第3章 多跨静定梁和静定平面刚架

第三章静定结构——多跨梁和平面刚架

多跨静定梁的组成形式及分层关系多跨静定梁的受力分析及内力图的绘制刚架的概念及静定平面刚架的分类静定平面刚架的内力分析及其内力图的绘制主要任务：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定梁内力图的作法。分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析问题转化为杆件的受力分析问题。（一）单跨静定梁的内力分析一、截面上内力符号的规定：

轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图要注明正负号；

剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的合力,使杆微段有顺时针方向转动趋势的为正，画剪力图要注明正负号；

弯矩—截面上应力对截面形心的力矩之和,不规定正负号。弯矩图画在杆件受拉一侧，不注符号。NNQQMM二、用截面法求指定截面内力先计算左截面的内力，可取截面1以左隔离体进行分析。PPPP1.5aMZ1NZ1QZ1MU1NU1QU12Pa计算右截面的内力,也可取截面1以左隔离体进行分析。在这个隔离体上有集中力矩2Pa，三个未知力为：P2Pa1a1.5a1.5aP计算如图所示结构截面1的内力PP1.5a根据静力平衡条件求截面未知力：aM2N

2Q2aP1.5a1.5a2PaPPP123(a)PP1.5a(d)1.5a22PaPN

2M2Q2N

3PaPQ3M3现取截面2左边的隔离体进行分析，根据三个平衡条件就可得出截面2上的三个未知力：此时应取截面3以上的隔离体进行分析比较简单。计算截面2的内力也可取截面2右边隔离体计算计算截面3的内力三、荷载、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）q(x)d

xQ

Q+d

Q

MM+d

M（1）微分关系q

d

x（2）增量关系Q

Q+

Q

MM+

M

d

xPm（3）积分关系q(x)QA

QB

MAMB由dQ=–q·d

x由dM=Q·d

x1.在无荷载的梁段上，剪力为常量，Q图是一水平直线，M图为一倾斜直线。2.在均布荷载的梁段上，Q图是一倾斜直线，弯矩图为二次抛物线形，曲线的凸向与荷载指向相同。3.在集中荷载作用处，Q图有突变呈阶形变化，突变数值等于集中力的大小，而M图有一转折点，其尖顶的突出方向与荷载的指向相同。4.在集中力偶作用处，Q图无变化，而M图有阶形突变，突变数值等于集中力偶的大小，集中力偶两侧M图的切线相互平行。弯矩和剪力的图形特征：几种典型弯矩图和剪力图l/2l/2ml/2l/2Plq

1、集中荷载作用点M图有一夹角，荷载向下夹角亦向下；Q图有一突变，荷载向下突变亦向下。

2、集中力矩作用点M图有一突变，力矩为顺时针向下突变；Q图没有变化。

3、均布荷载作用段M图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；Q图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜分段叠加法作弯矩图MAMBqM+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBqMBMAMMMBMAMAMBMMM分段叠加法的理论依据：假定：在外荷载作用下，结构构件材料均处于线弹性阶段。ABO图中：OA段即为线弹性阶段

AB段为非线性弹性阶段单跨静定梁组成的多跨静定梁形式：

（二）多跨静定梁的组成形式及分层关系图（三）多跨静定梁的受力分析及内力图的绘制多跨静定梁的受力分析要利用分层关系图。从力的传递来看：荷载作用在基本部分时，附属部分不受影响；荷载作用在附属部分时，则基本部分产生内力。多跨静定梁的计算是先计算附属部分，后计算基本部分。将附属部分的支座反力反向，就得附属部分作用于基本部分的载荷。先利用分层关系拆成单跨梁，从附属程度最高跨开始，向下逐跨计算。2m2m2m1m2m2m1m4m2m80k

N·mAB40k

NCDE20k

N/mFGH80k

N·m2020404040k

NC202552050201020405585255040k

NCABFGH20k

N/m80k

N·m构造关系图20504040102040502020k

N/mFGH50205040402010402m2m2m1m2m2m1m4m2m80k

N·mAB40k

NCDE20k

N/mFGH2555585M图（kN·m）2540k

N5558520k

N/m251520354540Q

图（kN）2.以图所示体系为例说明多跨静定梁的计算步骤2.计算反力从整体平衡条件校核支座反力的计算结果。1.作分层关系图3.作弯矩图：弯矩图画杆件受拉边，不注正负号。4.作剪力图：剪力图注明正负号。正剪力画在杆件上侧，负剪力画在杆件下侧。5.内力图的校核：两方面进行：①根据荷载情况检查内力图形状是否与图形特征相符；②从某局部检查是否满足平衡条件。（三）刚架的概念及静定平面刚架的分类1.刚架的概念

刚架(亦称框架)是由梁和柱共同组成的一个整体承重结构。刚架的特点是具有刚节点，即梁与柱的连接是刚性的连接，使梁与柱共同组成一个几何不变的整体。由于刚节点的存在，刚架结构不必依靠斜撑来维持体系的几何不变性，所以刚架的杆数较少，内部空间较大，便于使用。刚架中的刚节点，就是在任何荷载作用下，刚架产生变形，刚节点有线位移和转动，但原来节点处梁与柱轴线的夹角为90，变形后梁、柱的端截面转动相同角度，它们的夹角仍然是90，保持不变。刚架有静定刚架和超静定刚架。2.静定平面刚架的分类静定平面刚架按支座形式划分，有三种类型：

(1)悬臂式

(2)简支式

(3)三铰式（四）静定平面刚架内力分析及内力图绘制1.刚架的内力情况与计算法则

用截面法取分离体，利用∑X=0；∑Y=0；∑

M0=0求解截面内力。刚架受荷载作用产生三种内力——弯矩、剪力和轴力。

①分段：根据荷载不连续点、结点分段。②定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。③求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。④画图：画M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q，N图要标＋，－号；竖标大致成比例。刚架内力图的绘制步骤：刚架的弯矩和剪力计算的一般法则如下：1）任一截面的弯矩数值等于该截面任一侧所有外力(包括反力)对该截面形心的力矩的代数和。2）任一截面的剪力数值等于该截面任一侧所有外力(包括反力)沿该截面平面投影的代数和。3）任一截面的轴力数值等于该截面任一侧所有外力(包括反力)在该截面法线方向投影的代数和。2.静定刚架M，Q，N图的绘制

以图所示的悬臂刚架为例说明内力图的绘制方法

悬臂刚架可从悬臂端开始计算，不用先求支座反力。(1)计算弯矩，弯矩图应绘在受拉力的一边，正负号不注出。先计算梁BC，再计算柱AB。弯矩图应绘在受拉力的一边。(2)计算剪力，剪力绕截面内侧一点顺时针转动者为正。先计算梁BC，一般正剪力画在上边，在剪力图上注明正负号。(3)计算轴力，轴力符号规定以拉力为正，压力为负。(4)校核

作出的M，Q，N内力图是否正确，可用平衡条件来校核。方法：从刚架中取任一部分为分离体，在分离体上画出荷载及截面的内力M，Q，N，然后看它们是否满足平衡条件。取节点B为分离体作用在节点上的力为MBA，MBC，QBA，QBC，NBA和NBC。它们按M，Q，N图正确方向画出，不用再注明正负符号了。不难看出，它们符合∑X＝0，∑Y＝0，及∑MB＝0。例

试作图所示的简支刚架的内力图。解(1)计算支座反力先假设反力方向如图a所示，利用平衡条件求出它们的数值。∑X＝0，得HD∑MD＝0，得VA∑Y＝0，得VD注意：VA求得为负值，表示指向应向下。重新将反力方向正确地画出，如图b所示。(2)作弯矩图柱AB上受均布荷载作用，所以这段弯矩图是二次抛物线。整个杆件左边纤维受拉。柱DC上无荷载，弯矩图应为直线。整个杆件右边纤维受拉。横梁BC上无荷载，弯矩图为直线。整个杆件上部纤维受拉。(3)作剪力图在柱AB上，均布荷载作用，剪力图呈斜直线变化。在梁BC上，剪力为常数。在柱DC中，剪力为常数。(4)作轴力图各杆轴力均为常数。(5)校核取出节点B的分离体，按内力的真实方向绘在上面，它们符合∑X＝0，∑Y＝0，及∑MB＝0。可见计算结果无误。例计算图示刚架：例

试作图所示三铰刚架的内力图。整体平衡列出∑MB＝0，列出HA、VA关系式(a)；

再取ADC分离体，C是一个铰，利用∑MC＝0，列出HA、VA关系式(b)；

解联立方程(a)和(b)，得HA=25、VA=55

再由整体平衡：∑X=0，得HB=25

；∑Y=0，得VB=45

；

所得反力均为正值，即它们的指向与图中假设相同。解(1)计算支座反力(2)作弯矩图

柱AD上无荷载，弯矩图为直线。整个杆件左边纤维受拉。

MAD=0，MDA=HA×6=150

柱BE弯矩图为一直线。柱右边纤维受拉。

MBE=0，MEB=HB×4=100

横梁DE上有均布荷载，弯矩图是二次抛物线。从节点D和E的平衡，可求得MDE=150，MED=100再知铰C处MC=0。

列出横梁DE段的弯矩方程，才能画出准确的弯矩图。Mx=VA·x–HA·6–10·x2/2=55x–150–5x2令dM/dx=0，

得x=5.5距离D点5.5m处的截面产生最大正弯距，Mmax=1.25(kN·m)，在这个截面上是下部纤维受拉。(3)作剪力图在柱AD中，剪力为一常数。Q=–HA=–25。

在柱BE中，剪力为一常数。Q=HB=25。