第三课时空间图形在平面内的表示方法

第三课时空间图形在平面内的表示方法课前自主学习课标研读1．了解直观图的概念；掌握斜二测画法画直观图的原则，会用斜二测画法画水平放置的平面图形及长方体、正方体的直观图．2．重点是直观图画法规则，难点是由直观图恢复原图形．温故夯基1．在空间中确定平面可根据_______________．2．画表示平面的平行四边形时，通常把它画成锐角为_______，横边画成是邻边的两倍．公理3及其推论45°知新益能1．________________________，叫做空间图形的直观图．2．空间图形直观图的画法常采用______________，这种画法的规则是：(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴____、______，再取______，使∠xOz＝______，且∠yOz＝_______.表示空间图形的平面图形斜二测画法OxOyOz轴90°90°(2)画直观图时，把它们画成对应的轴_______、_______、_____，使∠x′O′y′＝_______________，∠x′O′z′＝_________，x′O′y′所确定的平面表示___________．(3)已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于______，_____，_____的线段．(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中______________；平行于y轴的线段，长度为_______________．O′x′O′y′O′z′45°(或135°)90°水平平面x′轴y′轴z′轴保持长度不变原来的一半问题探究1．斜二测画法中的“斜”和“二测”的含义是什么？提示：“斜”，即在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°角；“二测”是两种度量形式，即已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．2．同一个几何体不同的建系方法所画出的直观图相同吗？提示：不一定相同，如几何体中的同一条棱因平行x轴和y轴不同所画出的长度也不相同．课堂互动讲练题型一画平面图形的直观图画平面图形的直观图时，需要在原图中建立适当的平面直角坐标系，再根据斜二测画法规则画出相应的点及线段．清楚原图中哪些线段平行于坐标轴，哪些线段与坐标轴不平行．例1如图，图(2)是图(1)的斜二测画法的直观图，找出错误之处，并且画出正确的直观图．【思路点拨】关键是C点的确定方法，可以从C点作x轴或y轴的平行线．【解】点C′的位置不对．画法：法一：如图：(1)作CD∥Ox交y轴于点D，画对应轴O′x′、O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在O′x′上取O′B′＝OB，在y′轴的负半轴上取O′D′＝OD，过D′作D′C′∥O′x′且D′C′＝DC.(3)连结O′C′、B′C′，并擦去辅助线，则△O′B′C′即为所画三角形的直观图．法二：如图：(1)作CD∥Oy交x轴于点D，画对应轴O′x′、O′y′，使∠x′O′y′＝45°.【思维总结】画直观图的基本步骤：(1)建系；(2)画轴；(3)作平行线段(横不变纵减半)；(4)连线；(5)擦去辅助线(也可保留辅助线)．(2)在x′轴的正半轴上取O′D′＝OD，O′B′＝OB，过D′作O′y′的平行线，在这条直线上x′轴下方取D′C′＝DC.(3)连结O′C′、C′B′，并擦去辅助线，则△O′B′C′即为所求，题型二平面图形的直观图恢复成原图这是逆向作图问题，只需将画法规则颠倒过来即可．熟悉直观图画法规则的每一步，常将两图作比较，理解其中的变化规律．例2一个水平放置的平面图形的斜二测直观图(如图所示)是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求这个平面图形的面积．【思维总结】

解答本题的关键是斜二测画法中直观图中对应原图形的形状，要抓住斜二测画法的要点：横不变，纵折半，倾角四十五度，连成平行线．直观图的还原就是逆用斜二测画法，要紧紧抓住上述关键．题型三空间图形的直观图画空间图形的直观图，先在几何体的水平放置的表面上建立平面直角坐标系xOy，再建立Oz轴．在直观图中，与Oz轴平行的线段，平行性和长度都不改变．例3用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm、6cm、4cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．【思路点拨】以底面矩形的中心为坐标原点，以平行于长方体的棱所在的直线为坐标轴建立坐标系．【解】

(1)画轴．如图(1)所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝8cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝3cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连结A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图如图(2)所示．【名师点评】本题亦可以长方体的一个顶点为坐标原点，以该顶点为端点的三条棱所在直线为坐标轴，建立坐标系．变式训练画出一个棱长为10cm的正方体．解：画法：(1)作空间坐标系，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，∠y′O′z′＝45°.(2)作边长为10cm的正方形的直观图ABCO′.(3)分别过A、B、C作z′轴的平行线，并在上面及Z′轴上截取AA′＝BB′＝CC′＝O′D′＝10cm.(4)连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，即得所求正方体AC′.思维误区警示画法规则用错画直观图或直观图恢复成原图，易把画法规则中的长度关系画错．例把右图水平放置的直观图四边形P′Q′R′S′还原为真实图形．若S′R′＝2，P′Q′＝4，S′P′＝2，试求其真实图形四边形PQRS的面积．【错因】不理解原图和直观图中各线段的变化及位置关系，如：S′P′与P′Q′在原图中是垂直关系．【自我挑战】由斜二测画法知，P′Q′∥O′x′、P′S′∥O′y′、R′S′∥O′x′，故PQ∥Ox、PS∥Oy、RS∥Ox，其真实图形如图所示．

规律方法总结1．在直观图中有“三不变、两变”，“三不变”是指直线的平行性、点的共线性、线的共点性不变；“两变”是指角的大小、线段的长度．2．对于图形中与x轴、y轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助于所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．随堂即时巩固1．(2010年唐山质检)在原来的平面图中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段(

)A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行

D．既不平行也不相等答案：A2．一水平放置的角的直观图是(

)A．一个角