资金的时间价值(下)

公式名称所求已知系数符号数学表达式一次支付终值公式FP(F/P,i,n)一次支付现值公式PF(P/F,i,n)年金终值公式FA(F/A,i,n)偿债基金公式AF(A/F,i,n)年金现值公式PA(P/A,i,n)资金回收公式AP(A/P,i,n)上节回顾运用利息公式应注意的问题:实施方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初；方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末；P在当前年度开始时发生（0时点处）；F在当前以后的第n年年末发生（第n年年末）；A在考察期间各年年末发生。当问题包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当问题包括F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生；等差/等比系列中，第一个G/At发生在系列的第二年年末。各系数之间的关系倒数关系：乘积关系：特殊关系：第二章现金流量与资金的时间价值现金流量资金的时间价值资金时间价值的复利计算名义利率和实际利率资金时间价值基本公式的应用32.4名义利率和实际利率2.4.1基本概念名义利率与实际利率的关系同单利与复利的关系一样。当计息周期小于利率周期时，则有了名义利率和实际利率的概念。名义利率——用计息周期利率按单利计算的利率周期（年）利率，即由计息周期利率i乘以一个利率周期（年）内的计息周期数m所得到的利率周期（年）利率。实际利率——用计息周期利率按复利计算的利率周期（年）利率。4利率周期常以年为单位。设计息周期利率为i，一年中计息m次。按单利计算年名义利率r：一年末利息和I=m.P.i则由利率的定义可知：r=I/P=i×m按复利计算年实际利率ieff：一年末利息和则由利率的定义可知：5年名义利率(r)计息周期年计息次数计息周期利率(i=r/m)年实际利率(ieff)10%年110%10%半年25%10.25%季42.5%10.38%月120.833%10.47%日3650.0274%10.52%6名义利率与实际利率的比较：当计息周期等于利率周期（年）时，名义利率与实际利率相等。当计息周期小于利率周期（年）时，实际利率大于名义利率；且计息次数越多，实际利率与名义利率的差值就越大。名义利率不能完全反映资金的时间价值，实际利率才真实地反映了资金的时间价值。7例:已知某项目的计息期为月,月利率为8‰,则项目的名义利率为()。A.8%B.8‰C.9.6%D.6‰例:若i1=2i2；n1=n2/2，则当P相同时有()。A.（F/P，i1，n1）<（F/P，i2，n2）B.（F/P，i1，n1）>（F/P，i2，n2）C.（F/P，i1，n1）=（F/P，i2，n2）D.无法确定两者的关系答案:A答案:C8例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利率为16%，计息每年一次。乙银行年利率为15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠些？解：因为i乙>i甲，所以甲银行贷款条件优惠些。9例：现投资1000元，时间为10年，年利率为8%，每季度计息一次，求10年末终值。解：季度计息周期利率为8%÷4=2%，①用年实际利率求解:年有效利率i为：ieff

=(1+2%)4－1=8.2432%F=1000(F/P，8.2432%，10)=2208（元）②用季度利率求解:F=1000(F/P，2%，40)=1000×2.2080=2208（元）F=？1000…012340季度102.4.2连续（瞬时）复利——当计息周期趋于无穷小，一年内计息次数m趋于无限大，即m→∞,此时可视为计息没有时间间隔而成为连续计息。年实际利率为：式中：e自然对数的底，其数值为2.7182811将连续复利引入普通复利公式得：12例：某地向世界银行贷款100万美元，年利率为10％，试用间断计息法和连续计息法分别计算5年后的本利和。解：①用间断复利计算：F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)=100(F/P,10%,5)=100×1.6105＝161.05（万）②用连续复利计息计算：利率：i=er-1F=P(1+i)n=P(1+er-1)n=Pern=100×e0.1×5＝164.887（万）132.4.3名义利率和有效（年）利率的应用计息周期等于收付周期——直接运用6个基本公式计息周期小于收付周期——按实际利率/计息周期利率计算计息周期大于收付周期——计息期内不计息/单利计息/复利计息141、计息周期等于收付周期——根据计息周期利率，利用复利计算公式进行计算。例：年利率为12%，每半年计息1次，从现在起连续3年每半年末等额存款为200元，问与其等值的第0年的现值是多少？解：计息周期利率（半年实际利率）i＝12％/2＝6％P=200×(P／A，6％，6)＝983.46（元）15按收付周期的实际利率计算；按计息周期利率计算。例：年利率12％，按季度计息，连续5年，在年末借款500元，求第5年末的等值借款额F？5001813192014150123456789101211Ⅰ500500(年)Ⅱ500ⅢⅣ1716Ⅴ500(季)F？2、计息周期小于收付周期16按收付周期的实际利率计算step1——计算收付周期的实际利率，本例为1年，以1年为基础进行计算：step2——以年实际利率为基础，原现金流量转变为等额年值A与终值F的资金等值计算问题，即：（元）5001813192014150123456789101211Ⅰ500500(年)Ⅱ500ⅢⅣ1716Ⅴ500(季)F？17计息周期利率i=12%/4=3%。解法一：将等额支付的每个现金流量看作一次支付，求出每个支付的终值，然后将其累加，即为等额现金流量的实际终值F：按计息周期利率计算5001813192014150123456789101211Ⅰ500500(年)Ⅱ500ⅢⅣ1716Ⅴ500(季)F？（元）18step2——经等值转变，计息周期等于收付周期，所有现金流量全部转变为处于计息周期末的等值现金流量，其终值为：161813192014150123456789101211Ⅰ(年)ⅡⅢⅣ17Ⅴ(季)解法二：step1——取一个收付周期，将该周期末的现金流量转变为等值的计息周期末的等额支付序列；01234Ⅰ500(年)(季)01234Ⅰ119.5(年)(季)（元）（元）191001239746581112（月）3001001001003、计息周期大于收付周期计息期内的收付不计息；计息期内的收付按单利计息；计息期内的收付按复利计息。例：现金流量图如图所示，年利率为12%，每季度计息一次，求年末终值F为多少？20计息期内的收付不计息——现金流出额放在计息期初，现金流入额放在期末，计息期分界点处的支付保持不变。解：计息周期利率i=12%/4=3%。1001239746581112（月）3001001001001001324（季）30030020030010021计息期内收付按单利计息——见P311001239746581112（月）300100100100解：计息周期利率i=12%/4=3%。22计息期内收付按复利计息——见P321001239746581112（月）300100100100解：计息周期利率（季实际利率）i=12%/4=3%。23作业二P34—T8、11、1224上节回顾求每半年向银行借1400元，连续借10年的等额支付系列的等值终值。利息分别按以下三种情况计息:1）年利率为12％，每年计息一次

；2）年利率为12％，每半年计息一次；3）年利率为12％，每季度计息一次。解：1）计息期长于收付期：若计息期内的收付不计息，则实际的现金流量图：F=14002(F/A,12％，10)＝49136（元）01210年14001400r=12%,A=2800252）计息期等于收付期F=1400(F/A,12%÷2，102）＝51500（元）3）计息期短于收付期取一个收付周期（季）进行分析：i＝12％÷4＝3％F=1400(A/F，3%，2)(F/A，3%，410）=52000（元）012341920半年i＝12％÷2＝6％,A=140001234季度14001400i＝12％÷4＝3％A=1400(A/F,3%,2)按收付周期（季）实际利率计算？262.5资金时间价值基本公式的应用复利系数表中包含了三种数据，即系数、利率、计息次数。根据各系数符号，查表即可得到相应的系数；知道了三项数据中的任意两项，还可以通过查表得到另一项。一、资金的等值计算二、计算未知利率三、计算未知年数272.5.1资金的等值计算例:某企业现贷款10000元，年利率为6%，十年内偿还完毕，试确定下列四种偿还方案的偿还数额。方案Ⅰ：每年偿还利息，到期偿还本金。方案Ⅱ：每年偿还利息，并偿还本金1000元，剩余部分十年末到期全部偿还。方案Ⅲ：十年内每年等额偿还全部本利。方案Ⅳ：十年末一次偿还全部本利。28解：计算结果见下表：(单位:元)年数

贷款额

四种等值的偿还方案10000

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ0

60016001359

1

60015401359

2

60014801359

3

60014201359

4

60013601359

5

60013601359

6

60013001359

7

60012401359

8

60011801359

9

60011201359

10

106001060135917910合计

1600013300135901791029由计算结果可看出，四种方案偿还的总数额是不相同的，但四种偿还方案与10000元本金是等值的。从投资者立场来看，四种方案中任何一种都可以偿付他现在的投资。从贷款者的立场来看，只要他同意在今后以四种方式中的任何一种来偿还，他今日都可得到10000元的使用权。302.5.2计算未知利率在计算技术方案的等值时，有时会遇到这样一种情况：即现金流量P、F、A以及计算期n均为已知量，而利率i为待求的未知量。比如，求方案的收益率、国民经济的增长率等。这时，可以借助查复利系数表利用线性内插法近似地求出i来。31例：某人今年初借贷1000万元，8年内，每年还154.7万元，正好在第8年末还清，问这笔借款的年利率是多少？解：已知P=1000万，A=154.7万，n=8由A=P(A/P,i,n)知：(A/P,i,8)=A/P=154.7/1000=0.1547查表中的资金回收系数列，在n=8的一行里，0.1547所对应的i为5%。故所求i=5%。32例:已知现在投资300元，9年后可一次获得525元。求利率i为多少？解：利用一次支付终值公式由F=P（F/P，i，n）得：（F/P，i，9）=F/P=525/300=1.750从复利表上查到，当n=9时，1.750落在利率6%和7%之间。从6%的位置查到1.689，从7%的位置上查到1.838。用线性内插法可得：i=6%+(1.750-1.6895)(7%-6%)=6.41%33线性内插法设两个已知的现金流量之比（F/P，F/A或P/A等）对应的系数为f0，左右最接近的利率为i1和i2，i1对应的系数为f1，i2对应f2。由相似比可知：注意：函数的连续性表明，当自变量增值趋于0时，才能将此变化范围内的函数近似看做直线。故选取的i1和i2应无限接近。一般相差3%~5%时，通过线性内插法求得的误差在可接受范围内。0i1f1i2f2利率i系数fi0f034例：某人有资金10万元，有两个投资方向供选择：一是存入银行，每年复利率为10％；另一是购买五年期的债券，115元面值债券发行价为100元，每期分息8元，到期后由发行者以面值收回。试计算出债券利率，比较哪个方案有利。012345年i=？A=8P=100F=115

35解：依题意有：100=8(P/A,i,5)+115(P/F,i,5)用试算的方法，可得：P(10%)=8(P/A,10％,5)+115(P/F,10％,5)＝101.73（元）P(12%)=8(P/A,12％,5)+115(P/F,12％,5)＝94.09（元）用线性内插法：36例:某公司欲买一台机床，有两种付款方式：（1）若买时一次付清，则售价30000元；（2）买时第一次支付10000元，以后24个月内每月支付1000元。取银行利率为12%，问若这两种付款方案在经济上是等值的话，那么，对于等值的两种付款方式，卖方实际上得到了多大的名义利率与实际利率?37解：两种付款方式中有10000元现值相同，剩下20000元付款方式不同，根据题意：已知P=20000元，A=1000元，n=24个月，求月利率i＝？（P/A，i，24）=20000/1000=20查复利表：（P/A，1%，24）=21.243,（P/A，2%，24）=18.914那么卖方得到的年名义利率：r=12×1.534%=18.408%38卖方得到的年实际利率：由于上述的名义利率18.408%和实际利率20.04%都高于银行利率12%，因此，第一种付款方式对买方有利，而第二种付款方式对卖方有利，按银行利率，卖方所得的现值为：P=P1+A（P/A，i，n）=10000+1000(P/A，1%，24)=31243.4（元）39练习:

设有一个25岁的人投资人身保险，保险期50年，在这段期间，每年末缴纳150元保险费，在保险期间内，若发生人身死亡或期末死亡，保险人均可获得10000元。问投这段保险期的实际利率？若该人52岁去世，银行年利率为6%，问保险公司是否吃亏？40解：已知A=150元，F=10000元，n=50年，求i=？（F/A，i，50）=10000/150=66.667查复利表：（F/A，1%，50）=64.463，（F/A，2%，50）=84.579所以,50年保险期的实际利率为1.11%41若此人52岁去世，则在保险期内的第27年保险公司要赔偿10000元，看其是否吃亏，就与存银行所得本利和作比较：F=A（F/A，i，n）=150(F/A，6%，27)=150×63.706=9555.9（元）保险公司亏损：10000-9555.9=444.1（元）可见此人投保期间的实际利率只有1.11%，若此人52岁时去世，则保险公司就亏444.1元。422.5.3计算未知年数在计算技术方案的等值中另一种可能的情况是：已知方案现金流量P、F或A，以及方案的利率i，而方案的计算期n为待求的未知量。例如，要求计算方案的投资回收期、借款清偿期等。这时仍可借助查复利表，利用线性内插法近似地求出n来。其求解基本思路与计算未知利率大体相同。43例:假定国民经济收入的年增长率为10%，如果使国民经济收入翻两番，问从现在起