量子力学 第10章10

第五章定态问题的常用近似方法引言§5.1非简并的定态微扰引言§5.1引言（一）近似方法的重要性精确解:（1）一维无限深势阱问题；（2）线性谐振子问题；（3）势垒贯穿问题；（4）氢原子问题。近似解:对于大量的实际物理问题，通常体系的

Hamilton量是比较复杂的，往往不能精确求解。（二）近似方法的出发点近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。（三）近似解问题分为两类（1）体系Hamilton量不是时间的显函数——定态问题1.定态微扰论；2.变分法。（2）体系Hamilton量显含时间——状态之间的跃迁问题1.与时间t有关的微扰理论；2.常微扰。§5.1非简并的定态微扰 微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。 例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。微扰体系一、适用条件

微扰体系的定态薛定谔方程微扰体系的比较复杂，无法直接求解，但可分成两部分： 的所描写的体系是可以精确求解的，叫做未微扰体系，其本征值和本征函数分别为

。则方程（1）就可以通过逐步近似的方法求解。二、微扰论的基本方程

的本征方程：设未微扰体系的本征值和本征函数已经全部求出：)4(,2,1,)0()0()0(0LLknEHnnn==ψψnnnnEEψψ®®)0()0(设某一个能级是非简并的，只有一个与它对应，加上“微扰”后，其中Ek(0),λEk(1),λ2Ek(2),...分别是能量的零级近似，一级修正和二级修正等；而φk(0),λφk(1),λ2φk(2),...分别是状态矢量零级近似，一级修正和二级修正等。

a）零级近似b）一级近似c）二级近似试用微扰论求能级的变化，并与精确解比较。例

带电量为e的一维谐振子，受到恒定弱电场的微扰 作用解1Hamilton算符包含H0+H’两部分，在弱电场下，上式后一项很小，可看成微扰—微扰法（1）电谐振子Hamilton量（2）写出H0的本征值和本征函数En(0),ψn(0)（3）计算En(1)上式积分等于0因为被积函数为奇函数所致。（4）计算能量二级修正利用线性谐振子本征函数的递推公式：欲计算能量二级修正，首先应计算矩阵元。对谐振子有:En(0)-En-1(0)=ω,En(0)-En+1(0)=-ω，代入由此式可知，能级移动与n无关，即与扰动前振子的状态无关。-----电谐振子的严格精确解实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系Hamilton量作以下整理：解2其中x’=x–[eε/mω2]，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低{e2ε2/2mω2}，而平衡点向右移动了{eε/μω2}距离。这与微扰论二级近似一样。可以看给出：计算能级和波函数的一级和二级修正关键是求哈密顿算符的矩阵元。知道了矩阵元以及零级近似解，问题就解决了。另外，通过上述微扰论所得出的能级和波函数的公式因此如果我们一开始知道其矩阵表示，问题的求解将会简单得多。例2.设Hamilton量的矩阵形式为：（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。解：（1）c<<1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：H0是对角矩阵，是HamiltonH0在自身表象中的形式，而且能级是非简并的。所以能量的0级近似为：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非简并微扰公式得能量一级修正（此处每一能级都要修正！）：能量二级修正为：准确到二级近似的能量为：设H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(2)精确解：如何来的？与近似解比较：可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c4及以后高阶项的结果相同。比较（1）和（2）之解(3)将准确解按c(<<1)展开：﹟Thisistheendofthenondegnerate

purterbationtheory!总结：非简并微扰论处理问题的方法（2）写出