第三讲 插值与拟合

第三讲插值与拟合插值与拟合在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据

i=0,1,2,…,n,揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可用一个近似的函数关系式y=f(x)来表示，函数f(x)产生的办法通常有两种方法：曲线拟合和插值，拟合主要是考虑到观测数据受随机误差的影响，寻求整体误差最小，较好反映观测数据的近似函数，并不保证所得到的函数一定满足插值则要求函数在每个观测点处一定要满足一、插值1、引例上大二的小华正在做概率作业，要计算标准正态分布函数在0.514处的数值，他拿出一本概率论的教材，找到了这样的标准正态分布函数的表格：

x

0

1

2

3

……

0.50.69150.69500.69850.7019…

0.60.72570.72910.73240.7357……小华从表上查到怎样从这些结果计算呢？小华认为在0.51到0.52这样小的区间内，可将函数近似看作线性的，得到小华用的就是一种插值方法——分段线性插值，插值可简单地理解为：要根据一个用表格表示的函数，计算表中没有的函数值。表中有的点称为节点，要计算的点称为插值点。2、一维插值调用格式：y=interp1(x0,y0,x,’method’)

其中向量x0，y0为插值点，y为在被插值点x处的插值结果；‘method’表示插值的方法。MATLAB的插值方法：‘nearest’最邻近插值；‘linear’线性插值；‘spline’三次样条插值；‘cubic’立方插值；缺省时表示线性插值。注：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能超过x的范围。例1：对用g(x)产生11个节点作四种插值计算，并作图。例2：在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得环境温度数据分别为()12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13.

推测中午13点的温度，并作出一天的温度曲线。二、拟合1、引例：几天后，小华在物理实验中又碰到一个看起来非常类似的问题：有一只对温度敏感的电阻，已经测得一组温度t和电阻R数据：

20.532.751.073.095.7

7658268739421032现在想知道时的电阻多大。老师给他两点提示：1、在直角坐标系中把5个点画一下，看看电阻R和温度t之间的关系；2、测量数据总有误差，这与用函数表作插值计算有不同之处。R与t大致呈直线关系，即根据一组（二维）数据，即平面上的若干点，确定一个一元函数，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近，这就是曲线拟合。2、多项式函数拟合:p=polyfit(x,y,m)

其中x，y为要拟合的数据，是长度自定义的数组，m为拟合多项式的次数。输出参数p为拟合多项式的系数。3、对超定方程组用可得最小二乘意义下的解。4、多项式在x处的值y可用下面程序计算：

y=polyval(p,x)。注：也可使用MATLAB曲线拟合工具箱。

Start-Toolboxes-CurveFitting例1：拟合引例中电阻R与温度t之间的关系R=at+b。例2：x为0到1之间的数，间隔0.1，y为-0.447，1.978，3.28，6.16，7.08，7.34，7.66，9.56，9.48，9.30，11.2，分别用二次、五次和十次拟合曲线来拟合这组数据，并进行比较。从图形上看，次数越高拟合程度越好。例3已知在某实验中测的某质点的位移和速度随时间的变化如下，求质点的速度与位移随时间的变化曲线以及位移随速度的变化曲线。

t00.51.01.52.02.53.0v00.47940.84150.99750.90930.59850.1411s11.522.533.54练习：旧车价格预测某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中xi表示轿车的使用年数，yi表示相应的平