第三章,第一至二节 外测度_第1页
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第三章

测度理论本章先介绍集合的外测度定义与性质，然后引入可测集的定义、讨论可测集的性质，最后研究了可测集的构造。其目的在于为改造积分定义时对分割、求和所涉及的不太规则集合求相应的“长度”、“面积”、“体积”。引言

其中积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1xi(1)Riemann积分回顾（分割定义域）新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yiyi-1用mEi

表示Ei

的“长度”问题：如何把长度,面积,体积概念推广?|E|应具有长度、面积和体积的度量性质，所以它应满足如下性质：1、非负性|E|>=0;2、单调性若E1⊂E2，则|E1|<=|E2|;3、可加性E1∩E2=Φ，则|E1∪E2|=|E1|+|E2|；4、次可加性|E1∪E2|<=|E1|+|E2|；5、平移、旋转不变性：若E经平移、旋转变为E*，则|E|<=|E*|;6、若E是区间、面积和体积，则|E|就是E的长度、面积和体积。第一节开集的体积设I=I1×I2×I3×…×In,Ik=[ak,bk]或（ak,bk

）或[ak,bk

），或（ak,bk]，则|I|=|I1|×|I2|×|I3|×…×|In|=(b1–a1)(b2–a2)…)(bn–an)称I为Rn中的一个闭区间或开区间或右闭左开区间或左开右闭区间，并称|I|为I的体积。定义

设G是Rn

中的开集1、如果G=Φ

，则|G|=02、如果G≠

Φ

，且G=I=I1∪

I2∪

I3∪

…∪

In，其中Ik

，

k=1,2,

…,n是两两不相交的左开右闭区间，则记并称|G|为G的“体积”。定理1设是两组区间，如果两两不交，且，则。证明：略定理2设G和Gk是Rn

中的开集,1、如果G≠

Φ

，则|G|>0；2、如果G1

⊂G2

，则|G1|<=|G2|；3、；4、如果互不相交，则。圆的面积内接正n边形的面积（内填）内接外切外切正n边形的面积（外包）第二节点集的外测度

达布上和与下和

Riemann积分xi-1xi达布下和的极限下积分（内填）xi-1xi达布上和的极限上积分（外包）外测度(外包)并称之为E的外测度。定义：，记定理外测度具有如下性质:1、非负性：对E⊂Rn，m*E>=0;2、单调性：若A⊂B⊂Rn

，则m*A<=m*B;3、次可数可加性：对Rn中的任意一列子集有4、分离条件下的可数可加性：设Ej⊂Rn,j=1,2,…,若在Rn中存在一列互不相交的子集使得Ej⊂Gj

，则下确界：证明：1）显然；2）因为能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少，相应的下确界反而大。3）对任意的ε>0及正整数j,由外测度的定义知，取Ej⊂Gj

则G是开集，且于是由ε的任意性，得注：一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界4）对任意的ε>0，取使得则是一列互不相交的开集由ε的任意性，得再由3）即得对任意区间，有例例设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0

证明：由于E为可数集，再

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