第三章白底平面任意力系

第三章平面任意力系第三章平面任意力系

§3-1平面任意力系向作用面内一点的简化§3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

结论与讨论

§3-3物体系的平衡·静定和超静定问题

§3-4平面简单桁架的内力计算

物体系平衡习题课认识平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面内,既不汇交为一点又不相互平行的力系。研究方法：未知力系已知力系力系向一点简化（平面任意力系）（平面汇交力系和平面力偶系）§3-1平面任意力系向作用面内一点的简化1.力线平移定理AFBdF′F′′AF′BM=F.

d=MB(F)定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。MAFBdM′FF为什么钉子有时会折弯？F(a)F(b)两圆盘运动形式是否一样？′FM力线平移的讨论：单手攻丝F3F1F2O2.平面任意力系向作用面内一点的简化·主矢和主矩OOFR′MOF1′M1F1=F1′M1=MO(F1)F2′M2F3′M3F2=F2′M2=MO(F2)F3=F3′M3=MO(F3)简化中心OFR=F1+F2+F3=F1+F2+F3

MO=M1+M2+M3=MO(F1)+MO(F2)+MO(F3)′′′′平面汇交力系平面力偶系OxyMOFR′结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点O的主矩。原力系的主矢力系对于简化中心O的主矩与简化中心选择无关与简化中心有关3.平面任意力系的简化结果分析（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形★刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。●●●●●′O′FRO（2）平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理FROO

′dFRFR′′dFR′OMoO′●就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心，与简化中心有关。●FR为原力系的合力原力系平衡定理的应用：（1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；（2）求分布力的合力作用线位置。（3）平面任意力系平衡的情形MO(FR)=FRd

=MO=∑MO(Fi)合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和。●′O′FROFROO

′dFRFR′′dFR′OMoO′（1）固定端支座既不能移动，又不能转动的约束—固定端（插入端）约束固定端约束简图固定端约束反力固定端铰支座反力≠≠固定端支座约束实例集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。几种分布载荷：体分布载荷：载荷（力）分布在整个构件内部各点上。例如构件的自重等。面分布载荷：分布在构件表面上的载荷（力）。例如风压力、水压力等。线分布载荷：载荷分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。（2）分布载荷的合力及作用位置PdPdP=q(x)dxq(x)合力大小：由合力矩定理：合力作用线位置：hABlxxdxq(x)载荷集度P合力★两个特例(a)

均布载荷(b)三角形分布载荷PhqlxPhlq0x§3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程1、平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零。即故平面任意力系平衡的解析条件为：平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。●几点说明：（1）三个方程只能求解三个未知量；（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。解析条件可简写为：平面任意力系平衡方程的基本式例题1

伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB重G=2200N，吊车D，E连同吊起重物各重F1=F2=4000N。有关尺寸为：l

=4.3m，a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m，α=25°。试求铰链A对臂AB的水平和铅直约束力，以及拉索BF的拉力。aαcbBFACF1F2lyxBA解：1.取伸臂AB为研究对象。αFBGCF2EF1DFAyFAx2.受力分析如图。3.选如图坐标系，列平衡方程。FAyyxBAFBGF2F1ECDFAxαabl4.联立求解。

FB=12456N，

FAx

=11290N，FAy

=4936N例题2外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2kN，F2=1.5kN，M=1.2kN·m，l1=1.5m，l2=2.5m，试求铰支座A及支座B的约束力。F1ABl2l1llF2MFAxABxyFAyF1FBF2M1.取梁为研究对象，受力分析如图。解：2.列平衡方程。3.解方程。例题3如图所示水平横梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一活动铰链支座。梁的长为4a，梁重G，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M=Ga。试求A和B处的支座约束力。xyABqC2a4aGMABC4a2aqGMFBFAyFAx3.列写平衡方程。4.联立求解。2.受力分析如图所示。

1.以水平横梁AB为研究对象。解：例题4已知：M=Pa，求：A、B处约束反力。2a

PaMABCDFAxFAyFBxy解：（1）取刚架为研究对象解上述方程，得（2）画受力图（3）建立坐标系，列方程求解

其他解法？解上述方程，得解法2：2a

PaMABCDFAxFAyFB解法3：解上述方程，得（A、B、C

三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B

两点的连线）2、平面任意力系平衡方程的形式（1）基本形式（2）二力矩式（3）三力矩式FRBAx解上述方程，得FDECBAaaaMPFAFB例题5求：三杆对三角平板ABC的约束反力。FCPACaaaMB解：取三角平板为研究对象，受力如图3、平面平行力系的平衡方程yxo（A、B两点的连线不得与各力平行）F3F2F1Fn二个方程只能求解二个未知量（1）基本形式（2）二力矩式解：取梁ABCD为研究对象解得：D1m2m1mABCFFNAFNBP例题6已知：F=2N，q=1N/m，求：A、B支座反力。其中解：取起重机为研究对象。（1）满载时，其限制条件是：FNA≥0（2）空载时，其限制条件是：FNB≥0P2P1ABPbealFNBFNA因此，P2必须满足：例题7求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。解得：解得：§3-3物体系的平衡·静定和静不定问题1、物体系的平衡问题（1）物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。（2）物系平衡的特点：①仅仅考虑系统整体不能求解全部约束反力；②物系平衡,则系统中每个单体或局部系统也是平衡的。整体局部局部整体（3）解物系问题的一般方法（一题多解）局部整体局部●静定问题：未知量数目等于独立平衡方程数目●静不定（超静定问题）：未知量数目多于独立平衡方程数目PABCFAFBFCPABFBFA2、静定与静不定问题的概念超静定次数=未知量数-独立平衡方程数(a)(b)解得:

例题8已知：P=0.4kN,Q=1.5kN,sin=4/5,求：支座A、C的反力。AQCBPPABFAxFAyFCxFCyFBxFByFAxFAy解：(1)取整体为研究对象解上述方程，得(2)取AB为研究对象代入（3）式得PPABCD分析：考虑翻倒的临界情况，Gmin此时G=Gmin

。圆桶除了与光滑面的接触点外，都不受力。例题9无底圆柱形空桶放在光滑水平面上，内放两个重球，每个球重P、半径r，圆桶半径R

。不计摩擦和桶壁厚，求圆桶不至翻倒的最小重量G

min

。PP解法1：分别以两个球和圆桶为研究对象。设BE=a

，AE=b=2(R-r)DO=BE=a（1）以两球为对象，∑MO(

F)=0，

FD′a

－

Gmin

R=0→FD=Pb／a∑MA

(F

)=0,FD

a－Pb=0ABPPCDCDaRbOEOOGmin（2）以桶为对象，Gmin

=FD′a

／R=Pb

／R

Gmin=2P(1－r／R)NR解法2：（1）以两个球为研究对象（2）以整体为研究对象→N=2P∑Y=0，N－P－P=0∑MO(F)=0，(N

－P)(2R－

r)－

Gmin

R

－Pr=0CDPPABOGminNRABPPCDNPPCDPPABO解法3：临界状态时，显然作用在桶上的Gmin

和R

组成一力偶，以整体为研究对象可以知道作用在球上的P

和P、N组成另一个力偶。GminNRPP§3-4平面简单桁架的内力计算1、桁架的由来—大跨度梁的发展2、桁架的应用—桥梁、屋架、塔架3、桁架的概念桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为节点。●桁架的杆件都是直杆；●杆件用两端用光滑的铰链连接；●载荷及支座反力均作用在节点上；●杆件重量不计或平均分配在杆件两端的节点上。理想桁架的几点假设：二力杆----组成桁架的基本构件。平面桁架——所有杆件都在同一平面内的桁架。节点构造有榫接（图a）焊接（图b）铆接（图c）整浇（图d）均可抽象简化为光滑铰链4、桁架杆件内力的计算方法（1）节点法—应用汇交力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点的平衡，每个节点可列2个独立平衡方程。适于求解全部杆件的内力；（2）截面法—应用平面任意力系的平衡条件，研究桁架由截面切出的某部分的平衡。适于求解部分杆件的内力。FAxFAyFBy解：(1)取整体为研究对象FAyFAxA20kNF1F2C10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNC(2)取节点C为研究对象(3)取节点A为研究对象依此类推，可求得其余各杆内力。例题10求：图示桁架各杆的力。F3F4mn解：(1)取整体为研究对象计算支座反力。(2)根据解题的需要，假想用一截面截断体系。(3)取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。10kNA1234520kNCF6F7F8FAxFAyD例题11求：桁架6、7、8各杆的力。FAxFAyFBy10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNCPEF2F3F4F5FAxFAyF1AF6解：(1)取整体为研究对象(2)取内部三角形为研究对象aaaaaaP1ABECD(3)取节点A为研究对象FAxFAyFNB例题12求：桁架1、2杆的力。2F1F212345678910111213123456789101112131415161718192021222324思考题：图示桁架中受力为零的杆件。解：由节点法可知（a）图中受力为零的杆件有：3、12、9。（b）图中受力为零的杆件有：1、3、4、13、14、12、11、21。零力杆适当地选择方程可使问题的求解简便；组合静定梁往往可以先求辅助结构，再求基本结构；注意铰点作用集中载荷的情况；对于拆分结构中没有基本结构的情况往往先分析整体结构再按受力情况（简单优先）分析拆分结构。物体系平衡习题课EqaaaaaABCDFAyFAxFECDqFDxFDy解：(1)取整体为研究对象解得：(2)取曲杆CD为研究对象解得：FC例题13求：A、E的约束反力和BC杆内力。BCqMCAq1m1mAC1m1mMqBFAxFAyMAFCxFCy

FBFAxFAyMA

FB解：(1)取BC为研究对象解得:(2)取AC为研究对象解得:例题14已知：M=10kN·m,q=2kN/m求：A、B、C的反力。若不求C处的力则可选整体为研究对象500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB例题15求：D、E的约束反力。解：(1)取CDE为研究对象解得:(2)取整体为研究对象解得:GEBFGxFGyFB(3)取BEG为研究对象解得:代入（3）式得:500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFBBDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解:(1)取整体为研究对象(2)取DEF杆为研究对象解得：(3)取ADB杆为研究对象解得：aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEFNEB例题16求：A、D、B的约束反力。aBCDAFEPaaaaBCDAFEaaaMAaBCDFEPaaaAaBCDFEaaaMPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB解：(1)取BC杆为研究对象解得：(2)取AB杆为研究对象解得：代入（3）式解得：例题17求：A、D的约束反力。PPABCDaaaa2a2aCD(3)取CD杆为研究对象解得：FDxFDyMDPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxABPPABCDaaaa2a2aBCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFNBFAxFAyMAFCxFCyFNBFDxFDyFNEH解：(1)取DE杆为研究对象(2)取BDC杆为研究对象(3)取整体为研究对象解得：例题18已知：q=50kN/m,M=80kN·m,求:A、B的约束反力。例题19图示结构为钢结构拱架，拱架由两个相同的刚架AC和BC用铰链C连接，拱脚A，B用铰链固结于地基，吊车梁支承在刚架的突出部分D，E上。设两刚架各重为G=60kN，吊车梁重为G1=20kN，其作用线通过点C；载荷为G2=10N；风力F=10kN。尺寸如图所示。D，E两点在力G的作用线上。求固定铰支座A和B的约束力。xy2m2m8m2m10mABCDEFG2G1G5mGFAxFAyFByFBx解：

1.选整个拱架为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程

2.选右边刚架为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程BCE2m10mGFByFBx4mFEFCxFCy3.选吊车梁为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程解方程可得DEG1例题20如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R=2r=l,θ=45°。试求：A，E支座的约束力及BD杆所受的力。DⅡKCABEⅠGFAFExFEy解：1.选取整体研究对象，受力分析如图所示。解得：

2.选取DEC研究对象，受力分析如图所示。ECKD解得：FKFEyFExDⅡKCABEⅠG例题21重为G=980N的重物悬挂在滑轮支架系统上，如图所示。设滑轮的中心B与支架A