第7章 非正弦周期电路-2014

非正弦周期电路第七章本章内容教学导航7.1非正弦周期信号的基本概念7.2非正弦周期信号的分解7.3有效值、平均值和平均功率7.4非正弦周期电路的分析*7.5滤波器【仿真训练】【技能训练】本章小结【教学导航】【教学目标】了解非正弦周期信号的产生，理解不同频率的正弦量叠加的结果为非正弦量；深刻领会傅里叶分解的基本概念，懂得任一非正弦周期函数可以分解一系列频率成整数倍的正弦量的叠加；了解频谱图的概念，掌握非正弦周期信号波形的平滑性与高次谐波分量的幅度之间的关系；了解几种典型的非正弦波所含有的谐波分量，了解波形的对称性与特点；学会非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率的计算方法；掌握非正弦周期电路的分析方法，懂得常用的几种滤波器的概念与功能。【教学重点】非正弦周期信号分解为傅里叶级数的概念；非正弦波的平滑性与高次谐波分量的幅度之间的关系；非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率的计算方法；非正弦周期电路的分析方法，常见滤波器的功能。【教学难点】非正弦波的傅里叶级数分解；非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率的计算；非正弦周期电路的分析计算。【参考学时】

8学时1、非正弦周期电路的产生：实际中常见到非正弦周期的产生可分两类：

（1）激励为非正弦周期电压或电流的电路。如：数字电子电路、控制电路、计算机电路和发电机发出电压等。（2）激励为多频率信号电路。如：收音机的接收电路等。7.1非正弦周期信号的基本概念举例一：非线性电路产生的非正弦信号（半波整流电路及波形）举例二：二个不同频率正弦波叠加产生非正弦周期信号频率f1正弦信号（蓝）频率f2正弦信号（绿）频率f1与f2叠加后的所得的非正弦信号（红）2、几种常见的非正弦电压波形（a）矩形波（b）锯齿波（c）三角波3、非正弦周期电路的分析方法：在线性电路中非正弦周期信号激励下的电路响应分析，其分析方法可分为两步：

（1）将非正弦周期信号展开为傅氏级数（谐波分析）；（2）利用线性电路的叠加性求响应。①其中a0、ak、bk为傅立叶级数的系数，它们的计算公式如下：7.2.1非正弦周期信号的傅里叶分解任一周期函数，若满足狄里赫利条件，都可以展开为一个收敛级数。形式为：7.2非正弦信号的分解以上各量关系可用一直角三角形的边角关系表示，如图示。②其中：而：高次谐波名词介绍：A0：

直流分量：

基波角频率：

谐波k=1时称：

一次谐波（基波）k=2,3,···时称…分别为二次、三次、…谐波谐波分析：把一个周期函数展开或分解为具有一系列谐波的傅里叶级数称为谐波分析。方法有：①计算法；②查表法。7.2.2非正弦周期信号的频谱图频谱图：用来直观地表示非正弦信号中的各次正弦波形分量的大小或相位。常见的有振幅频谱图和相位频谱图。（1）振幅频谱。是用来表示各谐波分量的振幅与频率之间关系的图形。它是用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来所得到的图形；（2）相位频谱。是用来表示各谐波分量的初相位与频率之间关系的图形。它是把各次谐波的初相角用相应线段按频率的高低顺序把它们依次排列起来的频谱。由于各谐波的角频率是的整数倍，所以这种频谱是离散的，又称为线频谱。例7.1

给定一个周期性信号f(t)，其波形如图7.3所示，是一个周期性的矩形波。求此信号f(t)的傅里叶级数的展开式，并作出相应的频谱图

。解图示周期函数f(t)在一个周期内的表达式为（a0：为恒定分量，该f(t)在一个周期内的平均值为零。）傅里叶级数的展开式为：其中：当k为奇数时，当k为偶数时，由此可求得周期性矩形波的傅里叶级数表达式为：根据以上矩形波的傅里叶级展开式中各次谐波的相应参数，绘出的振幅频谱图和相位频谱图如下：

矩形波振幅频谱图

矩形波相位频谱图

7.2.2几种典型的非正正弦周期信号1、正弦波(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值一、典型周期函数波形的傅里叶级数2、半波整流波(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值3、全波整流波(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值4、锯齿波(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值5、三角波(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值（k为奇数）6、矩形波(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值（k为奇数）7、梯形波(1)函数的波形(2)傅里叶级数(3)有效值(4)整流平均值（k为奇数）因为级数收敛，所以波形的平滑性与高次谐波振幅的关系：波形越平滑，高次谐波的振幅越小；波形越跳变，高次谐波的振幅越大。工程上根据精度要求，取有限项进行计算，一般取3～5项。A0为f(t)在一个周期T内的平均值，所以在一个周期内正面积=负面积时，A0=0，反之A0≠0。高次谐波的振幅及直流分量：2．直流分量1．振幅1．偶函数—纵轴对称

，即波形对称于纵轴，则傅氏级数中只含直流分量和余弦项。（含a0)偶函数时二、波形的对称性（函数的对称性与系数a0、ak、bk的关系）2．奇函数—原点对称

，波形对称于原点，则傅氏级数中只含正弦项。奇函数时3．偶谐波函数镜像对称两个相差半个周期的函数值大小相等，符号相同，偶谐波函数的傅里叶级数中只含直流分量和各偶次谐波分量，故称偶谐波函数。4．奇谐波函数—横轴对称时，将f(t)波形移动半个周期后，与原波形对称于横轴。则傅氏级数中无直流分量和偶次谐波分量，只含奇次谐波分量。例7-2

求图示正弦周期函数的傅里叶级数。解：为奇函数，的表达式为：（其中k

为奇数时为+，偶数时为－）

7.3有效值、平均值和平均功率7.3.1有效值：定义：分析：i2结果分三部分：①

②③

对于①对于②对于③（由三角函数的正交性可得）结论：同理有即：非正弦周期电流或电压的有效值，等于直流分量和各次谐波分量电流或电压有效值平方和的平方根。7.3.2平均值定义：即：非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值

正弦量的平均值为

另外，根据正弦电流平均值的定义，它相当于正弦电流经全波整流后的平均值。

对于同一非正弦周期电流，当我们用不同类型的仪表进行测量时，会得到不同的结果：

例如：用直流仪表测量，所测结果是直流分量；

用电磁系或电动系仪表测量，所测结果为有效值；

用全波整流磁电系仪表测量时，所得结果将是电流的平均值。

同上可得：7.3.3平均功率定义：平均功率P，是瞬时功率在一个周期内取平均值，即

例7-3

流过5电阻的电流为，计算电阻的平均功率。解：注：（1）多次谐波的有功功率之和为非正弦电路的总的平均功率，即：（2）非正弦周期电流流过电阻时。。归纳：

1.电工技术中常见到的非正弦周期信号函数均能分解为傅立叶级数，它们是一系列不同频率的正弦信号的和。求得傅立叶级数的方法一是查表法，二是计算法(先用公式计算出傅氏级数的系数后，再写出该级数）。

2.非正弦周期函数分解为傅立叶级数时，利用波形的对称性可使计算简化。

3.在非正弦周期电流电路的分析中常用到有效值和平均功率。教学目的：

1.熟练掌握非正弦周期电流电路的计算方法。

2.理解滤波器的工作原理。

教学内容概述：

本讲介绍了非正弦周期电流电路的计算方法和滤波器的工作原理。教学重点和难点：

重点：非正弦周期电流电路的计算方法。难点：含串联谐振和并联谐振的非正弦周期电流电路的计算。7.4非正弦周期电路的分析计算原则：各次谐波分开计算，按时域内对各次谐波计算结果进行叠加。计算步骤：1．处理信号---非正弦分解为傅里叶级数。2．分别计算---直流分量与各次谐波分别单独计算。3．最后叠加---将步骤2各结果的瞬时值进行叠加。注意事项：（1）电路的阻抗与频率有关。如：7.4.1非正弦周期电路的分析方法基波时7.4非正弦周期电路的分析即各次谐波下，电路的阻抗需要重新进行计算。（2）对于直流分量，计算时，C开路，L短接。（3）对某次谐波来说，可用求解交流电路的方法求。即可用复数计算，也可画相量图。但没有一个总的相量图。（4）叠加时，用瞬时值式子叠加。而（5）有效值用公式求。k次谐波时例7-2电路如图所示，已知非正弦电源电压为

求：（1）各支路电流的表达式；（2）电源发出的平均功率；（3）R1支路吸收的平均功率。解：（1）直流分量单独作用：L短路，C开路。（2）基波分量单独作用下：

（3）三次谐波分量单独作用：

（4）直流与各谐波分量的瞬时值叠加：（5）电源发出的平均功率：P=U（0）I（0）+U（1）I（1）cosψ1+U（3）I（3）cosψ3=[10×2+100×20.5cos6.41°+50×8.62cos(30-10.17°)]W=2443W（6）R1支路吸收的平均功率：=20+1727+204.8=1952W例7-3

图（a）所示为一全波整流器及滤波电路，滤波器由电感L=5H和电容C=10μF所组成。负载电阻R=2kΩ。设加在滤波电路上的电压波形如图（b）所示，其中Um=157V。求负载R两端电压的各谐波分量；设（a）（b）

解：（1）

查全波整流信号的傅里叶级数分解表，得取到4次谐波。代入Um=157V，有

（2）对直流分量，电感作短路，电容作开路处理，故负载两端电压的直流分量为UR（0）=100V；（3）对二次谐波和四次谐波来说，可以用图示电路来计算。（k=2，4）

（k=2，4）

所以，负载两端的k次谐波电压为

为表示外施k次谐波电压的相量。代入数据，有

故得负载两端谐波电压：

（二次谐波的幅值）

（四次谐波的幅值）

从本例电路计算结果可见：负载端电压四次谐波分量很小，仅为直流分量的0.17％，可以略去不计；二次谐波分量也只有直流分量的3.53％；u（t）经过该滤波电路后，高频分量受到抑制，获得较平稳的输出电压uR（t）。的特性7.4.2滤波器简介让某些频率的分量通过而抑制另一些频率的分量的电路称为滤波器。原理：利用电路阻抗如：。串联谐振(Z最小），并联谐振（Z最大），达到滤波的目的。1、低通滤波器：利用了2、高通滤波器：3、带通滤波器：利用了的特性利用了并联谐振Z→∞，串联谐振Z→

0的特点4、带阻滤波器：利用了并联谐振Z→∞，串联谐振Z→

0的特点【仿真训练】仿真训练1：非正弦周期信号的谐波合成仿真举例：三角波信号合成电路的仿真

傅里叶级数分解式：

举例：

测量矩形脉冲波各次谐波频率和幅值（占空比为50%的矩形脉冲波的幅度为10V、频率为1kHz。）仿真训练2：非正弦周期信号的傅里叶分解仿真（1）经理论分析，该矩形脉冲信号的傅里叶展开式为：

（2）用频谱分析仪测量该信号的各次谐波频率和幅值。

①函数信号发生器的输出：脉冲方波，频率为1kHz，占空比为50%，幅度为10V，直流偏置电压为0V。②频谱分析仪测量：

测量所得的各次谐波的频率和幅度为：谐波分量的频率分别为：1kHz、3kHz、5kHz、7kHz、…；谐波分量的幅度分别为2×6.4V、2×2.1V、2×1.3V、2×0.9V、…；该测量结果与理论分析一致。

（3）用傅里叶分析将该信号分解为各次谐波分量

①函数信号发生器的输出：脉冲方波，频率为1kHz，占空比为50%，幅度为10V，直流偏置电压为