信息光学之标量衍射理论

第三章标量衍射理论

ScalarTheoryofDiffraction衍射: 不能用反射或折射来解释的光对直线光路的任何偏离衍射理论实际上就是光波传播的规律标量衍射理论:是对矢量理论的简化.条件:1.衍射孔径>>波长2.衍射场(观察区域)不太靠近孔径首先要对标量波进行数学描述§3-1光波的数学描述

单色光波场的复振幅表示光场随时间的变化关系:由频率n表征.光振动是空间点

(P)和时间(t)的实简谐函数,可表为:

u(P,t)=a(P)cos[2pnt-j(P)]振幅频率初位相可见光:n~1014Hz严格单色光:n为常数光场随空间的变化关系体现在: (1)空间各点的振幅可能不同(2)空间各点的初位相可能不同, 由传播引起.光场变化的空间周期为l.光场变化的时间周期为1/n.将光场用复数表示,有利于简化运算§3-1光波的数学描述

单色光波场的复振幅表示光场随时间的变化e

-j2pnt不重要:

u(P,t) =a(P)cos[2pnt-j(P)]} =e{a(P)e-j[2pnt-j(P)]}n~1014Hz,无法探测n为常数,线性运算后亦不变对于携带信息的光波,感兴趣的是其空间变化部分.

故引入复振幅U(P):将光场用复数表示,有利于简化运算=e{a(P)e

jj(P).e-j2pnt}复数表示有利于将时空变量分开U(P)=a(P)e

jj(P)#§3-1光波的数学描述

单色光波场的复振幅表示:说明

U(P)是空间点的复函数,描写光场的空间分布,

与时间无关;U(P)=a(P)e

jj(P)U(P)同时表征了空间各点的振幅|U(P)|=|a(P)|

和相对位相 arg(U)=j(P)

方便运算,满足叠加原理

实际物理量是实量.欲恢复为真实光振动:#

光强分布:I=UU*

光强是波印廷矢量的时间平均值,正比于电场振幅的平方

u(P,t)=e{U(P)exp(-j2pnt)}即可§3-1光波的数学描述

球面波:空间分布点光源或会聚中心球面波:等相面为球面,且所有等相面有共同中心的波k=|k|=2p/l,为波数.表示由于波传播,在单位长度上引起的位相变化,也表明了光场变化的“空间频率”(P(x,y,z))0zyx源点S(rk设观察点P(x,y,z)与发散球面波中心的距离为r,k:传播矢量#球面波的等位相面:kr=c

为球面则P点处的复振幅:j(P)=k.rk:传播矢量球面波:k//ra0:单位距离处的光振幅§3-1光波的数学描述

球面波:空间分布会聚球面波距离r

的表达若球面波中心在原点:(P(x,y,z))会聚点S(r若球面波中心在S(x0,y0,z0):#0zyxk光波的数学描述

球面波:在给定平面的分布以系统的光轴为z轴,光沿z轴正方向传播.所考察的平面垂直于z轴令点光源位于z=0的平面上坐标(x0,y0)处.考察与其距离为z的x

-y平面上的光分布Sx0zxy0y0需要作近轴近似#光波的数学描述

球面波:近轴近似只考虑x

-y平面上对源点S张角不大的范围,即可以作泰勒展开(1+D)1/21+D/2一级近似二级近似对振幅中r

的可作一级近似.但因为k很大,对位相中的r须作二级近似#§3.1光波的数学描述

二、球面波:近轴近似已将球面波中心取在z=0的平面,且光波沿z轴正方向传播.如果z>0,上式代表从S发散的球面波.如果z<0,上式代表向S会聚的球面波.对给定平面是常量随x,y变化的二次位相因子球面波特征位相#球面波中心在原点:光波的数学描述

三、

平面波:空间分布等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量k.等相平面的法线方向k(kcosa,kcosb,kcosg)k的方向余弦,均为常量以k表示的等相平面方程为k

.r=const.故平面波复振幅表达式为:线性位相因子#常量振幅#光波的数学描述

三、平面波:在给定平面的分布在x-y平面上的等位相线

xcosa+ycosb

=const为平行直线族在与原点相距为z

的平面上考察平面波的复振幅:随x,y线性变化的位相因子常数幅相因子,A光波的数学描述

四、平面波的空间频率在与原点相距为z

的平面上考察平面波的位相分布.等位相线是平行直线族.为简单计,先看k在x-z平面内:cosb

=0等位相面是平行于y轴的一系列平面,间隔为lz等位相面与x-z平面相交形成平行直线等位相面与x-y平面相交形成平行于y轴的直线复振幅分布:沿x方向的等相线间距:#光波的数学描述

四、平面波的空间频率复振幅分布:定义复振幅分布在x方向的空间频率:#复振幅分布可改写为:Y=∞,

fy=0对于在x-z平面内传播的平面波,在y方向上有:光波的数学描述

平面波的空间频率:一般情形定义:复振幅变化空间周期的倒数称为空间频率平面波在x和y方向的空间频率分别为:cosa,cosb

为波矢的方向余弦若波矢在x-z平面或y-z平面中,a(b)

又常用它们的余角qx

(qy)表示,故:引入空间频率概念后,单色平面波在xy

平面的复振幅分布可以表示为

#光波的数学描述

平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念单位振幅的单色平面波,波矢量k与x轴夹角为30,与y轴夹角为60.(1)画出z=z1平面上间隔为2p的等相线族,并求出Tx、Ty、T和fx

、fy和f。(2)画出y=y1平面上间隔为2p的等相线族,并求出Tx、Tz

和fx

、fz.练习1光波的数学描述

平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念振幅为1,波长为l=500nm

的单色平面波,传播方向在xz平面内,并与z轴夹角为30.写出其复振幅表达式,并求出z=z1平面上复振幅在x方向和y方向的空间周期Tx和Ty,以及相应的空间频率fx

和fy.练习2光波的数学描述

平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念对于传播方向与z轴夹角为-30的情况,再解上题.练习3如果平面波传播方向在xz平面(或yz平面),与z轴夹角为q,则此平面波复振幅沿x方向(或y方向)的空间频率为:光波的数学描述

平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念空间频率的单位:cm-1,mm-1,周/mm,条数/mm等空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90在给定的坐标系,任意单色平面波有一组对应的fx和fy,它仅决定于光波的波长和传播方向.反之,给定一组fx和fy,对于给定波长的单色平面波就能确定其传播方向cosa

=l,fx,cosb

=l,fy

要与光的时间频率严格区分开空间比时间更具体,更直观,是有形的如果在xy

平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期分布,则复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.二维F.T.在光学上的意义:#§3.1光波的数学描述

五、复振幅分布的空间频谱(角谱)即:把U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合,各分量的权重因子是A(fx,fy).

A(fx,fy)

称为xy平面上复振幅分布的频谱对xy平面上单色光场的复振幅分布U(x,y)进行傅里叶分析:物理上,exp[j2p(fxx+fyy)]

代表传播方向余弦为cosa=lfx,cosb=lfy

的单色平面波在xy平面的复振幅分布,U(x,y)是不同平面波分量分布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx,fy)决定.#§3.1光波的数学描述

五、复振幅分布的空间频谱(角谱)根据可将频谱函数A(fx,fy)用各平面波分量的方向余弦表示:称为xy平面上复振幅分布的角谱,表示不同传播方向(a,b)的单色平面波的振幅(|A|)和初位相(arg{A})#光波的数学描述

五、复振幅分布的空间频谱(角谱)例在x-y平面上,光场复振幅分布为余弦型:可以分解为::U(x,y)的空间频谱函数:U(x,y)的空间角谱函数:#§3.1光波的数学描述

五、复振幅分布的空间频谱(角谱)第一步:写出屏的透过率函数t(x,y):练习:P117,3.1第二步:写出入射波的复振幅分布U0(x,y)

单位振幅的单色平面波垂直入射照明,U0(x,y)=1第三步:写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U

(x,y)U

(x,y)=U0(x,y)t(x,y)=t(x,y)第四步:求出U(x,y)的频谱A(fx,fy)第五步:利用将A(fx,fy)改写成角谱#§3-2基尔霍夫衍射理论

目的:找出衍射现象与光学傅里叶变换之间的关系 首先解决在单色照明下,孔径的衍射场中任意 一点的复振幅.方法:标量场处理,孔径∑>>l,观察距离r>>∑(2)一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式1.惠更斯包络作图法

(1678):

从某一时刻的波阵面求下一时刻波阵面的方法.把波阵面上每一面元作为次级子波的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面.惠更斯原理不仅能解释光的反射和折射,也能预见光在通过简单孔径时的衍射现象.但它只能判断光的传播方向,不能定量计算.#§3-2基尔霍夫衍射理论

一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式2.菲涅耳子波干涉说

(1818):

子波间应当互相干涉,并且应当考虑不同方向子波的差异.—惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理:波阵面上任意未受阻挡的点,产生一个与原波频率相同的子波.此后空间任何一点的光振动是这些子波叠加的结果.其数学表述为:常数幅相因子倾斜因子球面子波表达式源点光扰动U(P0)ds:球面子波的振幅相干叠加观察点(场点)复振幅#

球面子波源§3-2基尔霍夫衍射理论

一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式原波阵面源点处的面元法线场点源点到场点的距离所考虑的传播方向与面元法线的夹角源点成功:可计算简单孔径的衍射图样强度分布.局限:难以确定K(q).无法引入-p/2的相移#§3-2基尔霍夫衍射理论

一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式3.基尔霍夫衍射公式的导出(1882)光场振动应满足的波动方程应用数学工具格林定理光场复振幅必须满足的亥姆霍兹方程对格林函数和光场复振幅函数施加一定的限制条件基尔霍夫边界条件用格林定理解亥姆霍兹方程导出严格的衍射公式#§3-2基尔霍夫衍射理论

一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式3.基尔霍夫衍射公式的导出基尔霍夫边界条件1.在开孔∑上各点,场分布U及其一阶导数与屏不存在时相同.2.在不透明屏后各点,U及其一阶导数恒为0.3.孔径∑>>l,观察距离r>>∑#§3-2基尔霍夫衍射理论

一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式在单色点光源照明平面孔径的情况下:∑P0nP’Prr'过渡到惠-菲原理常数幅相因子1/jl自动出现K(q)函数形式确定#§3-2基尔霍夫衍射理论

一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式对于更普遍的照明情况:1.可以把任意复杂的光波分解为简单球面波的线性组合2.波动方程的线性性质,允许对单个球面波应用基尔霍夫公式,然后再把它们对P点的贡献叠加起来.普遍情形下用U(P0)代替,得:a0ejkr’r'#§3-2基尔霍夫衍射理论

二、光波传播的线性性质考察基尔霍夫衍射公式与线性系统的关系第一步:将基尔霍夫衍射积分扩展到无穷故基尔霍夫衍射积分可写为:根据:对开孔∑的假定—基尔霍夫边界条件1.在开孔∑上各点,场分布U及其一阶导数与屏不存在时相同.2.在不透明屏后各点,U及其一阶导数恒为0.#§3-2基尔霍夫衍射理论

二、光波传播的线性性质考察基尔霍夫衍射公式与线性系统的关系第二步:将基尔霍夫衍射积分表示成线性系统的叠加积分2.考虑x0-y0平面上的孔径,ds=dx0d

y0,观察平面为x-y平面,则基尔霍夫衍射积分可写为:1jlejkrrK(q)1.令h(P,P0)=代表孔径上P0点的扰动在观察点P点处产生的贡献,或者说是P0点的子波源在P点产生的复振幅分布#§3-2基尔霍夫衍射理论

二、光波传播的线性性质这正是描述线性系统输入-输出关系的叠加积分:

输入函数:孔径平面上的复振幅分布U(x0,y0)

输出函数:观察平面上的复振幅分布U(x,y)

脉冲响应:(x0,y0)点的子波源发出的球面波在观察平面产生的复振幅分布h(x,y;x0,y0){

}输入U(x0,y0)输出U(x,y)传播、衍射（h）光波传播的规律,可以用一个线性系统描述.但这个线性系统是否空不变的系统?#§3-2基尔霍夫衍射理论

二、光波传播的线性性质传播现象看成线性空不变系统的条件：

(1)照明点光源足够远，并且是近轴的

cos(n,r’)-1(对任何r’都成立)(2)观察平面与孔径的距离z>>∑,并且仍考虑近轴近似

cos(n,r)1由此可导出:K(q)11jlejkr’r'h(P,P0)=#§3-2基尔霍夫衍射理论

二、光波传播的线性性质将r(源点-场点距离)展开:对于固定的观察平面,即固定的z,r仅决定于(x-x0,y-y0),故脉冲响应函数成为空不变的:基尔霍夫衍射公式的叠加积分形式可进一步写成卷积积分#§3-2基尔霍夫衍射理论

二、光波传播的线性性质基尔霍夫衍射公式的卷积积分形式结论光波在通过衍射孔径后的传播可看作线性空不变系统脉冲响应是孔径平面上的子波源发出的球面子波在观察平面产生的复振幅分布.U(x0,y0)是位置

(x0,y0)处子波源发出的球面子波的权重因子(振幅或位相)所有球面子波的相干叠加得到观察平面的场分布.#Ui(x0,y0)Ut(x0,y0)§3-3

衍射的角谱理论

衍射屏衍射屏对入射光的作用光场通过衍射屏后的变化：Ut(x0,y0)=Ui(x0,y0)t(x0,y0)角谱的变化：At(fx,fy)=Ai(fx,fy)T(fx,fy)F.T.卷积的效应使函数加宽孔径限制了入射波面的范围,展宽了入射频谱FresnelDiffraction:Summary

菲涅耳衍射的三种表示

孔径平面 脉冲响应 观察平面空域

U(x0,y0) *

hF(x,y) = U(x,y)F.T.F.T.F.T.频域

A0(fx,fy)

HF(fx,

fy) = A

(fx,

fy)F.T.表达

U(x,y)F.T.基尔霍夫衍射公式随近似程度的不同,将衍射现象分为菲涅耳衍射和夫琅和费衍射.#基尔霍夫衍射公式中的脉冲响应：§3-4菲涅耳衍射

一、菲涅耳衍射公式略去(x-x0)/z和(y-y0)/z的二次以上的项,则

代入基尔霍夫公式,即得菲涅耳衍射公式(空域)在h的振幅部分取r的一级近似,位相因子用二级近似,则#菲涅耳衍射区的条件:#§3-4菲涅耳衍射

一、菲涅耳衍射公式(i)空域表示式其中,脉冲响应函数为:或写成卷积式:#§3-4菲涅耳衍射

一、菲涅耳衍射公式(ii)频域表示式∴在频域中,菲涅耳衍射表示为:A0(fx,fy)·H(fx,fy)=A(fx,fy),其中传递函数H(fx,fy)为:#§3-4菲涅耳衍射

(iii)菲涅耳衍射的F.T.表达式菲涅耳衍射积分可变为:这种表示特别适合球面波照明的情况.#FresnelDiffraction:Summary

菲涅耳衍射的三种表示

孔径平面 脉冲响应 观察平面空域

U(x0,y0) *

hF(x,y) = U(x,y)F.T.F.T.F.T.频域

A0(fx,fy)

HF(fx,

fy) = A

(fx,

fy)F.T.表达

U(x,y)F.T.##§3-4菲涅耳衍射二、例

例1:泰伯效应—周期性物体自成像周期性物体,单色平面波垂直照明,会在物体后特定距离zT的整数倍距离上,周期性地自成像一维周期性物体-光栅,周期为d,其振幅透过率可展开成傅氏级数:#紧靠屏后的光场分布:空间频率为(n/d,0)的离散值的无穷多个单色平面波分量的叠加.cn是各分量的振幅和位相§3-4菲涅耳衍射

例1:泰伯效应—周期性物体自成像

物体的振幅透过率:采用菲涅耳衍射的频域表达式利用复指函数的F.T.,得出屏后光场的频谱:§3-4菲涅耳衍射

例1:泰伯效应代表离散分布的无穷多个单色平面波菲涅耳衍射的传递函数:此传递函数对平面波分量只引起相移d

函数的乘积性质传播的结果,只引入与空间频率和传播距离有关的相移.#则观察场的频谱:§3-4菲涅耳衍射

例1:泰伯效应则观察平面上的复振幅分布为:g’(x)=g(x)exp(jkz)光强度分布:I(x)=|g’(x)|2=|g(x)|2

与原物相同,即为自成像在特定的距离下,对不同空间频率的平面波分量引入的相移与频率(n)无关,并且是2的整数倍:是原频谱乘上一个常数位相因子,对所有平面波分量都相同.此时自成像发生在泰伯距离的整数倍上.泰伯距离:#§3-4菲涅耳衍射

例1:泰伯效应思考:在两个自成像位置的中间位置,光强度分布如何变化?自成像发生在泰伯距离的整数倍上.泰伯距离:#菲涅耳衍射：例题—泰伯效应

P117:3.3余弦型振幅光栅的复振幅透过率为

式中，d为光栅周期，a>b>0。观察平面与光栅相距z。当z分别取下列各数值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。

（式中zT称作泰伯距离）（1）（2）（3）解：采用菲涅耳衍射的频域表达式输入频谱：菲涅耳衍射的传递函数:此传递函数对平面波分量只引起相移菲涅耳衍射：例题—泰伯效应

P117:3.3解：采用菲涅耳衍射的频域表达式输入频谱：菲涅耳衍射的传递函数:此传递函数对平面波分量只引起相移输出频谱：故：菲涅耳衍射：例题—泰伯效应

P117:3.3观察平面的复振幅分布：在泰伯距离：与原物的复振幅分布只差一个常数位相因子——自成像像强度分布：与原物的强度分布完全相同菲涅耳衍射：例题—泰伯效应

P117:3.3思考:在两个自成像位置的中间位置,光强度分布如何变化?自成像发生在泰伯距离的整数倍上.泰伯距离:#原物：像：§3-4菲涅耳衍射

例2:圆孔菲涅耳衍射的轴上分布圆孔的复振幅透过率轴上强度分布:取a=1mm,l=0.633mmz/a>>1不满足时,菲涅耳近似失效当时,I(0,0)z=0为极小值当时,I(0,0)z=4为极大值m的最小值为0,当时,过渡到夫琅和费近似.#§3-5夫琅和费衍射

FraunhoferDiffraction一、夫琅和费衍射公式及其成立的条件此条件容易满足.例如,=0.633m,

Rmax=3mmz>>50mm菲涅耳衍射的F.T.表达式:上式成立的条件:如果进一步对系统施加限制,

使得则衍射过渡到夫琅和费衍射区d为孔径的最大线度#§3-5夫琅和费衍射

夫琅和费衍射公式除了一个与传播距离z及观察面坐标有关的位相因子以外,在给定距离z的平面上衍射场的分布正比于衍射屏透射光场的傅里叶变换,其振幅及变换的尺度与距离z有关.衍射图样及光强的分布正比于孔径透射函数的功率谱:#§3-5夫琅和费衍射

夫琅和费衍射公式:讨论夫琅和费衍射区的条件苛刻如上例,=0.633m,Rmax=3mm菲涅耳衍射区z>>50mm

夫琅和费衍射区要求z>>9.6m与菲涅耳衍射的关系菲涅耳衍射区包括了夫琅和费衍射区夫琅和费衍射是菲涅耳衍射的进一步近似#§3-5夫琅和费衍射

二、一些简单孔径的夫琅和费衍射照明条件：振幅为A的单色平面波垂直照明孔径：复振幅透过率

孔径函数的频谱

t(x0,y0)

T(fx,fy)F.T.屏后光场复振幅U(x0,y0)=A

t(x0,y0)衍射公式(观察面的光场分布):我们更关心衍射图样的强度分布：#§3-5夫琅和费衍射

简单孔径的夫琅和费衍射：圆孔方向严格沿z方向传播的无穷大平面波,在受到孔径限制后,角度展宽为q=0.61lz/a.孔径越小,角度展宽越大.#AiryPattern第一暗环半径：Drka/z=3.83,Dr=3.83lz/a/2pDr/z=0.61lz/a§3-5夫琅和费衍射

简单孔径的夫琅和费衍射：矩孔ax/lzI/I(0)01-11中央亮斑宽度:Dx

=2lz/a,Dy

=2lz/b∴x,y方向的角展宽:与圆孔数量级相同.孔尺寸越小,角展宽越大若b>>a,成为单缝,可仅作一维处理#§3-5夫琅和费衍射

简单孔径的夫琅和费衍射：双缝rect(x0/a)0a/2-a/21fxasinc(afx)01/aad(x0-d/2)+d(x0-d/2)0d/2-d/21*t(x0)x001f2cos(pfxd)0