第7章应力状态分析

材料力学2/1/20231身是菩提树，心如明镜台。时时勤拂拭，勿使惹尘埃。菩提本无树，明镜亦非台。本来无一物，何处惹尘埃。佛:无上正等正觉菩萨:正等正觉罗汉:正觉神秀惠能2/1/20232释迦牟尼佛文殊菩萨普贤菩萨阿弥陀佛大势至菩萨观世音菩萨山西五台山中国四大菩萨道场四川峨眉山安徽九华山浙江普陀山药师佛日光菩萨月光菩萨2/1/20233一、应力状态和单元体1.应力状态通过受力物体上一点的任意截面上的应力情况=一点的应力状态2.单元体围绕一点取出正六面体：三对面每对面上3个应力分量：共9个正面纵截面横截面第7章应力状态分析7.1应力状态的概念应力单元2/1/20234考虑到剪应力互等定理，9个应力分量中6个独立应力分量已知的单元体称为原始单元对材料力学所研究的杆件，原始单元必然包含一对横截面，因为横截面上的应力已经有公式可计算Oxyzxyzyxxy根据原始单元上的已知应力分量，就可以计算任意斜截面上的应力分量。单元体及各面上的应力就代表了该点处的应力状态2/1/202353.基本变形应力单元(a)拉伸压缩杆受弯梁上下边缘点(b)受扭圆轴受弯梁中性层(c)梁截面上非中性层、非上下边缘点4.主单元体主平面：剪应力为零的平面主单元：由主平面构成的单元体过一点一定存在三对相互正交的主平面形成主单元体2/1/202365.主应力和主方向（1）主应力主平面上的正应力称为主应力。过一点存在三对相互正交的主平面，由此构成主单元。受力物体上任意一点均有三个主应力。123按代数量的大小排序：

1——第一主应力2——第二主应力3——第三主应力

（2）主方向主应力的方向称为主方向它也是主平面的法线方向2/1/20237二、应力状态分类1.分类依据根据不为零的主应力个数分类。2.分类结果单向应力状态（单轴应力状态）仅一个主应力不为零者，可能的情况有：

1、0、0—单向拉伸；

0、0、3—单向压缩。11331232/1/20238二向应力状态（双轴应力状态，平面应力状态）

有二个主应力不为零者，可能的情况有

1、2

、0；双向受拉

1、0、3

；一拉一压

0、2

、3；双向受压三向应力状态（三轴应力状态）

三个主应力均不为零者单向应力状态称为简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。1232/1/202397.2平面应力状态分析一、斜截面上的应力分量已知条件一个主应力为零：设为前后面正应力和剪应力

x——拉为正y——拉为正xy

——绕单元体顺时针转者为正图示应力均为正值xyxxyyyx凡与图示指向不一致者为负2/1/2023102.斜截面上应力分量xxyxyyABCyxxyABC取脱离体设AB面积dA，则BC面积为dAsin，AC面积dAcos为斜截面与竖向面（x作用面）的夹角，逆时针转为正2/1/202311整理得解得利用三角关系2/1/202312容易得到最后得到应力的第一不变量2/1/202313特殊情况一：单向拉伸或压缩=0的横截面=45斜截面剪应力在该斜截面上最大。铸铁的受压破坏与此有关。2/1/202314特殊情况二：扭转等纯剪切正应力的极值出现在=45的斜面上正应力就是主应力铸铁、粉笔等脆性圆试样扭转破坏就是由于最大拉应力引起的。2/1/202315例题7.1

图示单元体，试计算=60及=-45斜面上的应力分量。解：已知80120MPa10060-453.4200-32.7-202/1/202316二、极值应力1.极值正应力由斜截面上正应力的公式求驻点说明：剪应力等于零的斜截面上正应力取极值极值正应力就是主应力2/1/202317主平面方位

剪应力（切应力）为零的平面为主平面，该面与铅垂面的夹角0，称为主方向。解得：正交二主平面，对应于二个主应力。或2/1/202318主应力大小为设i是与i对应的主方向或x>y

时，|i|<45；x<y

时，|i|>45；x=y

且xy>0时，i=-45;xy<0时，i=45。则应力的第一不变量还有一个主应力为零，共三个主应力，依据代数量的大小进行排序可得第一、第二、第三主应力。不难得到2/1/202319其实，平面应力问题的主应力和主方向，就是如下22应力矩阵的特征值和特征矢量设特征值为，则有参见《线性代数》展开行列式方程的两个根可以证明，应力矩阵的特征矢量就是主方向2/1/2023202.极值剪应力极值剪应力平面方位说明极值剪应力平面与主平面相差45°，即极值剪应力所在平面与主平面相交成45角。2/1/202321极值剪应力三种情况最大剪应力极大和极小绝对值相等，仅相差一个正负符号极大值和主应力的关系2/1/202322例题7.2求纯剪应力状态的主应力。解：2/1/202323例题7.3求图示拉剪应力单元的主应力值和最大剪应力值。解：已知主应力最大剪应力2/1/202324例题7.4计算图示单元体ab面上的应力及主应力数值、主方向。解：80MPa3040ab60°MPaMPa2/1/202325所以MPaMPa因所以-13.28°与1对应76.72°与3对应2/1/2023267.3应力圆及其应用一、平面应力状态应力圆1.圆的方程（1）斜截面应力（2）圆的方程2/1/202327以为横坐标、为纵坐标的圆的方程。圆心C坐标为：ORC半径为该圆称为应力圆，或莫尔圆所以2/1/2023282.应力圆的作法（1）画坐标系—

OCDD

（2）确定D点（x,xy

）（3）确定D点（y,-xy

）（4）连接D、D点，与横坐标轴相交，交点C即为圆心。

（5）以C为圆心、CD为半径画圆，就是莫尔圆（应力圆）。问题：如果已知主应力，如何作应力圆？2/1/202329证明：CODD1D'D2(x,xy

)(y,-xy

)半径圆心圆心得证半径得证2/1/202330二、应力圆的应用1.主应力和主方向主应力CODD'FGG'E202AB应力圆与横坐标的交点A、B，其纵坐标为零，即剪应力为零，对应的横坐标就是主应力2/1/202331主方向CODD'FGG'E202ABD点代表x面，DCA=20为大主应力与x夹角的2倍从CD向CA旋转，逆时针为正x>y

时，D点在D之右，|20|<90，故|0|<45；xy>0时，D点在上，0=-45;

x<y

时，D点在D之左，|20|>90，故|0|>45；x=y

时，D点和在D在同一竖直线上，|20|=90xy<0时，D点在下，0=45。

2/1/2023322.极值剪应力最高点G的纵坐标为剪应力的极大值最低点G为剪应力的极小值CODD'FGG'E202AB3.斜截面上的应力CD线转动2与圆交于EE点的坐标就是斜截面上的应力可直接从图上按比例量取2/1/2023337.4空间应力状态简介一、主应力1.应力单元空间应力单元三对面9个应力分量剪应力互等定理：ij=ji应力矩阵如下且33阶对称矩阵2/1/2023342.主应力主应力就是应力矩阵的特征值三个应力由如下行列式所表示的关于的一元三次方程求解应力矩阵的特征矢量就是相应主方向2/1/202335二、莫尔圆和八面体上的应力1.莫尔应力圆三个主应力形成三个应力圆任意斜截面上的应力位于大小圆之间的阴影面积内2.正八面体上应力正八面体概念正八面体上应力x2x1x32/1/202336例题7.5应力单元如图所示，求主应力和最大剪应力解应力矩阵主应力控制方程展开得x13020x2x32040单位为MPa2/1/202337即x13020x2x32040解得三个根三个主应力最大剪应力2/1/202338本题的应力状态比较特殊，可有另一种解法x13020x2x32040前后面上无剪应力，就是一对主平面。已知一个主应力-30MPa，余下的应力分量按平面应力考虑。三个主应力结果完全一样！2/1/2023397.5广义胡克定律一、应力—应变关系1.主应力表示的物理关系121233其中的应变分量称为主应变，最大主应变为2/1/2023402.一般坐标下的物理关系对于平面应力状态，应为z=0，所以但2/1/2023413.应用于应变测量测量方法电阻应变测量光纤测量直接测正应变，间接测剪应变光纤传感器电阻应变测试测定构件表面一点三个方向的正应变（应变花），就可以计算出x、y方向的正应变，剪应变，利用胡克定律计算应力，并求出主应力。任意方向的正应变满足关系2/1/202342所以应力分量为进一步，按平面应力状态分析主应力和主方向2/1/202343二、体积应变1.体积应变的定义abczxya1b1c1