第二次课 平面力系的简化和平衡方程

1.力的平移定理作用在物体上的力F可以平行移动到物体内任一点O，但必须同时附加一个力偶，才能与原来的作用等效。其附加力偶的力偶矩等于原力F对平移点O的力矩。这就是力的平移定理。FABda)FABdb)F′F′′c)ABdF′M图1-152、应用：PˊeOAmˊPAopAromPeOA图1-16图1-17静力学三、平面一般力系的简化简化方法：汇交力系合力一般力系（任意力系）汇交力系+力偶系向一点简化（未知力系）（已知力系）附加力偶的合力偶矩主矢与主矩：1.主矢：指原平面一般力系各力的矢量和。主矢的解析求法方向：大小：注意：因主矢等于原力系各力的矢量和,所以它与简化中心的位置无关。转向+–主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和。结论：平面一般力系向作用面内任一点简化，一般可以得到主矩MO大小：正、负规定：因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，所以它的大小和转向一般与简化中心有关。 注意：一力和一力偶；该力作用于简化中心，其大小及方向等于该力系的主矢，该力偶之矩等于该力系对于简化中心的主矩。⒊

≠0,MO

=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）,。（此时简化结果与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）四、平面一般力系的简合力矩定理

⒉

=0,MO≠0

即简化结果为一合力偶,

M=MO此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。⒈

=0，MO

=0，则力系平衡,下节专门讨论。

（一）、简化最后结果⒋≠0,MO

≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续

化为一个合力

。合力的大小等于原力系的主矢合力的作用线位置∵

平面任意力系的简化结果

：①合力偶MO

；②合力

⒌结论即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。（二）、合力矩定理五、平面固定端约束静力学固定端（插入端）约束雨搭车刀===≠例题

求图示力系合成的结果。解:1、取0点为简化中心，建立图示坐标系：主矢：FR/=Fi主矩：MA=mA(Fi)xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)O滑槽与销钉FRLOOdOO1即：合力矢等于主矢；合力作用线在简化中心O那一侧取决于主矢、主矩方向；合力作用线到O点的距离由h确定。原力系为平衡力系。3、4、原力系合力力偶等效表示OO1h减去平衡力系§4-2平面任意力系简化结果的讨论合力矩定理LOOOhO1hOO1R为原力系合力R’’＝R’＝R

平面任意力系的合力对于作用面内任一点的矩等于力系中所有各力对于该点的矩的代数和。§4-2平面任意力系简化结果的讨论§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

如果平面任意力系向任一点简化后的主矢和主矩都等于零，表明简化后的汇交力系和附加力偶系都自成平衡，则原力系必为平衡力系。所以，主矢和主矩都等于零是平面任意力系平衡的充分条件。反之，如果主矢和主矩中有一个量不为零，则原力系可合成为一个合力或一个力偶；如果主矢和主矩都不为零，则原力系可进一步合成为一个合力。这种情况下，力系不平衡，所以，主矢和主矩都等于零又是力系平衡的必要条件。

平面任意力系平衡的充要条件是:力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。即：平面任意力系平衡的充要条件：主矢，主矩即：所以：平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。有独立三个方程，只能求解三个未知数这是平面任意力系平衡方程的基本形式§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

二矩式：三矩式：x轴不得垂直于A、B连线。A、B、C三点不共线。三组方程都可用来解决平面任意力系的平衡问题。究竟选用哪一组方程，须根据具体条件确定。对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。任何第四个方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们可以利用这个方程来校核计算的结果。§4-3平面任意力系的平衡条件平衡方程

摩擦是自然界最普遍的一种现象，绝对光滑而没有摩擦的情形是不存在的。不过在许多问题中，摩擦对所研究的问题是次要因素，可以略去不计，但对于另外一些实际问题，摩擦却是重要的甚至是决定性的因素，必须加以考虑。例如，重力坝依靠摩擦防止在水压力作用下可能产生的滑动；带轮和摩擦轮的传动等。另外一方面摩擦阻力会消耗能量，产生热、噪声、振动、磨损，特别是在高速运转的机械中，摩擦往往表现得更为突出。两个相互接触的物体产生相对运动或具有相对运动的趋势时，彼此在接触部位会产生一种阻碍对方相对运动的作用。这种现象称为摩擦，这种阻碍作用，称为摩擦阻力。§4-6考虑摩擦的平衡问题

物体系统的平衡物体系统物体组成的系统若干个物体通过约束组成对平衡的考虑系统外的物体的作用系统内的物体的作用系统的外力系统以外的物体对系统的力可以是主动力可以是约束反力系统的内力系统内部各物体间的相互作用力内力总是成对出现的取整个系统为研究对象时，不考虑内力物体系统的平衡其中每一物体都是平衡的取分离体可以是某个物体可以是某几个物体的组合可以是整个系统独立的平衡方程数目都为平面任意力系，n个物体，共有3n个独立的平衡方程如果其中有汇交力系、平行力系，方程数目将随着减少。静定与静不定静定系统中有需要确定的未知数可以列出的独立的平衡方程系统未知数的数目不超过系统平衡方程的数目静不定

系统中未知数的数目超过了系统中独立的平衡方程的数目。静不定次数

静不定系统中的未知数数目减去系统中的平衡方程数目静定的例子ABF1F2F2F1AB静不定的例子ABF1F2F2F1AB静不定问题要到材料力学…中去解决物体系统的平衡问题摩擦应用考虑摩擦的平衡问题

摩擦滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦动滚动摩擦摩擦干摩擦湿摩擦滑动趋势滑动滚动趋势滚动接触面间无润滑介质接触面间有润滑介质滑动摩擦定义：当一物体在另一物体表面上滑动或有滑动趋势时，在两物体接触面上产生的阻碍它们之间相对滑动的现象，谓之“滑动摩擦”。1、静滑动摩擦力1）静滑动摩擦定律APQ

重量为P的物体放在粗糙的固定水平面上,受到一个水平拉力Q的作用。当力Q增加到某个数值QK时,物体处于将动未动的临界状态。此时静摩擦力达到最大值Fm

,称为最大静摩擦力。APQFNFs当时Xi=0Q-Fs=0F

s=Q

静摩擦力的大小由平衡条件确定,并介于零和最大静摩擦力之间,方向与物体相对滑动趋势的方向相反。fs—静摩擦系数无量纲2）动滑动摩擦定律

f—动滑动摩擦因数，它无量纲，与接触物体材料和表面情况有关。动摩擦力与静摩擦力不同，没有变化范围。通常动摩擦系数小于静摩擦系数。

动摩擦力的大小与接触物体间的正压力成正比，方向沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向。实际上动摩擦系数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关，不同材料物体，动摩擦系数随相对滑动速度变化规律也不同，当滑动速度不大时，动摩擦系数可近似认为是个常数。2、摩擦角与自锁现象1）摩擦角称为摩擦角

（angleoffriction）物体处于临界平衡状态时，全约束反力和法线间的夹角称为摩擦角。FN

—正压力F

—静摩擦力FR—全约束反力（全反力）φ—全反力与接触面法线的夹角（不滑动的条件）自锁：当主动力合力的作用线在ψ角内，无论主动力Q多大，都能使物体保持平衡，这种现象称为自锁。摩擦锥：如果物体与支承面的静摩擦系数在各个方向都相同，则摩擦角范围在空间就形成为一个锥体，称为摩擦锥。FQFR2）自锁现象自锁条件斜面自锁条件螺纹自锁条件例

假设墙壁光滑，若使梯子不滑动，地面与梯子间的静滑动摩擦因数fs至少为多大(不计梯子自重,人重为W).ABBAn解：研究梯子，画受力图§4-6考虑摩擦的平衡问题

例

用绳以P=100