(周围)现代信号处理基础04-现代功率谱估计(上)

第四章

随机信号的功率谱估计（上）周围引言作用：功率谱起着类似于频谱的作用应用：通信、噪声监测、信号检测与估计、模式识别、振动分析等领域依据：观测数据（出发点）目的：用有限的N个样本数据来估计平稳随机过程的功率谱密度基础：平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间存在傅立叶变换关系（理论基础）注意：随机信号不能直接进行傅立叶变换

经典谱估计与现代谱估计

经典谱估计现代谱估计经典谱估计

基本思想：以

为基础，附以

等预处理或后处理优缺点优点：简单易行、计算效率高缺点：适用范围：主要方法：

相互关系－二者存在联系，均采用加窗来改善特性－FFT的出现使二者获得新生－都存在致命缺点：分辨率低现代谱估计算法基础以随机过程或信号的的参数模型为基础,故称为参数模型法或参数法历史沿革－从非工程领域(如实验数据和观测数据的处理、统计学)

的时间序列分析(早已有之)到工程领域的现代谱估计－现代谱估计始于60年代，经历了从

(Burg,1967)

自回归（AR）谱估计方法(1968，Parzen)Pisarenko谐波分解算法(MUSIC,1981，Schimit)HOS方法确定信号的功率谱密度•平稳离散随机信号x(n)的自相关函数与功率谱密度之间为一对傅立叶变换物理意义：功率在ω上的分布如果随机信号是各态遍历的，相关函数可以由一个取样时间序列用时间平均来取代统计平均。

实际中信号自相关函数的估计实际中只能由有限个取样数据估计得到：(有偏，渐进无偏)上两式称为取样自相关函数。（无偏估计）

经典谱估计方法自相关法(B-T法）

1958年，Blackman和Tukey提出。先求出信号的自相关函数，再求出信号的功率谱密度：周期图法（Periodogram）进行谱估计取样自相关函数实际上是下x(n)与x(-n)的卷和,即

对信号进行加窗处理，得xN(n)，再进行离散傅立叶变换得

X(ω)，再求模的平方得功率谱密度。相关法和周期图法得到的谱估计相同。均值：（有偏，渐进无偏）经典谱估计的缺点

频率分辨率低频谱能量的泄漏相关图法主观认为未观测数据都等于0，造成频谱能量的泄漏周期图法假设数据是以N为周期的周期性延拓，把不真实的信息加于随机过程之上，限制了频率分辨率和谱估计的质量指标，对短时间序列误差太大。

一些改进方法数据加窗——降低谱的旁瓣。将矩形窗改为其他窗函数，如：汉宁（Hanning）窗、哈明（Harmming）窗、布拉克曼(Blackman)窗、三角窗（Bartlett)、凯塞窗（Kaiser)等。

将长度为N的序列分K段，每段长为M，分别对每段进行谱估计，再进行总平均，得平均周期图。如各段数据相互独立，则所得估计的方差为原来不分段时的1/K。缺点是点数减少，分辨率下降。2.相关函数加窗（B-T法）（窗函数）3.修正周期图法（分段平均）（Welch，1967）一般作法：数据加窗，交叠，平均，如：

功率谱估计的参数法（现代谱估计）参数法谱估计

模型

模型（谐波）AR模型ARMA模型MA模型AR模型(全极点模型)

MA模型(全零点模型)ARMA模型谱分解定理的推论任何平稳随机信号x(n)都可以看成由白噪声序列激励一个因果和稳定的线性时不变系统H(z)产生的输出。任何有限方差的平稳ARMA过程可以分为完全随机的部分和确定的部分，对应的功率谱为连续的和离散的冲激信号。任何ARMA过程可以用无限阶的MA和AR模型来表示。参数法谱估计的理论基础AR模型法功率谱估计：基本原理：根据x(0),x(1)…x(N－1)

这一随机采样样本估计随机时间序列的功率谱密度：AR模型法功率谱估计：求解方法：模型阶数p不确定时数学上很难处理，因此先假定p，求模型参数。阶数p已知时对模型两边同求某种统计特征以将随机变量转化为确定性的量。对各种阶数下的模型进行比较应用某种准则选出最好的模型()。AR模型法功率谱估计：AR(p)模型的Yule-Walker方程组：AR模型法功率谱估计步骤：N个样值x(0),x(1)…x(N-1)解Yule-Walker方程组

功率谱密度AR模型参数和激励源方差AR模型法功率谱估计：AR模型阶数的选择：阶数对估计性能的影响阶数选得太低，功率谱被平滑太厉害，无法分辨真实峰（P130图4.3）；阶数选得太高，谱分辨率提高，但会产生虚假峰。（P130图4.4）。实验方法：观察拟合误差法。分析方法：最终预测误差（FPE）准则。Akaike(赤池）信息准则（AIC）。判别自回归传输函数（CAT）准则。定义最终预测误差：N为观测数据长度。使上式最小化的阶数k即为最优阶数最优阶数。FPE准则得到模型阶数一般偏低。(1)最终预测误差（FPE）准则(2)Akaike（赤池）信息准则（AIC）使上式最小化的阶数k即为最优阶数。AIC准则得到模型阶数一般偏高。(3)判别自回归传输函数（CAT）准则最小化上式得最优阶数。AR模型法功率谱估计：性能分析：精确分析很困难，只能给出大样本理论的近似关系。估值的均值（N，p）：估值的方差（N，p）：AR谱估计的性质1：隐含着自相关函数的外推谱估计结果与自相关函数的关系：令：则：AR谱估计的性质1：隐含着自相关函数的外推AR谱估计的性质1：隐含着自相关函数的外推说明对m>p范围内的并未被认为等于0，而是仍按上式递推。AR谱估计的性质1：隐含着自相关函数的外推结论：AR谱估计是将有限个自相关函数值按照Yule-Walker方程进行外推后进行傅立叶变换得到的结果。由于AR谱估计将自相关函数进行了外推，克服了经典谱估计方法加窗导致分辨率低和旁瓣“泄漏”的问题，因此AR谱估计有高的分辨率。AR谱估计的性质2：与最大熵谱估计等效最大熵谱估计的提出(Burg)：经典谱估计方法具有分辨率低和旁瓣“泄漏”的问题。其根本原因是自相关函数加窗，这样克服这些问题必须对自相关函数进行外推。Burg提出以

，其合理性在于这样对自相关函数的约束最少，因而时间序列的

，

。AR谱估计的性质2：与最大熵谱估计等效最大熵谱估计原理：熵的定义：随机向量X的概率密度为p(X)，则其熵定义为：平稳高斯过程的熵：该式建立了熵和功率谱之间的关系。AR谱估计的性质2：与最大熵谱估计等效最大熵谱估计问题的定义：利用Lagrangian乘数法解此约束优化问题可得：λ(m)为Lagrangian乘数，将上式代回约束条件可求的λ(m)AR谱估计的性质2：与最大熵谱估计等效最大熵谱估计问题的结果：其中：、是Yule-Walker方程组的解。AR谱估计的性质2：与最大熵谱估计等效结论：AR谱估计相当于对自相关函数以最大熵为原则进行外推后进行傅立叶变换的结果。AR谱估计相当于在p+1个自相关函数值确定的情况下，以功率谱密度最平坦为准则得到的估计结果。AR谱估计的性质3：与线性预测谱估计等效线性预测谱估计：问题的提出：用随机时间序列x(n)前p个时刻的值的线性组合来预测当前值，即：问题的定义：AR谱估计的性质3：与线性预测谱估计等效线性预测结果：这与AR(p)模型的Yule-Walker方程组是相同的。若二者具有相同自相关值，则其解必然相同。

说明最佳线性预测系数等于AR模型参数，最小预测误差功率εmin等于AR模型中激励噪声方差σ2。AR谱估计的性质3：与线性预测谱估计等效预测误差滤波器：定义：预测误差滤波器是最小相位滤波器.AR谱估计的性质3：与线性预测谱估计等效

假设zi为A(ejw)的单位圆外的零点，这对A(ejw)进行因式分解后应有1-zie-jw这一项，有：AR谱估计的性质3：与线性预测谱估计等效结论：AR谱估计相当于用随机时间序列前p个时刻的值在最小均方误差准则下来预测当前值外推后进行谱估计的结果。预测误差滤波器是最小相位滤波器。AR谱估计的性质4：等效于最佳白化处理问题的提出：AR模型假设输入信号为白噪声，AR谱估计能否满足该条件？AR谱估计与线性预测谱估计等效，是否能证明AR谱估计方法输出的误差信号能接近于白噪声？通过谱平坦度的概念来衡量误差预测滤波器输出的误差信号的白化程度。AR谱估计的性质4：等效于最佳白化处理谱平坦度：随机时间序列x(n)的谱平坦度定义为：AR谱估计的性质4：等效于最佳白化处理问题的定义：假设预测误差滤波器A(z)为最小相位滤波器，同时输入时间序列x(n)的输出误差时间序列信号为e(n)，求解以下优化问题：

AR谱估计的性质4：等效于最佳白化处理问题的求解：AR谱估计的性质4：等效于最佳白化处理若要使e最大，Re(0)要最小，因此使预测误差谱平坦度最大等效于使p阶线性预测器的预测误差功率最小，也等效于AR谱估计器。AR谱估计的性质4：等效于最佳白化处理结论：AR谱估计等效于预测误差最佳白化处理。根据预测误差的白化程度可以判断时间随机序列对AR(p)模型的符合程度。AR谱估计的性质：总结相当于根据Yule-Walker方程组对自相关函数值外推后进行傅立叶变换的结果。相当于对随机时间序列以最大熵准则外推后估计信号的功率谱密度。相当于对随机时间序列以最佳线性预测外推后估计信号的功率谱密度。求出的功率谱密度为在几个自相关函数值受限条件下最平坦的功率谱密度。相当于对预测误差进行最佳白化处理。Levinson-Durbin算法：AR模型的Yule-Walker方程组：某阶方程的系数矩阵包含了前面各阶系数矩阵。系数矩阵先进行列倒序再进行行倒序（或先行倒序后列倒序）后矩阵不变（Toeplitz性质）。Levinson-Durbin算法：问题的提出：线性方程组的常用解法解AR(p)模型的Yule-Walker方程组的运算复杂度为p3，为了选择模型要解一系列的方程组运算量很大。Yule-Walker的系数矩阵很有规律性，可以构造迭代算法以减少计算量。问题的定义：已知AP(k)模型，怎样用AP(k)模型的参数求出AP(k＋1)模型的参数?Levinson-Durbin算法：问题分析：条件：目标：Levinson-Durbin算法：求解过程：将条件向目标转化，扩充条件方程组：其中：Levinson-Durbin算法：将扩充方程组与目标方程组比较，发现缺少一个自由度，故利用Toeplitz性质创造一个条件：Levinson-Durbin算法：将上述两个方程组进行某种线性组合以将等式右边的最后一个元素化为0，即令：Levinson-Durbin算法：比较组合结果与目标方程组，可得迭代方法：Levinson-Durbin算法：格形滤波器：问题的提出：建立k+1阶预测误差滤波器与k阶预测误差滤波器之间的关系。进一步明确k+1的物理意义。Levinson-Durbin算法：递推算法图示：定义：反射系数：k+1。格形滤波器：前向预测误差和后向预测误差：格形滤波器：前向预测误差滤波器和后向预测误差滤波器：

格形滤波器：根据Levinson-Durbin算法建立递推关系：两边同乘以X(z)，有：格形滤波器：时域递推关系式：初始条件：格形滤波器：格形滤波器图示：格形滤波器：格形滤波器的性质：各级参数（反射系数）的模值小于1，可保证滤波器稳定。级间是“去耦”的，当各级分别调至最佳时可以使滤波器达到全局最佳。反射系数与AR模型是一一对应的，是AR模型的另一种刻划形式。AR模型的稳定性：AR模型的稳定条件：一般自相关函数没有误差时能自动满足。H(z)的极点都在单位圆内。12>22>…>p2>0。|k|<1，k=1,2…p。AR谱估计的界：Burg证明了AR谱的动态范围满足：任何一个反射系数i接近于1时，上界将变大，而下界将变小。具有大反射系数模值的AR过程，其谱一定具有尖锐的峰。AR模型参数提取方法：问题的提出：Levinson-Durbin算法要先算估计出几个自相关函数值，而自相关函数的估计是有偏估计，这将导致AR模型的估计精度降低，是否有其他办法提高AR模型的估计精度？Levinson-Durbin算法要先算估计出几个自相关函数值，有无直接利用随机采样样本提取AR模型参数的方法？AR模型参数提取方法：问题的定义：怎样根据x0,x1…xN－1这一随机采样样本估计随机时间序列的AR(p)模型？AR模型参数提取方法：基本思路：AR模型法与线性预测谱估计等效。AR模型的参数与线性预测滤波器的冲激响应相同：E(z)=A(z)X(z)。对于平稳的随机时间序列，可用时间平均代替集合平均。AR模型参数的提取可化为以下优化问题：

AR模型参数提取方法：Yule-Walker法（自相关法）：估计准则：Yule-Walker法（自相关法）计算的原理图AR模型参数提取方法：估计结果：取样自相关序列取样自相关矩阵AR模型参数提取方法：估计性能：自相关矩阵是正定的，系统的稳定性能够保证。求时相当于对随机信号进行了加窗处理（前后补0），因此估计精度不高。AR模型参数提取方法：协方差法：估计准则：要点：未对数据两端加0（未加窗），对观测时间以外数据不做任何假设。用协方差法计算的原理图AR模型参数提取方法：估计结果：AR模型参数提取方法：估计性能：求时没有对随机信号进行加窗处理，因此估计精度较高。自相关矩阵不是正定的，系统的稳定性不能够保证。例：试根据信号的4个取样值x(n)={2,4,1,3}，分别用自相关法和协方差法估计AR(1)模型参数。例4.1（教材P143）解：（1）自相关法（隐含右端添0）（隐含左端添0）（2）协方差法（不外推添0）（不外推添0）AR模型参数提取方法：Burg法：Burg法的思想：

●自相关法：计算效率高，能保证预测滤波器是最小相位的，但对数据两端添加了0（加窗），估计精度下降，短数据时性能下降。

●协方差法：计算效率高，未加窗，但自相关矩阵不是正定的，潜在着不稳定因素。

●

Burg法的思想：一方面希望利用已知数据段以外的未知数据（但不做主观臆测）；另一方面使预测误差滤波器是最小相位的。不直接估计AR参数，先估计反射系数，再利用Levinson递推算法由反射系数求的AR参数。AR模型参数提取方法：Burg法：估计准则：Burg法前后向预测误差产生原理图AR模型参数提取方法：估计方法：利用Levinson-Durbin迭代算法以及格形滤波器预测误差的迭代关系式，在已知p-1阶模型参数的情况下，只要求出p即可求出p阶模型参数。AR模型参数提取方法：容易证明：AR模型参数提取方法：迭代关系式：AR模型参数提取方法：初始条件：Burg算法

设已知有限数据序列x(n),n=0,1,…,N-1，可按下步骤计算预测滤波器系数，并在此基础上计算功率谱。1.置k=0,计算初值2.k=k+1,

计算反射系数3.计算滤波器系数：

5.计算k阶预测误差功率：6.回到步骤(2)-(5),进行下一次迭代。4.计算前、后向预测误差：AR模型参数提取方法：估计性能：如果处理数据来自AR过程，则可获得精确的结果同时系统的稳定性也有保证。如果处理的是正弦信号会遇到一些困难，例如：谱线分裂、谱峰位置受相位影响大等。为了减小相位的影响，可对反射系数估计公式进行如下修正：其中：wp(n)为某一非负的窗函数。噪声对AR谱估计的影响：问题的提出：AR谱估计对观测噪声比较敏感：噪声会使谱峰展宽，分辨率下降。噪声会使谱峰偏离正确位置。在信噪比低的情况下，AR谱估计已经不再优于周期图方法。研究怎样减小噪声对AR谱估计的恶化影响。噪声对AR谱估计的影响：噪声对AR(p)过程功率谱密度的影响：假设x(n)是一个AR(p)过程，w(n)为与x(n)不相关且方差为w2的白噪声，令：

y(n)=x(n)+w(n)

则：结论：噪声使AR(p)过程变为ARMA(p,p)过程。噪声对AR谱估计的影响：减小噪声对AR谱估计影响的方法：采用ARMA谱估计方法：使用与实际数据情况相符合的ARMA(p,p)模型。对数据进行滤波，减小噪声：使用维纳滤波器进行波形估计以减小噪声。采用髙阶AR模型：一个ARMA(p,p)模型可用AR()模型描述。补偿自相关函数或反射系数估计中的影响：噪声对AR谱估计的影响：采用髙阶AR模型：原理：噪声对AR谱估计