第5章互感与变压器

第5章互感与变压器5.2耦合电路的去耦等效5.1耦合互感元件5.3变压器本章教学目的及要求了解互感、耦合系数的含义，掌握具有互感的两个线圈中电压与电流之间的关系；理解同名端的意义，掌握互感线圈串联、并联的计算及互感的等效；理解理想变压器的概念、掌握含有理想变压器电路的计算方法。5.1耦合互感元件5.1.1互感现象两个相邻的闭合线圈L1和L2，若一个线圈中的电流发生变化时，在本线圈中引起的电磁感应现象称为自感，在相邻线圈中引起的电磁感应现象称为互感。i1ψ1L1L2在本线圈中产生的感应电压称为自感电压，用uL表示；在相邻线圈中产生的感应电压称为互感电压，用uM表示。uL1uM2ψ12注脚中的12是说明线圈1的磁场在线圈2中的作用。5.1.2互感电压通过两线圈的电流是交变的电流，交变电流产生交变的磁场，当交变的磁链穿过线圈L1和L2时，引起的自感电压：

两线圈套在同一个芯子上，因此它们电流的磁场不仅穿过本线圈，还有相当一部分穿过相邻线圈，因此这部分交变的磁链在相邻线圈中也必定引起互感现象，由互感现象产生的互感电压：i1ψ1L1L2uL1uM2ψ12i2ψ2ψ21uL2uM1i1ψ1L1L2uL1uM2ψ12i2ψ2ψ21uL2uM1由图中所示参考方向可列出两线圈端电压的相量表达式：自感电压总是与本线圈中通过的电流取关联参考方向，因此前面均取正号；互感电压前面的正、负号要依据两线圈电流的磁场是否一致。如上图所示两线圈电流产生的磁场方向一致，因此两线圈中的磁场相互增强，这时它们产生的互感电压前面取正号；若两线圈电流产生的磁场相互消弱时，它们产生的互感电压前面应取负号。互感电压中的“M”称为互感系数，单位和自感系数L相同，都是亨利[H]。由于两个线圈的互感属于相互作用，因此对任意两个相邻的线圈总有：互感系数简称互感，其大小只与相邻两线圈的几何尺寸、线圈的匝数、相互位置及线圈所处位置媒质的磁导率有关。互感的大小反映了两相邻线圈之间相互感应的强弱程度。i1ψ1L1L2uL1uM2ψ12i2ψ2ψ21uL2uM1练习：写出右图两线圈端电压的解析式和相量表达式。互感现象的应用和危害互感现象在电工电子技术中有着广泛的应用，变压器就是互感现象应用的重要例子。变压器一般由绕在同一铁芯上的两个匝数不同的线圈组成，当其中一个线圈中通上交流电时，另一线圈中就会感应出数值不同的感应电动势，输出不同的电压，从而达到变换电压的目的。利用这个原理，可以把十几伏特的低电压升高到几万甚至几十万伏特。如高压感应圈、电压、电流互感器等。互感现象的主要危害：由于互感的存在，电子电路中许多电感性器件之间存在着不希望有的互感场干扰，这种干扰影响电路中信号的传输质量。5.1.3耦合系数和同名端两互感线圈之间电磁感应现象的强弱程度不仅与它们之间的互感系数有关，还与它们各自的自感系数有关，并且取决于两线圈之间磁链耦合的松紧程度。我们把表征两线圈之间磁链耦合的松紧程度用耦合系数“K”

来表示：1.耦合系数通常一个线圈产生的磁通不能全部穿过另一个线圈，所以一般情况下耦合系数K<1；若漏磁通很小且可忽略不计时：K=1；若两线圈之间无互感，则M=0，K=0。因此，耦合系数的变化范围：0

≤

K≤

1同名端：同一变化电流在本线圈中产生的自感电压和在另一线圈中产生的互感电压的实际极性相同端。2.同名端实际应用中，电气设备中的线圈都是密封在壳体内，一般无法看到线圈的绕向，因此在电路图中常常也不采用将线圈绕向绘出的方法，通常采用“同名端标记”表示绕向一致的两相邻线圈的端子。如：··**♣

电流同时由两线圈上的同名端流入(或流出)时，两互感线圈的磁场相互增强；否则相互消弱。

同名端统一用“·”或“*”标识3.确定同名端的方法当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强。当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。（1）在已知线圈绕向时，用右手螺旋法则确定当i1、i2分别由端纽a和d流入（或流出）时，它们各自产生的磁通相互增强，因此a端和d端是同名端（b端和c端也是同名端）；a端与c端（或b端与d端）称异名端。+–V（2）同名端的实验测定i11'22'**电压表正偏。如图电路，当闭合开关S

时，i

增加，当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。RS+-i11’22’1i111'22'例分析··i22判断下列线圈的同名端假设电流同时由1和2流入，

两电流的磁场相互增强，因此可以判断：1和2是一对同名端；同理，1'和2'也是一对同名端。**·*·例判断下列线圈的同名端分析线圈的同名端必须两两确定2'3'1'1231和2'

同时流入电流时产生的磁场方向一致，是一对同名端；2

和3'同时流入电流时产生的磁场方向一致，也是一对同名端；*Δ3和1'

同时流入电流时产生的磁场方向一致，同样也是一对同名端。Δ例分析判断下图两线圈的同名端。已知在开关S闭合时，线圈2两端所接电压表的指针正偏。开关S闭合时，电流由零增大由1流向1'，由于线圈2与线圈1之间存在互感，所以*+M－US122'1'+－VS正偏当线圈1中的电流变化时，首先要在线圈1中引起一个自感电压，这个自感电压的极性和线圈中的电流成关联方向（吸收电能、建立磁场）；由于两个线圈之间存在互感，所以线圈1中的电流变化必定在线圈2中也要引起互感电压，这个互感电压正是电压表所指示的数值，因电压表正偏，所以互感电压的极性与电压表的极性相符，可以判断：uL－＋*1和2是一对同名端！

5.1.4耦合电感元件及其伏安关系有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方向即可。i1**u21+–Mi1**u21–+M例：i1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2M

例：

如图所示电路中，M=0.025H，解：互感电压u21与电流i1的参考方向对同名端一致其相量形式为：

求：互感电压u21

例：图示互感电路已处于稳态，t=0时开关打开，求t>0+时开路电压u2(t)。**0.2H0.4HM=0.1H+–1040Vu2+－10510解：副边开路，对原边回路无影响，开路电压u2(t)中只有互感电压。先应用三要素法求电流i(t)i**0.2H0.4HM=0.1H10u2+－10例：图示互感电路中，ab端加10V的正弦电压，已知电路的参数为R1=R2=3Ω，

ωL1=ωL2=4Ω,ωM=2Ω。

求：cd端的开路电压解：当cd端开路时，线圈2中无电流，因此在线圈1中没有互感电压。以ab端电压为参考电压，aI1．＋R2cbd－Uab．L2L1R1MUcd．＋－由于线圈2中没有电流，因此L2上无自感电压。但L1上有电流，因此线圈2中有互感电压，根据电流对同名端的方向可知，cd端的电压：+-UM2·5.2耦合电路的去耦等效5.2.1耦合线圈的串联耦合线圈L1和L2相串联时有两种情况：

(1)一对异名端相联，另一对异名端与电路相接，此连接方法称为顺接串联（顺串），下左图所示；L1L2i*uL1M*uM2uL2uM1L1L2i*uL1M*uM2uL2uM1

(2)一对同名端相联，另一对同名端与电路相接，此连接方法称为反接串联（反串），下右图所示。两线圈顺串时，电流同时由同名端流入（或流出)，因此它们的磁场相互增强，自感电压和互感电压同方向，总电压为：即两线圈顺串时等效电感量为：L1L2i*uL1M*uM2uL2uM1两线圈反串时，电流同时由异名端流入（或流出)，因此它们的磁场相互消弱，自感电压和互感电压反方向，总电压为：即两线圈反串时等效电感量为：L1L2i*uL1M*uM2uL2uM1*顺接一次，反接一次，就可以测出互感：互感的测量方法例：将两个线圈串联接到50Hz、60V的正弦电源上，顺向串联时的电流为2A，功率为96W，反向串联时的电流为2.4A。求：互感M解：顺向串联时，等效电感为L顺=L1+L2+2M反向串联时，线圈电阻不变，由已知条件可求出反向串联时的等效电感：所以得：5.2.2耦合线圈的并联两对同名端分别相联后并接在电路两端，称为同侧相并，如图所示；L1L2i*uM*i1i2根据图中电压、电流参考方向可得：i=i1+i2解得u、i关系为：得同侧相并的等效电感量：

2.两对异名端分别相联后并接在电路两端，称为异侧相并，如图所示：L1L2i*uM*i1i2根据图中电压、电流参考方向可得：i=i1+i2

解得u、i关系为：得异侧相并的等效电感量：5.2.3耦合线圈的

T型（一端并）等效两个互感线圈只有一端相联，另一端与其它电路元件相联时，为了简化电路的分析计算，可根据耦合关系找出其无互感等效电路，称去耦等效法。两线圈上电压分别为：L1L2i1u1M*i2a*u2bcd将两式通过数学变换可得：L1－MMi1u1i2au2bcdL2－M由此可画出原电路的T型等效电路如图所示：图中3个电感元件相互之间是无互感的，它们的等效电感量分别为L1-M，L2-M和M，由于它们连接成T型结构形式，因此称之为互感线圈的T型去耦等效电路。同理可推出两个异名端相联时的去耦等效电路为：L1L2i1u1M*i2a*u2bcdL1+M－Mi1u1i2au2bcdL2+M例：Lab=5HLab=6H解：9H7H-3H2H0.5Hab4H3H2H1Hab3HM=3H6H2H0.5H4Hab＊＊M=4H6H2H3H5HabM=1H＊＊＊＊解：

利用互感消去法，得去耦等效电路图b，其相量模型如图c例：如图a所示具有互感的正弦电路中，已知XL1=10Ω，

XL2=20Ω，XC=5Ω，耦合线圈互感抗XM=10Ω，电源电压，RL=30Ω。M(a)L1L2I1．CI2．RL＋－US．(b)L1＋MI1．CI2．RL＋－US．－ML2＋M(c)I1．I2．30W＋－US．－j10Wj20Wj30W－j5W求：电流

I2·应用阻抗并联分流关系求得：利用阻抗串、并联等效变换，求得：(c)I1．I2．30W＋－US．－j10Wj20Wj30W－j5W5.3变压器常用的实际变压器有空心变压器和铁芯变压器两种类型。

变压器是利用电磁感应原理传输电能或电信号的器件。通常有一个初级线圈和一个次级线圈，初级线圈接电源，次级线圈接负载，能量可以通过磁场的耦合由电源传递给负载。因变压器是利用电磁感应原理而制成的，故可以用耦合电感来构成它的模型。这一模型常用于分析空心变压器电路。L1L2i1uSM*i21*u201'22'R2R1图示为空心变压器的电路模型。左端为空心变压器的初级回路，右端为空心变压器的次级回路。5.3.1空心变压器

空心变压器，是由两个具有互感的线圈绕在非铁磁材料制成的芯子上所组成，其耦合系数较小，属于松耦合。图中uS为信号源电压，u20为次级回路的开路电压。L1L2i1uSM*i21*u201'22'R2R1ZL分析由图可列出空心变压器的电压方程式为：若次级回路接上负载ZL，则回路方程为：jωL1jωL2jωM*1*＋1'22'R2R1ZLI1USI2－左图为空心变压器的相量模型图，其中令：称为空心变压器初、次级回路的自阻抗；为空心变压器回路的互阻抗则空心变压器的回路电压方程式：联立方程式可得：令为次级对初级的反映阻抗反映阻抗

Z1f

反映了空心变压器次级回路通过互感对初级回路产生的影响。注意：Z1f不受变压器同名端的影响，且与电压电流参考方向无关。

引入反映阻抗的概念之后，次级回路对初级回路的影响就可以用反映阻抗来计算。这样可得到如图所示的由电源端看进去的空心变压器的等效电路。当只需求解初级电流时，可利用这一等效电路求得结果。jωL11＋1'R1I1US－Z22ω2M2反映阻抗的算法不难记忆：用ω2M2除以次级回路的总阻抗Z22即可。注意：反映阻抗的概念不能用于次级回路含有独立源的空心变压器电路！例:

已知US=20V,初级等效电路的反映阻抗Z1f=10–j10求:

ZL及负载获得的有功功率解**j10j10j2+–10ZL+–Z11=10+j10Z1f=10–j10实际是最佳匹配有功功率：例：耦合电路如图，求初级端ab的等效阻抗。解1解2画出去耦等效电路**L1aM+–bL2L1－M

L2－M+–

Mab(1)耦合系数K=1，即为全耦合；(2)自感系数L1、L2为无穷大，但L1/L2为常数；无任何损耗，这意味着绕线圈的金属导线无任何电阻，做芯的铁磁材料的磁导率无穷大。理想变压器是铁芯变压器的理想化模型。理想变压器的惟一参数就是称为变比的常数n，而不是L1、L2和M等参数，理想变压器满足以下3个理想条件：

5.3.2理想变压器理想变压器的电路模型：N1*N2i1u1－n:1*i2＋u2－＋变比匝数比：

1.变换电压5.3.3理想变压器的主要性能在图示参考方向下，理想变压器初级和次级端电压有效值之比为：u1/u2=N1/N2=nN1*N2i1u1－n:1*i2＋u2－＋

2.变换电流理想变压器在变换电压的同时也在变换电流，其电流变换关系为：i1/i2=N2/N1=-1/n

N1*N2i1u1－n:1*i2＋u2-+左图理想变压器的初级和次级端电压对同名端不一致，这时

u1/u2=N1/N2=-n

i1

/i2=N2

/N1=1/n

3.变换阻抗*n:1＋－ZL*＋－+–n2ZL式中Zin是理想变压器次级对初级的折合阻抗。（1）若在理想变压器的次级并联阻抗，则可把它等效到初级。改变理想变压器的匝数比，折合阻抗Zin也随之改变。利用改变变压器匝数比来改变输入电阻，实现与电源的阻抗匹配，可使负载上获得最大功率。例：（2）若在理想变压器的初级回路串联阻抗，则可转移到次级。理想变压器的阻抗变换只改变阻抗的大