第3章 模糊理论

3模糊理论

FuzzyTheory第一节引言一、模糊控制的发展1965年，美国控制论专家L.A.Zadeh在《Informationandcontrol》发表的开创性论文《Fuzzysets》，首次提出了用“隶属函数”的概念来定量描述事物模糊性的模糊集合理论，从此奠定了模糊数学的基础。

1974年英国学者E.H.Mamdani首次把模糊集合理论成功地应用在锅炉和蒸汽机的控制之中，在自动控制领域中首开模糊控制在实际工程上的应用先河。之后，模糊数学获得了长足的发展，在理论和应用上都取得了丰硕成果。模糊数学的应用领域以涉及到自动控制、图像和文字识别、人工智能、地址、地震、医疗诊断、气象分析、航空、火车汽车轮船驾驶、企业管理和社会经济等许多放面。二、模糊控制的特点1、无需知道被控对象的数学模型2、是一种反映人类智慧思维的智能控制3、易于被人们所接受（核心：控制规则）4、构造容易5、鲁棒性好

模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出一、模糊集的概念

集合：具有某种特定属性的对象全体。集合中的个体通常用小写英文字母如：u表示；集合的全体又称为论域。通常用大写英文字母如：U表示。

uU表示元素（个体）u在集合论域（全体）

U内。第二节模糊集合论基础集合表示法(经典集合)：(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。(2)定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。(4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性来表示集合。例：设集合U由1到5的五个自然数组成，用上述方法写出该集合的表达式。解：(1)列举法U={1,2,3,4,5}(2)定义法U={u|u为自然数且1u5}(3)归纳法U={ui+1=ui+1,i=1,2,3,4,u1=1}

经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。

用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。

诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、“温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。

经典集合对事物只用"1"、"0"简单地表示“属于”或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属度(Degreeofmembership)”来描述元素的隶属程度，隶属度是0到1之间连续变化的值。模糊集合特征函数隶属度函数（0～1连续变化值）例：人对温度的感觉(0C~40C的感觉)：“舒适”：15C~25C“热”：25C以上“冷”：15C

以下经典集合对温度的定义0

152540冷热(T)1.0舒适温度C0

152540(T)1.0冷热舒适温度C模糊集合对温度的定义经典集合：14.99C属于“冷”；15.01C属于舒适。与人的感觉一致吗？模糊集合：论域U中的模糊集合F用一个在区间[0,1]上的取值的隶属函数F来表示，即：

F

：U[0,1]uF

（映射）（隶属函数F：u隶属于F的程度）F(u)=1：u完全属于U；F(u)=0：u完全不属于U；0<F(u)<1：u部分属于U。U中的模糊集F可以用元素u和它的隶属度来表示：F={(u,F(u))|uU}例：设F是远大于0的实数集合（显然F是模糊集合，而论域U表示全部实数集合），U中任一元素u隶属模糊集合F的隶属度F(u)可有下式来定义：F(u)=0u

0

u>0可算出F(5)=0.2,F(10)=0.5,F(20)=0.8可见F(u)是U到闭区间[0,1]的映射。510200.20.50.8U[0,1]F(u)

1、论域U为离散域（即论域U是有限集合）(1)查德表示法F=模糊集合的表示方法：例：集合F表示接近于0的整数（已知论域U={0,1,2,3,4,5}）(2)序偶表示法F={(u1,(u1)),(u2,(u2)),…,(un,(un))}(3)向量表示法F={(u1),(u2),…,(un)}（元素u按次序排列）例：F={(0,1.0),(1

,0.9),(2

,0.75),(3,0.5),(4

,0.2),(5

,0.1)}例：F={1.0

,0.9,0.75,0.5,0.2

,0.1}2、论域为连续域例:以年龄为论域，取。Zadeh给出了“年轻”的模糊集F，其隶属函数为

“年轻”的隶属函数曲线模糊集合表示为：模糊集合是用隶属度函数描述的。二、隶属度函数的建立隶属度函数：模糊集合的特征函数（取值范围在[0,1]区间）

确定隶属度函数的方法具有主观性，但主观的反映和客观的存在有一定的联系，是受客观制约的。

由于模糊集理论的研究对象具有模糊性和经验性,因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实的。确定隶属函数应遵守的一些基本原则：1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合例:适中开车速度的集合是模糊集合。可表示为:“适中速度”=0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70

从最大隶属度函数点向两边延伸时,其隶属函数的值是必须是单调递减的,而不允许有波浪形。203050709500.20.40.60.81速度（语言变量）Degreeofmembership适中低高51002、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。很低很高标称名：语言值(个数适中：3～9个（奇数）)语言值的个数和规则数成正比。3、隶属度函数要符合人们的语言顺序，

避免不恰当的重叠注意：间隔的两个模糊集合隶属度函数尽量不相交。重叠指数：衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一个重要指标。包括：重叠率、重叠鲁棒性重叠指数的定义附近隶属函数的范围LUA1A2x00.51.0重叠范围L‘U’(0.2~0.6为宜)(0.3~0.7为宜)例：

重叠率和重叠鲁棒性越大，模糊控制模块模糊性越强，规则越多，越复杂，精度越高。求重叠率和重叠鲁棒性隶属度函数确立的方法：1、模糊统计法2、例证法3、专家经验法4、二元对比排序法1、模糊统计法

基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清晰集合A*作出清晰的判断。

对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同的边界。但它们都对应于同一个模糊集A。年轻人17-30岁20-35岁模糊集A清晰集A1*清晰集A2*所有人论域Uv0隶属度函数确立的方法：计算步骤：在每次统计中，v0是固定的（如某一年龄），A*的值是可变的，作n次试验,则模糊统计公式：隶属度函数确立的方法：例：求中等身材的集合A及μA(1.64)选10人，每人确定A*的元素，假设10个人所确定的A*分别是：1.60~1.691.63~1.701.65~1.751.56~1.701.62~1.731.65~1.721.64~1.731.60~1.691.69~1.751.69~1.77……∴①随着n的增大，隶属频率会趋向稳定，这个稳定值就是v0对A的隶属度。②计算量大。模糊统计法的特点：2、例证法：从有限个隶属度值，来估计U上的模糊集A的隶属度函数。3、专家经验法：根据专家的经验对每一现象产生的各种结果的可能性程度，来决定其隶属度函数。4、二元对比排序法：通过对多个事物之间的两两对比，来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大体形状。模糊控制中，隶属度函数基本图形分为三大类：1.左大右小的偏小型下降函数（Z函数）：适用于输入值比较小时的隶属度函数确定。0x1.0(x)矩形分布0x1.0(x)梯形分布0x1.0(x)曲线分布2.左小右大的偏大型上升函数（S函数）：适用于输入值比较大时的隶属度函数确定。01.0(x)x矩形分布0x1.0(x)梯形分布0x1.0曲线分布3.对称型凸函数（函数）：适用于输入值位于中间时隶属度函数确定。01.0(x)x矩形分布(x)0x1.0三角形分布01.0(x)梯形分布x01.0(x)曲线分布x三、模糊关系（用于模糊推理决策）1.模糊关系的定义关系：客观事物间的相互联系。

普通关系：二元关系（是、否）例：父子、师生、同事模糊关系：父子相像。例：设A={0,1}，B={a,b,c}则A×B={(0,a)，(1,a)，(0,b)，(1,b)，(0,c)，(1,c)}B×A={(a,0)，(a,1)，(b,0)，(b,1)，(c,0)，(c,1)}注意：A×B≠B×AA、B两集合的直积：序偶：例：甲、乙、丙3人参加考试，考试的成绩为优、良、中、差，则A={甲,乙,丙}，B={优,良,中,差}A×B：12种序偶的集合。一次考试：R={(甲,优)，(乙,中)，(丙,差)}A、B间的关系可通过矩阵形式直观地表示出来，关系之间地运算可转换为矩阵间运算。矩阵：A甲乙丙B优良中差关系对应模糊关系R：以A×B为论域的一个模糊子集且有：定义：模糊矩阵：有限集A，B，即序偶模糊矩阵中的元素记为模糊矩阵R记为:其中例设求模糊关系R＝A×B，模糊矩阵解：①求②方法1：方法2：对应元素取小例：已知两个模糊集合A、C的隶属度函数分别为求它们的模糊关系C×A其中，C，A分别属于两个不同的论域U，V课内练习解：定义笛卡尔积

若A1、A2分别是论域U1、U2

中的模糊集，则A1

、A2的笛卡儿积是在积空间U1U2中的一个模糊子集，其隶属度函数为:直积（极小算子）：A1

A2(u1,u2)=min{A1(u1),A2(u2)}代数积：A1

A2(u1,u2)=A1(u1)A2(u2)对于连续情况，关系矩阵可定义为：为了区分直积、代数积，用min表示直积；用AP表示代数积。记号t算子：表示笛卡儿积模糊关系的合成：如果R和S分别为笛卡儿空间UV和VW上的模糊关系，则R和S的合成是定义在空间U

W上的模糊关系，并记为R°S。其隶属度函数的计算方法：模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成来表示2、模糊关系的合成上确界（Sup)算子

S祖父祖母父0.50.7母0.10用模糊矩阵S可表示为R父母子0.20.8女0.60.1例某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系，可表示为也可以用模糊矩阵R来表示该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为求孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度？（即求）

解：

此模糊关系表明：孙子与祖父、祖母的相似程度为0.2、0.2;孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5、0.6。

一、模糊逻辑及其基本运算模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑。模糊命题