第6章几何变换(学生)

第六章图像的几何变换6.1图像的位置变换所谓图像的位置变换是指图像的大小和形状不发生变化，只是将图像进行旋转和平移。图像的几何变换包括

图像的空间平移、比例缩放、旋转、错切等仿射变换

图像几何变换的实质

改变像素的空间位置

，即改变（x，y）6.2图像的平移P115图像的平移非常简单，所用到的是中学学过的直角坐标系的平移变换公式：

注意：x方向与y方向是矩阵的行列方向齐次坐标表示方法：若图像像素点（x，y）平移到（x+△x，y+△y）6.2图像的平移注意：平移后的景物与原图像相同，但“画布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。下移1行，右移2列yx设备坐标系图像的平移

举例镜像分为水平镜像和垂直镜像

水平镜像计算公式为：

123123123-3-2-1发生问题：矩阵下标不能为负平移：6.3图像的镜像P1176.3

图像的镜像同理：垂直镜像计算公式为：123123123-3-2-1发生问题：矩阵下标不能为负图像的镜像举例(水平镜像)图像的镜像举例(垂直镜像)6.4图像的旋转

旋转前：旋转后：6.4图像的旋转图像的旋转计算公式如下：

这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在的范围不同。因此需要前期处理：扩大画布，取整处理，平移处理

(b)逆时针旋转30度后的图像(a)原始图像6.4图像旋转处理的隐含问题图像旋转之后，出现了两个问题：1）像素的排列不是完全按照原有的相邻关系。这是因为相邻像素之间只能有8个方向，如下图所示。2）会出现许多的空洞点。下面，我们通过一个实际例子，来看这两个问题带来的图像画面效果上的问题。

6.4图像旋转的后处理图像旋转出现的两个问题的本质都是因为像素值的填充是不连续的。因此可以采用插值填充的方法来解决。

6.4图像旋转的后处理最简单的方法是行插值（列插值）方法1.找出当前行的最小和最大的非背景点的坐标，记作：(i,k1)、(i,k2)。2.在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法是：空点的像素值等于前一点的像素值。3.同样的操作重复到所有行。行插值处理例题经过插值处理之后，图像效果就变得自然。思考一个问题：边界的锯齿如何处理？6.5图像的缩小分为按比例缩小和不按比例缩小两种。图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可相应缩小。按比例缩小(b)不按比例缩小X’=2/3*x,y’=2/3*y;x’=x,y’=1/2*y6.5图像缩小的实现方法图像缩小实际上就是对原有的多个数据进行挑选或处理，获得期望缩小尺寸的数据，并且尽量保持原有的特征不丢失。最简单的方法就是等间隔地选取数据。6.5图像缩小的实现方法图像的缩小非常简单，变换公式如下：

齐次坐标表示方法：6.5图像缩小的实现方法设原图像大小为M*N,缩小为(k1*M)*(k2*N)，（k1<1，k2<1）。算法步骤如下：1）设旧图像是F(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.

新图像是I(x,y),x=1,2,…,k1M,y=1,2,…,k2N.2）新坐标(x,y)与旧坐标(I,j)之间的运算公式为：

x=int（k1*i+0.5）,y=int（k2*j+0.5）I(x,y)=F(int（k1*i+0.5）,int（k2*j+0.5）)

6.5图像放大图像放大从字面上看，是图像缩小的逆操作，但是，从信息处理的角度来看，则难易程度完全不一样。图像缩小是从多个信息中选出所需要的信息，而图像放大则是需要对多出的空位填入适当的值，是信息的估计。

6.5图像放大的原理最简单的思想是，如果需要将原图像放大k倍，则将原图像中的每个像素值，填在新图像中对应的k*k大小的子块中。放大5倍显然，当k为整数时，可以采用这种简单的方法。6.5图像放大的方法设原图像大小为M*N,放大为k1M*k2N，（k1>1，k2>1）。算法步骤如下：1）设旧图像是F(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.

新图像是I(x,y),x=1,2,…,k1M,y=1,2,…,k2N.2）I(x,y)=F(int（k1*i+0.5）,int（k2*j+0.5）)

图像放大例题K1=1.4,k2=1.2123345664566i=[1,2],j=[1,3].x=[1,3],y=[1,4].x=[i1,i2,i2],y=[j1,j2,j3,j3].123456注意：不按比例放大会导致几何畸变。

6.5图像放大的问题

思考一个问题：

如果放大倍数太大，按照前面的方法处理会出现马赛克效应。如果这个问题交给你，有没有办法解决？或者想办法至少使之有所改善？(2)双线性插值:

也称作一阶插值,,该方法通常是沿图像矩阵的每一列（行）进行插值，然后对插值后所得到的矩阵再沿着行（列）方向进行线性插值。特点:当对相邻四个像素点采用双线性插值时，所得表面在邻域处是吻合的，但斜率不吻合。并且双线性灰度插值的平滑作用可能使得图像的细节产生退化，这种现象在进行图像放大时尤其明显。灰度插值:最近邻插值法：也称作零阶插值，就是令变换后像素的灰度值等于距它最近的输入像素的灰度值。特点：造成的空间偏移误差为像素单位，计算简单。但当图像中的像素灰度级有细微变化时，该方法会在图像中产生人工的痕迹。(3)卷积插值法:当图像放大时，图像像素的灰度值插值可以通过卷积来实现，即将输入图像两行两列中间插零值，然后通过低通模板滤波。一般低通模板有：柱形棱锥形输入图像邻域插零的邻域三次B样条原始图像（b）双线性插值放大图像（公式6-2）6.6图像错切图像的错切变换实际上是平面景物在投影平面上的非垂直投影效果。错切的计算公式如下：

齐次坐标表示方法：图像错切的例题

可以看到，错切之后原图像的像素排列方向发生改变。与前面旋转不同的是，x方向与y方向独立变化。课堂练习1．图像坐标如图所示，请：写出图像逆时针旋转θ角的变换方程。课堂练习2.图像数据如图所示，写出转置和水平镜