第4章(地震危险性分析方法)

地震危险性概率分析方法

高玉峰土动力学第4章GeoHohai一种简化的地震危险性分析计算方法

----逐点计算法一、地震危险性分析的椭圆模型二、逐点计算法的思路三、程序设计的技术处理四、举例说明一、地震危险性分析的椭圆模型

1968年，Cornell建立了Cornell模型。

1977年，Der.kiurehian和A.H-S.Ang对Cornell模型做了较大的修改，提出断层－破裂模型。

1989年，沈建文等讨论了Cornell模型和断层破裂模型存在的系统偏差，提出了地震危险性分析的经验点椭圆模型。

设对场地产生有效影响的潜在震源有n个，地震发生为均匀泊松过程，且vi为第Ei个潜在震源震级m≥m0的地震的年平均发生率，则一年中场地地震动Y超过某确定y的概率为：一、地震危险性分析的椭圆模型一、地震危险性分析的椭圆模型t年内的超越概率为：一、地震危险性分析的椭圆模型M0——起算震级；Mu——震级上限；f(m)——震级概率密度。

一、地震危险性分析的椭圆模型

因此，地震危险性分析的关键是计算第Ei个潜在震源中，震级m对场地造成的超过某地震动y的超越概率：？＝一、地震危险性分析的椭圆模型

P(Y≥y/Ei,m)计算归结为计算地震动衰减椭圆与凸多边形潜在震源相交面积，后者可表示成三角形与椭圆扇形面积的代数和，从而将问题简化。

一、地震危险性分析的椭圆模型图1椭圆与凸多边形相交关系YNCBXAFEODMYCBAG

FEDOXMM

YGBFEA

D

HCXOI二、逐点计算法的思路

本文提出的计算凸多边形与椭圆交接面积的基本思路是：1、把它当作表示三角形或椭圆扇形面积的矢量乘积之和。

2、将任意凸多边形的各个顶点按逆时针排序，逐个判别各个顶点的情况，进而判别多边形每条边与椭圆相交的情况，求出需累加三角形、椭圆扇形的面积的矢量乘积。3、当循环一周又回到初始点的时，自然得出各个面积的矢量和，亦即地震动衰减椭圆与凸多边形潜在震源的相交面积。

4、此方法规定矢量垂直于椭圆面并方向朝上为正。二、逐点计算法的思路多边形的顶点与椭圆的交接有三种情况，即多边形的顶点在：1、椭圆内2、椭圆上

3、椭圆外其中多边形的顶点在椭圆上可视为椭圆内的特殊情况来归一化处理，因而可将三种情况简化为两种。二、逐点计算法的思路A(n)B(n+1)O只需计算以坐标原点、n点、n+1点为顶点的三角形OAB面积。在求三角形面积时，由于按逆时针取点，三角形面积可表示为矢量叉乘形式。若表达式为正，表示加上该三角形面积；若表达式为负，表示减去该三角形面积，后文有具体说明。1、当多边形第n顶点在椭圆内，第n+1顶点有两种情况:（1）第n+1点在椭圆内。二、逐点计算法的思路OA(n)P1B(n+1)计算以坐标原点、n点、交点P1为顶点的三角形OAP1面积，并将交点P1的坐标存贮起来，作为求椭圆扇形面积的初始点。在椭圆确定时，椭圆扇形面积只与该扇形的起始边与椭圆的交点——初始点，以及该扇形的终止边与椭圆交点——终止点有关。在本文方法中，椭圆扇形面积始终为正。（2）第n+1点在椭圆外。二、逐点计算法的思路按照顺序，首先要考虑交点P2如何处理。显然P2点与求椭圆扇形面积有关，且是椭圆扇形的终止点。若前面没有椭圆扇形的初始点，需将交点P2作特殊点存贮起来，作为最后计算椭圆扇形面积的终止点（下述），并计算原点，P2点和第n+1点组成的三角形面积矢量乘积。

2、当多边形第n顶点在椭圆外，第n+1顶点有两种情况:（1）第n+1点在椭圆内。B(n+1)OP2A(n)二、逐点计算法的思路P2OA(n)B(n+1)P1B(n+1)B(n+1)多边形的边AB与椭圆相切或完全不相交，另一种情况是线段AB与椭圆相交。在这里，我们只考虑边AB为线段而不考虑其延长后的情况。判别相交情况，可按本文程序设计技术处理给出的具体说明。没有交点时不需要计算，直接对下一个点进行判断分析；有一个交点时，当作无交点的情况处理。（2）第n+1点在椭圆外。二、逐点计算法的思路

线段AB与椭圆有两个交点P1、P2。按照顺序，首先处理交点P2。P2可当作点有椭圆外到椭圆内与椭圆的交点。若前面已有椭圆扇形的初始点，把P2点作为椭圆扇形的终止点，计算出椭圆扇形的面积；若没有椭圆扇形的初始点，把P2点存贮起来，作为最后计算椭圆扇形面积的终止点。处理完P2，计算三角形OP2P1，然后处理交点P1。P1可视为点由椭圆内到椭圆外与椭圆的交点，只需将其作为计算下一个椭圆扇形面积的初始点存贮起来。P2OA(n)B(n+1)P1B(n+1)B(n+1)二、逐点计算法的思路

若第一点在椭圆内，则沿逆时针方向一周，计算得出的三角形和椭圆扇形面积的矢量和，即是要求的凸多边形潜在源与地震动衰减椭圆的相交面积。当选择的凸多边形的第一个顶点在椭圆内或椭圆外时，其计算方法有所不同。二、逐点计算法的思路MNYCBXAFEOD若以E点为初始点逆时针取向，由E点→A点，点由椭圆内到椭圆外，有唯一交点F，计算三角形OEF的面积，然后将F点作为椭圆扇形OFD的初始点；由点A→点B，两点均在椭圆外且线段AB与椭圆无交点，不需计算；由点B→点C，两点均在椭圆外且线段BC与椭圆无交点，不需计算；由点C→点E，点由椭圆外到椭圆内，且前面已有椭圆扇形OFMD的初始点下，以交点D作为椭圆扇形的终止点，求出椭圆OFMD的面积，再计算三角形ODE的面积，这样就直接得出椭圆与多边形EABC的相交面积。

二、逐点计算法的思路当选择的凸多边形的第一个顶点在椭圆内或椭圆外时，其计算方法有所不同。

若第一点在椭圆内，则沿逆时针方向一周，计算得出的三角形和椭圆扇形面积的矢量和，即是要求的凸多边形潜在源与地震动衰减椭圆的相交面积。若第一点在椭圆外，则按逆时针方向一周后，再增加一个椭圆扇形的面积，才能得出椭圆与多边形的相交面积。二、逐点计算法的思路选取A点作为初始点逆时针取向，首先由点A→点B，两点均在椭圆外且线段AB与椭圆无交点，不作计算；由点B→点C，两点均在椭圆外且线段BC与椭圆无交点，也不作计算；由点C→点E，点由椭圆外到椭圆内，首先处理交点D，因前面没有椭圆扇形的初始点，将其以特殊点存贮起来，并计算三角形ODE面积；由点E→点A，点有椭圆内到椭圆外，计算三角形OEF面积，并将交点F作为椭圆扇形的初始点存贮起来，最后还需以存贮的F点作为椭圆扇形的终止点，计算出椭圆扇形的面积。

MNYCBXAFEOD三、程序设计的技术处理以地震动衰减椭圆的中心为坐标原点，椭圆长轴为X轴，椭圆短轴为Y轴，建立直角坐标系。

1、建立直角坐标系三、程序设计的技术处理多边形的顶点与椭圆的关系，可分为点在椭圆上、椭圆内、椭圆上三种情况，在具体计算时，将点在椭圆上的点视为点在椭圆内处理。在判定多边形顶点与椭圆关系时，设一控制参数k(i)

k(i)=x2(i)

/a2+y2(i)

/b2(x(i),

y(i))为多边形某一顶点的坐标。若k(i)

>1，判定点在椭圆外，否则，则判定点在椭圆内（k(i)

≤1）。

2、判定点与椭圆的关系三、程序设计的技术处理

多边形的各边与椭圆有不同的相交情况，需求出交点坐标。设（x(2)，y(2)）、（x(3)，y(3)）是某条边的两个顶点，则有方程组：3、求解多边形的边与椭圆的交点三、程序设计的技术处理

若此方程组无实数解或仅有一组实数解，表明经过多边形某边的直线与椭圆完全不相交或相切，可认为多边形的边与椭圆无交点。

三、程序设计的技术处理若此方程组有二组实数解（x(7),y(7)）、（x(8),y(8)），则表示经过多边形某边的直线与椭圆有两个交点，但并不一定是多边形某边与椭圆的实交点。即使两个都是多边形某边与椭圆的实交点，还需对其排序。下面解决如何取交点。

三、程序设计的技术处理引入参考变量P(1)、P(2)：

三、程序设计的技术处理（1）当多边形某条边的两个顶点，一个在椭圆内，一个在椭圆外，则该边与椭圆必有且只有一个实交点（x(4)，y(4)）。程序在计算时，由该条边确定直线会与椭圆发生两个交点，而实交点应为线段（n点，（x(2)，y(2)）→n+1点（x(3)，y(3)））的内比分点，P值大于0，另一个为外比分点，P值小于0，因而：

P(1)×P(2)＜0若P(1)＞0，则：x(4)=x(7)，y(4)=y(7)若P(1)＜0，则：x(4)=x(8)，y(4)=y(8)

①若P(1)＜0，P(2)＜0，该边与椭圆无交点，两交点均为线段（n点→n+1点）的外比分点。

三、程序设计的技术处理（2）多边形某条边的两个顶点均在椭圆外，且方程组有两组实数解。三、程序设计的技术处理当P(1)＞

P(2)时：当P(1)＜P(2)时：②若P(1)＞0，P(2)＞0，表示两交点均为线段（n点→n+1点）的内比分点，即该边与椭圆有两个交点，为：三、程序设计的技术处理4、计算三角形面积在累加面积时，三角形面积有正有负。由于是按逆时针方向取向，且三角形有一个顶点必为坐标原点，则可以用两个矢量叉乘求出三角形面积SA，即：若三角形以O点为公共顶点的两边（顺序已定）表示的矢量叉乘方向垂直于椭圆面且朝上，亦即坐标轴矢量X、Y叉乘的方向Z轴正方向，表达式为正值，表示加三角形面积。反之，表达式为负值，表示减三角形面积（参看举例中三角形面积计算）。三、程序设计的技术处理椭圆扇形OFMD是需要计算的面积；若将D作为起点、F作为终点，求得的是椭圆扇形ODNF的面积。5、计算椭圆扇形面积NYCBXAFEODM三、程序设计的技术处理起始点为n点在椭圆内，n+1点在椭圆外与椭圆的交点；或n点、n+1点均在椭圆外且与椭圆有两交点的第二交点（x(6)，y(6)）。每当遇到这两种情况时，及时赋初始点。终止点为n点在椭圆外、n+1点在椭圆内与椭圆的交点；或当n点、n+1点均在椭圆外且与椭圆有两交点的第1交点

（x(5)，y(5)）。每当遇到这两种情况时及时赋终止点。

由于本文采取得计算方法是逐点判定，椭圆扇形的起始

点（x(1)，y(1)）、终止点（x(9)，y(9)）在程序开始以及

每计算完一个椭圆扇形面积后均赋零值。三、程序设计的技术处理计算椭圆扇形面积的公式：三、程序设计的技术处理6、控制变量ks的选取若多边形的所有顶点均在椭圆外，且每条边与椭圆不相交，这表示要么多边形包含椭圆，要么多边形与椭圆不相交。为区分这两种情况，设置控制变量ks。若坐标原点与多边形每条边组成的三角形面积均为正，令ks

>0，表示多边形包含椭圆。否则，ks<0，表示多边形与椭圆不相交。四、举例说明

在上图中，凸多边形的ABCD与椭圆的相交面积为：

S=S△OEF+S△OGC+S△OCH+S扇OFMG+S扇OHIE逆时针取点，采用逐点计算法，对于△OEF面积，E点在先，F点在后，矢量与矢量的叉乘方向指向坐标轴矢量，叉乘的正向Z轴正方向，取正值。同样，△

OGC、△

OCH的面积也为正值。

本方法规定椭圆扇形面积永远为正。A

YGBFE

D

HC

XOIM四、举例说明（1）点A→点B，即点由椭圆外→椭圆外且与椭圆有两交点

E、F。对于E点应为计算椭圆扇形的终止点，因前面无

椭圆扇形的起始点，即x(1)=0，y(1)=0，将其值赋于

x(0)，y(0)；对于F点，此时有S=S△OEF；将F点值赋予

x(1)，y(1)。1、选择A点为计算起点A

YGBFE

D

HC

XOIM四、举例说明（2）点B→点C，即点椭圆外→椭圆内，有一交点G。对于

G点应为计算椭圆扇形的终止点，且x(1)，y(1)已赋值，此时应有S=S△OEF+S扇OFMG；对于C点，此时：

S=S△OEF+S扇OFMG+S△OGC

A

YGBFE

D

HC

XOIM四、举例说明（3）点C→点D，即点椭圆内→椭圆外，有一交点H。对于H点，此时：

S=S△OEF+S扇OFMG+S△OGC+S△OCH；

将H点值赋于x(1)，y(1)。A

YGBFE

D

HC

XOIM四、举例说明（4）点D→点A，即点椭圆外→椭圆外，有一交点I，看作无交点。由于逆时针走完一周，且起始亦即终点在椭圆外，需累加一个以x(0)，y(0)为终止点，即E点，x(1)，y(1)为初始点即H点的椭圆扇形OHIE的面积。因而最后有：

S=S△OEF+S扇OFMG+S△OGC+S△OCH+S扇OHIEA

YGBFE

D

HC

XOIM四、举例说明选择椭圆外的点B或点D，作为计算起点，计算过程相似，不再多述。A

YGBFE

D

HC

XOIM四、举例说明2、选择C点为计算起点（1）点C→点D，即点由椭圆内→椭圆外，有一交点H。S=S△OCH，将H点值赋于x(1)，y(1)。A

YGBFE

D

HC