第五章计算机实时控制系统的设计2(最少拍)

§5.2最少拍数字控制器的算法与程序所谓最少拍系统是指系统对某些典型的输入，例如单位阶跃输入，速度函数输入或加速度函数输入等，具有最快的响应特性。具体来说，最少拍系统应满足：系统的响应时间最短，即能在有限个采样周期内结束过渡过程；对典型输入，系统的稳态误差为零。

1.最少拍系统的设计方法由方程式（5.6），可得

（5.12）

其中K(z)为系统闭环脉冲传递函数由方程式(5.12)，可求得系统的误差脉冲传递函数为（5.13）对于稳态误差为零的系统,就是要求的反变换e(t)的终值为零。由终值定理，可得

（5.14）由上式可知，系统的稳态误差与输入函数R(z)有关。典型的输入函数R(z)可表示为(5.15)其中是不包含因子的多项式。

对单位阶跃输入函数，p=1；对速度输入函数，p=2；对加速度输入函数,p=3。将式（5.15）代入式(5.14)中,得

(5.16)由上式可知,满足稳态误差为零的条件是(5.17)其中F(z)是待定的的有理分式。当F(z)=1时，(5.17)式求得的K(z)是最简单的，所含的项数最少,即为最少拍系统.由(5.17)式可得(5.18)由(5.18)式可求得各种输入函数时,最少拍响应特性的系统闭环脉冲传递函数,并从(5.12)式可求得相应的数字控制器的脉冲传递函数。由(5.18)式可求得各种输入函数时,最少拍响应特性的系统闭环脉冲传递函数,并从(5.12)式可求得相应的数字控制器的脉冲传递函数。表5.1具有最少拍响应特性的K(z)与输入类型单位阶跃速度函数加速函数表5.1给出了3种典型输入函数具有最少拍响应特性的K(z)和。由表5.1可见，当输入为单位阶跃函数时，，只含1项，即过渡过程在1个采样周期内结束；当输入为速度函数时，过渡过程在2个采样周期内结束；当输入为加速度函数时，过渡过程在3个采样周期内结束。由上述分析可见，提高采样频率，可以缩短采样周期，也就是可以缩短系统的过渡过程时间。这样，当采样频率无限增加时，过渡过程时间等于无限小吗?。这个结论在理论上是正确的，但在实际系统中存在约束条件，限制了采样频率的上限。例如，当采样频率增加时，为了使系统对阶跃输入的过渡过程只有一拍，要求数字控制器的放大倍数成平方倍关系增加。实际上，数字控制器的放大倍数总有一定的限制，不能无限地增加。所以，采样频率也就不能无限制地增加。例5.1系统的开环传递函数为

求输入函数为单位阶跃函数时具有最少拍特性的数字控制器（1）求零阶保持环节和控制对象的组合脉冲传递函数

（5.19）其中（2）求数字控制器的脉冲传递函数由表5.1，可求得输入函数为单位阶跃的数字控制器脉冲传递函数，即

（5.20）（3）求数字控制器的控制算法由(5.20)式，可求得数字控制器的控制算法为

（5.21）必须指出，所设计的数字控制器必须是物理上可以实现的，物理上可实现的条件为（1）的分子阶次必须低于或等于分母的阶次。（2）假如，控制对象包含滞迟环节，那末被设计的闭环系统至少包含相同的滞迟环带。（3）假如，G(z)展开成多项式，闭环脉冲传递函数的K(z)最小负幂必须等于或高于G(z)的最小负幂。例如，G(z)是从阶开始的，那么K(z)的第1项必须等于零。即（5.22）此外，物理上可实现条件，还应包含稳定性条件，例如，数字控制器的脉冲传递函数不应为了补偿在单位圆以外的对象的零点而造成系统的不稳定。例如G(z)中有一个位于单位圆以外的零点，即

（5.23）为了使数字控制器不包含不稳定的极点，我们可以选取（5.17）式中的合适的F(z)表示式。假设系统的闭环脉冲传递函数为(5.24)由(5.24)式和(5.25)式可得(5.26)选取(5.27)将(5.27)式代入（5.26）式，得以及如果系统的输入为单位阶跃函数，的值可由下式方法确定，因为由(5.17)式，得(5.25)将(5.28)式和(5.23)式代入表4.1中的计算公式中，求得具有稳定补偿的数字控制器的脉冲传递函数为

（5.29）由上式可得=0.4，因此（5.28）相应的数字控制器的控制算法为

（5.30）2．无纹波最少拍系统的设计方法由最小拍系统的设计可见，最少拍系统是稳态误差为零的系统。稳态误差为零是指过渡过程结束以后，在采样点处没有误差，而采样点之间可能有纹波存在，如图5.6所示。图5.6最少拍系统产生的纹波有限项无限项，过渡过程总结束不了，总在那里摆动。解决方法：变成有限项原因：可以推知：因此只需使K(z)能被G(z)除尽考虑系统相似例5.1的系统，并改写（5.19）式为下述形式:则K(z)应包含:如果系统的输入为速度函数，那么可取：

其中f·1、f2为待定系数

为了使稳态误差等于0，有:可知:具体是:解得:有:3．应用实例例5.2某直流调速系统的传递函数方块图，如图5.7所示。图5.7直流调速系统传递函数方块图

假设输入信号为单位阶跃函数，求系统具有最少拍响应的数字控制器及相应的计算机控制算法。（1）求数字控制器的算法求取数字控制器的算法分为3步：（a）计算零阶保持环节与控制对象的组合脉冲传递函数由图5.7可见

（5.46）其中（b）计算数字控制器的脉冲传递函数对单位阶跃输入函数，由表5.1中查到数字控制器的脉冲传递函数为

（5.47）（c）求数字控制器的算法由（5.47）式，可得

（5.48）由上式可直接写出数字控制器的算法为

（5.49）（2）编写数字控制器的计算机程序根据（5.49）式可直接编写数字控制器的计算机程序。计算机程序流程图，如图5.8所示。图5.8数字控制器的计算机程序流程图（3）具有前馈控制的数字控制器具有前馈控制的直流调速系统的传递函数图，如图5.9所示。图5.9具有前馈控制的可控硅调速系统的传递函数图+--+++

合理地设计前馈控制器的脉冲传递函数，来消除负载干扰的影响。由于计算机有高速的运算能力，所以这种控制具有能有效地克服由负载变化引起的动态速降，使系统具有较高的动态精度。设计前馈控制器的一般步骤为（a）求被控对象及零阶保持环节的组合脉冲传递函数G(z)；求干扰信号的Z传递函数；求干扰信号与控制对象相关部分的组合脉冲传递函数。图5.9所示系统的控制对象及零阶保持环节的组合脉冲传递函数G(z)，它与(5.46)式相同,这里不再重述.设负载干扰信号为单位阶跃函数,则干扰信号的Z传递函数为（5.50）干扰信号与被控对象相关部分的组合脉冲传递函数为

（5.51）(b)求系统具有最少拍响应的数字控制的脉冲传递函数。图5.9所示系统的数字控制器的脉冲传递函数与（5.47）式相同，这里也不再重述。对（5.52）式的两边进行星号变换，得

（5.53）将（5.53）式写成Z变换形式，得

（5.54）

（c）求前馈数字控制器的脉冲传递函数。由图5.9，可得

（5.52）因为（5.55）将（5.55）式代入（5.54）式，得

（5.56）由（5.54）式可见，能合理地补偿干扰信号的为

（5.57）由（5.54）式可见，能合理地补偿干扰信号的为

（5.57）将(5.50),(5.51),(5.47)式,代入(5.57)式,得(5.58)（d）求顺馈和前馈数字控制器的算法顺馈数字控制器的算法与（5.49）式相同,由(5.58)式可得前馈数字控制器的算法为：（5.59）其中由(5.49)式和（5.59）式可直接编制具有前馈和顺馈数字控制器的计算机程序，它的程序流程图，如图（5.10）所示。开始输入采样频率计算机数A，B，C，D设定控制量m,误差量e,干优信号te和等初始值e(k-1)=0e(k-2)=0m(k-1)=0m(k-2)=0q(k-1)=0q(k-2)=0t1(k-1)=0t1(k-2)=0采样误差信号e，干扰