第三讲：风险厌恶

风险厌恶

熊和平

2012年秋季一、风险厌恶的定义风险厌恶有多种定义方法，这里利用效用函数定义——给定财富水平和效用函数，定义风险厌恶。如下述定义：定义：如果投资者不喜欢任何零均值（即公平博弈）彩票，则称其为风险厌恶者。效用函数的凸凹性与风险态度紧密相连定义:凹性Afunctionf:R→Risconcaveiff:px+(1-p)yf(EX)Ef(X)xy凹函数的定义定义：称函数

f:R→R为凹函数当且仅当风险厌恶与凸凹性有关，如果效用函数为凹的则风险厌恶；反之凸效用函数为风险喜好；直线为风险中性。定理：如果凸的连续偏好表示为上述的期望效用函数，那么相应的效用函数是凹的风险厌恶的定义基于公平博弈的定义：定义：记为一个不确定的支付。如果，则称为一个公平博弈。风险厌恶：称效用函数的参与者是（严格）风险厌恶的，如果定理：当且仅当u(.)是（严格）凹函数时，参与者是（严格）风险厌恶的。Anagentisrisk-averseifhedislikesallzero-meanriskatallwealthlevels(Gollier2001)

zero-meanrisk=fairgamble基于效用函数的定义：风险态度的定义：若对于风险投资投资者满足：风险厌恶风险偏爱风险中性RiskaversionAnagentisrisk-averseifandonlyifhisutilityfunctionisconcave,i.e.,iffu´´isnegative.Example:u(w)=ln(w).Jenseninequality例子：

100元（概率为3/4）

L-40元（概率为1/4）

E(L)=100×3/4+(-40)×1/4=65元选L而不是65元E(u(L))>u(E(L))

选65而不是LE(u(L))<u(E(L))

对两者的态度相同

E(u(L))=u(E(L))二、风险厌恶的度量通常我们假设所有经济人为风险厌恶者，接下来我们希望知道如何量化风险厌恶，从而能够比较不同参与者或同一参与者在不同情况时的风险厌恶程度。风险态度的图象：

u(.)

风险厌恶

风险中性

风险偏爱

W风险厌恶的度量：图形分析v(x0)v(x1)v-1(E{v(x)})E{v(x)}E{x}x0x1xv(x)风险厌恶及其度量：

两种风险厌恶的度量方法;

Markowtz度量—风险溢价

确定性等价（certaintyequivalent)

风险溢价（riskpremium)

具体地：Arrow-Pratt度量：Arrow-Pratt度量：风险容忍系数（absoluterisktolerance)两种方法的比较：例子（Copeland）：某人具有对数效用函数，初始财富为$20,000面临两种风险决策：（1）

50%$10A50%-$10(2)80%-$1,000B20%-$10,000Arrow-Pratt度量Markowtz度量

请问你有何结论？回到王江教材绝对风险厌恶：

确定性等价：一个参与者与一个公平博弈所要求的风险溢价，定义为：

在小风险博弈下泰勒展开得到绝对风险厌恶：

相对风险厌恶：考虑如下以总财富为基数的博弈和风险溢价：这里，博弈的盈亏为，与总财富成比例展开得风险厌恶的例子线性或风险中性效用：负指数效用函数：平方效用函数：幂指数效用函数：风险厌恶的比较：定义：称u1

比

u2

更加厌恶风险若在任何财富水平下前者不喜欢（dislikes）所有后者觉得无差异的彩票:

foranyX,w0:Eu2(w0+X)=u2(w0)

Eu1(w0+X)≤

u1(w0).NSC:三、风险厌恶的比较Moreriskaversion主要结论定理：下面的命题是等价的：1、2、是凹的；3、使得4、对所有的w和公平博弈成立递减的绝对风险厌恶【Decreasingabsoluteriskaversion(DARA)】Itiswidelyacceptedthatpisadecreasingfunctionofw0.ThisistrueifandonlyifA(w0)isdecreasinginw0.DARAisequivalentto:其他概念绝对风险厌恶递增（IARA）相对风险厌恶递减(DRRA)相对风险厌恶递增(IRRA)四、典型的效用函数(静态)CARA:u(z)=-exp(-Az);A(z)=ACRRA:u(z)=z1-g/1-g;A(z)=g/zLN:u(z)=ln(z)A(z)=1/zQuad:u(z)=cz-0.5z2;A(z)=(c-z)-1TheyallbelongtotheHARAfamily:二次效用函数：CARA或指数效用函数：CRRA效用函数：HARA（hyperbolicabsoluteriskaversion)效用函数：

CRRACARA度量你的风险厌恶程度假定你当前财富为100，面临50%-50%机会获得或失去财富的

a%.你愿意支付多少来消除该风险?假定CRRA+estimategfromaboveeq.

EstimationofrelativeRA典型的效用函数(动态)最简单情形：跨时可加

或跨时依赖：habitformation(见Chan&Kogan，2002）spiritofofcapitalism(Bakshi&Chen1996）递归效用[Epstein和Zin（1989、1991）]参考文献：Machina,M.1987.Choiceunderuncertainty:problemssolvedandunsolved.JournalofEconomicPerspectives1:281-296ChrisStarmer.2000.Developmentsinnon-expectedutilitytheory: