、