自动控制理论全套课件(王孝武 方敏)

自动控制理论教材：《自动控制理论》王孝武，方敏，葛锁良编.

机械工业出版社2010.6参考书：

《自动控制理论》（第五版），胡寿松主编.科学出版社

《现代控制工程》绪方胜彦著,科学出版社

《自动控制原理》孙虎章主编，中央广播电视大学参考葛锁良老师课件主讲教师:平兆武合肥工业大学电气与自动化工程学院自动化系第一章绪论1.1自动控制与自动控制系统

一：自动控制所谓自动控制，是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称控制装置或控制器），使机器、设备或生产过程（统称控制对象）的某个工作状态或参数（即被控量）自动地按照预定的规律运行。思考：实际中的自动控制？蒸汽机速度控制英国J．Watt发明的离心式调速器控制蒸汽机速度，被普遍认为是最早应用于工业过程的自动控制系统。

（１７８８年）n0二：自动控制系统由控制器（控制装置）和被控对象组成，具有自动控制功能的系统，称为自动控制系统。被控制的机器设备或生产过程称作被控对象，将表征其工况的关键参数称作被控量（输出量），而将对这些工况参数所要求达到的值称作给定值（或希望值、输入量）。自动控制的任务可抽象为：使被控对象的被控量按给定值变化。对被控对象实施控制的装置称为控制器。其基本功能有:测量、决策和执行1.2自动控制系统的组成自动控制系统是由各种结构不同的元部件组成的。将组成系统的元部件按职能分类主要由以下几种。

1：测量元件其职能是对物理量进行检测(被控量、内部变量、干扰信号)2：给定元件其职能是给出与期望的被控量相对应的系统输入量

3：比较元件其职能是对两个物理量进行比较、加减运算，以形成偏差信号4：放大元件其职能是将比较元件给出的偏差信号进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。

5：执行元件其职能是直接推动被控对象，使被控量发生变化6:校正元件也叫补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈方式连接在系统中，以改善系统的性能。

自动控制系统原理框图

术语：前向通道（从输入端到输出端）、反馈通道（从输出端到比较元件）输入信号、输出信号、扰动信号扰动负反馈、正反馈反馈信号、误差信号、控制信号控制装置1.3自动控制方式根据控制信号的来源不同，可以分为以下三种控制结构：输出计算执行被控对象干扰控制装置输入控制量按给定值控制：按干扰补偿：输出计算执行被控对象干扰控制装置测量控制量输入输出比较、计算执行被控对象测量干扰控制装置输入控制量自动控制方式：1.开环控制方式：按给定值控制、按干扰补偿2.闭环控制方式（反馈控制）：按偏差调节基本控制方式3.复合控制方式：在闭环控制基础上附加输入补偿或干扰补偿按偏差调节：干扰控制装置补偿装置被控对象输出干扰输入控制装置补偿装置被控对象输出输入按输入补偿的复合控制按干扰补偿的复合控制明确控制系统的任务；明确系统工作原理；被控对象是什么？被控量（系统输出量）？有哪些干扰？参考输入？有谁提供？画出控制系统的原理方框图，分析系统采用何种控制方式。分析实际控制系统的步骤：分析举例炉温控制系统控制任务：保持炉温T为T0不变被控对象：炉子被控量：炉温T控制方式：按给定值控制定时开关电阻丝炉子给定炉温实际炉温工作原理：．．．．水位自动控制系统水门2杠杆水门1水箱控制任务：保持水位Ｈ为Ｈ０不变被控对象：水箱被控量：水位Ｈ工作原理：．．．．水门１杠杆水箱Ｈ０ＨＱ１水门２用水量Ｑ２控制方式：按干扰补偿热处理炉温度控制系统控制任务：保持炉温T为T0不变被控对象：烘炉被控量：炉温T工作原理：．．．．控制方式：按偏差调节无静差系统位置随动控制系统桥式电位计放大器电动机减速器工作机械手柄控制任务：要求工作机械的角位置θc跟随给定角位置θr被控对象：工作机械被控量：角位置工作原理：．．．．控制方式：按偏差调节减速器桥式电位器电动机-放大器工作机械无静差系统谷物湿度控制系统控制任务：保持输出谷物湿度为给定值被控对象：谷物被控量：谷物湿度工作原理：．．．．控制方式：复合控制湿度测量调节器谷物-阀门给定湿度谷物湿度湿度测量输入谷物湿度1.４自动控制系统的分类另外：

按控制方式可分为开环控制、闭环控制、复合控制等；

按元件类型可分为机械系统、电气系统、液压系统、气动系统等；

按系统功用可分为温度控制系统、压力控制系统、位置控制系统等；

按系统性能可分为集总参数系统和分布参数系统、确定系统和不确定系统等；按照描述系统的数学模型：

线性系统：时变系统、定常系统

非线性系统按照系统传递的信号的性质：

连续控制系统（用微分方程描述）离散控制系统（用差分方程描述）按照系统输入信号的变化规律：

随动控制系统（伺服系统）恒值控制系统（镇定系统、调节系统）程序控制系统线性连续系统这类系统可用线性微分方程描述，其一般形式为：

系数a0、a1、…，b0、b1、…为常数时，系统称为线性定常系统，系数a0、a1、…，b0、b1、…随时间而变时，系统称为线性时变系统。

线性离散系统离散系统是指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式，因而信号在时间上是离散的。这类系统可用差分方程描述，其一般形式为：

非线性系统

系统中只要有一个元部件的输入-输出特性是非线性的，这类系统就称为非线性系统，这时要用非线性微分（或差分）方程来描述其特性。例如：1.5对控制系统的性能要求控制系统的时间响应过程系统受到外部作用（给定值或干扰）后，被控量（输出）随时间变化的全过程称为系统的时间响应过程c(t)。控制系统动态过程（瞬态过程）稳态过程考虑时：不同控制系统的时间响应过程比较稳定性

稳定性是保证系统正常工作的先决条件。一个稳定的控制系统，其被控量偏离期望值的初始偏差应随时间的增长逐渐减小或趋于零。也就是说，控制器的控制作用应使误差逐渐减小。若控制不当，使误差逐渐变大，就形成了不稳定的控制系统，不稳定的控制系统是不能正常工作的。

快速性

为了很好完成控制任务，控制系统仅仅满足稳定性要求是不够的，还必须对其过渡过程的形式和快慢提出要求。

准确性

当过渡过程结束后，被控量达到的稳态值（即平衡状态）应与期望值一致。被控量的稳态值与期望值之间的误差称为稳态误差。稳态误差是衡量控制系统控制精度的重要标志。

对控制系统要求：稳、快、准1.6自动控制理论发展概况自动控制理论

自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。第二次世界大战期间，为了设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统以及其他基于反馈原理的军用装备，进一步促进并完善了自动控制理论的发展。到战后，已形成完整的自动控制理论体系，这就是以传递函数为基础的经典控制理论，它主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析和设计。

60年代初期，随着现代应用数学新成果的推出和电子计算机技术的应用，为适应宇航技术的发展，自动控制理论跨入了一个新阶段——现代控制理论。它主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题，采用的方法是以状态为基础的时域法。目前，自动控制理论还在继续发展，并且已跨越学科界限，正向以控制论、信息论、仿生学为基础的智能控制理论发展。

经典控制理论核心是反馈控制的思想

20世纪40-50年代发展形成1945年美国人Bode“网络分析与放大器的设计”（专著），奠定了控制理论的基础。50年代趋于成熟对单输入单输出系统进行分析，采用频率法、根轨迹法、相平面法、描述函数法；讨论系统稳定性的代数和几何判据以及校正网络等现代控制理论

20世纪60年代以后空间技术的发展提出了许多复杂控制问题，用于导弹、人造卫星和宇宙飞船

Kalman“控制系统的一般理论”（论文）奠定了现代控制理论的基础解决多输入、多输出、时变参数、高精度复杂系统的控制问题大系统、复杂系统、智能控制系统

20世纪80年代以后各学科相互渗透，要分析的系统越来越大，越来越复杂。例人工智能、模拟人的人脑功能、机器人等。自动控制的应用领域交通工程机器人建筑与楼宇自动化办公自动化家庭自动化商业自动化管理自动化社会与经济系统控制军事与国防航空航天工业生产过程（石油、化工、冶金、热动….）电力系统自动化先进制造技术车辆工程1.7本课程的内容线性定常连续系统系统的数学模型

系统的分析方法：

系统的校正方法（第2章）（第3章）（第4章）（第5章）（第6章）时域法根轨迹法频域法复习:拉普拉斯变换及线性微分方程的求解

1拉氏变换的定义存在

，则称其为的拉普拉斯变换，记为设函数当时有定义，且积分2几种典型函数的拉氏变换

1）单位阶跃函数1(t)1f(t)t2）单位斜坡函数f(t)t3）单位加速度函数f(t)t1(t)可用于表示信号作用的时间域f(t)t4）单位脉冲函数且1f(t)tf(t)t00规定积分下限取0-3拉氏变换的几个基本法则1).线性性质2).微分性质若则3).积分性质4).终值定理设，且在平面的右半平面及除原点外的虚轴上解析，即极点均位于平面的左半平面（包括坐标原点）设，则有5).位移定理按定义求拉氏反变换很困难，一般常用部分分式法计算：4拉氏反变换例例s域的代数方程拉氏变换解代数方程系统的微分方程系统输出的象函数拉氏反变换微分方程的解例5、用拉氏变换法求解微分方程应用拉氏变换的求解微分方程的优点：（1）将微积分运算转换为代数运算（2）运算过程中，初始条件直接代入，不象直接解微分方程：先解出通解，然后再由初始条件来确定待定系数。第2章控制系统的数学模型2.1引言建立控制系统的数学模型是对系统进行分析和设计的基础。系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。

静态数学模型：

动态数学模型：

静态条件下（变量的各阶导数为0）,代数方程动态条件下动态数学模型有多种形式：微分方程、差分方程、状态方程

传递函数、动态结构图、信号流图

时域：

复域：

频域：

频率特性建立控制系统数学模型的方法:对模型的要求：分析法（也称解析法或机理法）

实验法：

传统方法

现代方法（系统辨识方法）

尽可能符合实际物理系统的特性，并且准确可靠；在满足精度要求的情况下，建立的数学模型应尽可能简单。

2.2控制系统的微分方程一、系统微分方程的建立确定系统或元件的输入量和输出量。依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列出一组微分方程。消去中间变量，得到系统输入变量和输出变量之间的微分方程。对微分方程进行整理，写成标准形式。即将输出量及其各阶导数项放在等号左边，输入量及其各阶导数项放在等号右边，并按降幂排列。分析法建立动态系统的输入－输出微分方程的步骤：例2-1列写图示电路的输入输出微分方程)(tuiiRC)(tuc负载效应对于两级RC网络,若要消除负载效应，可在两个RC电路之间设置隔离放大器

根据基尔霍夫定律，可写出下列方程组

若两个RC电路之间没有隔离放大器

力-电学相似系统例2-2有源网络如图所示。列写输出与输入之间的微分方程解：由运算放大器的基本特性和基尔霍夫定律，列写出下列方程消去中间变量,整理后得

例2-3思考：理想运算放大器的特性？例2-4电枢电压控制的他励直流电动机电磁转矩方程

电枢反电势

电枢回路电压平衡方程电动机轴上转矩平衡方程消去中间变量、，可得-----

三阶微分方程

电磁转矩方程

电枢反电势

电枢回路电压平衡方程电动机轴上转矩平衡方程一般情况电枢电感

很小，可令。有-----二阶微分方程

若以

为输出，则微分方程变为两边除以，令例2-5

直流调速控制系统（空载）例2-6位置随动系统桥式电位计放大器

电动机减速器电动机（折算到电动机轴上的等效转动惯量、等效摩擦系数、等效外加阻力矩）消去中间变量并将折算公式代入，得到若忽略的数值，考虑令得到二阶线性定常系统二、

非线性微分方程的线性化（1）两个外作用同时加于系统所产生的总响应等于各个外作用单独作用时分别产生的响应之和；（2）外作用的数值增大若干倍时，响应也增加同样的倍数。线性系统的特点：可叠加性和齐次性（叠加原理）

严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的。如果系统具有严重的非线性，就要采用非线性系统的分析处理方法；但大多数系统在一定限制条件下，都可通过线性化方法近似地用线性方程来描述。这里介绍一种线性化方法---小偏差法。

考虑到实际控制系统都有一个设定工作状态，即系统中各个变量都在各自的设定值（工作点、平衡点）附近作小范围变化，“小偏差法”的基本思想是，对于描述非线性元件输入与输出之间特性的非线性函数，在元件工作点邻域内展开成泰勒级数，在能够忽略二次以上各项的条件下，用泰勒展开式的一次项近似表示元件输入输出特性函数，使得系统中非线性元件线性化，从而使描述系统的非线性微分方程线性化。将非线性函数在平衡点处展开成泰勒级数解：

设流体是不可压缩的，根据物质守恒定律，有

根据流体力学

例2-8

单容水箱液位系统如图所示。为水箱的流入量，

水箱液面高度为

，水箱的截面积为。

列写

与之间的

线性化微分方程。

为流出量，是与负载阀的特性有关的系数，阀的开度一定时为常数。可得

一阶非线性微分方程。

下面用小偏差法将非线性微分方程线性化。称为水阻

1．将非线性元件（节流阀）的特性线性化设系统在平衡点附近的小范围内工作，各变量可以表示为在平衡点处对非线性函数进行泰勒展开：由于很小，

考虑平衡点处

平衡点附近的线性增量方程。

简记为2．将非线性微分方程增量化将代入3．将非线性微分方程线性化求得：总结使用小偏差法的步骤：1．将非线性元件线性化

设非线性元件的输入输出特性可用非线性函数表示，且可以在平衡点的邻域内展开成泰勒级数，忽略展开式中的高次项，则元件的输入输出特性可近似写成线性化增量方程。2．将非线性微分方程增量化

由于非线性元件的线性化描述是一个增量方程，为方便起见，需要将系统中的变量转换成增量形式，使描述系统的微分方程增量化。具体做法为：将微分方程中的各个变量用平衡点处的值和增量值之和的形式表示，并且考虑平衡点处各变量之间的关系，就可以得到增量化的非线性微分方程。3．将非线性微分方程线性化

将非线性元件的线性增量方程与系统的非线性增量微分方程联立，求得描述系统的线性增量微分方程。小偏差法的应用条件：（1）要求输入输出变量在平衡点附近作小范围变化，否则忽略泰勒展开式的二次方以上各项，会产生大的误差。（2）要求非线性特性曲线在平衡点处连续可导，对某些非线性特性，平衡点处的导数不存在，不能使用小偏差法。也可以直接对非线性方程进行线性化在平衡点处求得：2.3线性定常系统的传递函数一、

传递函数的定义传递函数定义：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。线性定常系统的微分方程一般可表示为令初始条件为零，进行拉氏变换，得到根据传递函数的定义

RC网络：令拉氏变换：传递函数二、传递函数的一般形式用s的多项式分式表示的传递函数形式-------静态放大倍数或静态增益

传递函数也可写成零极点表示的形式

是分子多项式方程的m个根，称为的零点；是分母多项式方程的n个根，称为的极点。、的值由确定，零、极点可以是实数，也可以是复数，若为复数，一定以共轭形式出现。根轨迹增益传递函数的零、极点可以用零、极点分布图表示

在复平面上，用“○”表示零点，“×”表示极点。例如三、传递函数的零、极点对输出的影响设则四、运动的模态模态：线性微分方程的解=特解

+齐次微分方程的通解通解：由微分方程的特征方程决定，代表自由运动。§§§五、关于传递函数的几点说明传递函数的概念只适用于线性定常系统，是一种在复域中描述其运动特性的数学模型。2.传递函数是复变量s的有理真分式函数，即，且所有系数均为实数（因为系统中元件参数是实数）。传递函数是一个输入变量和一个输出变量之间的关系，表征了系统的固有特性。建立一个系统的传递函数时，必须指明是哪一个输入变量和哪一个是输出变量之间的传递函数。传递函数与微分方程之间可以相互转换。用微分算子替换传递函数中的复变量s，并用输入和输出变量的时间函数替换传递函数中的象函数，就可以由传递函数得到微分方程。

5.传递函数是在零初始条件下定义的，它与输入信号的拉氏变换的乘积仅反映了系统在零初始条件下的响应规律。若要求解系统在非零初始条件下的响应，则应该先由传递函数求出系统的微分方程，然后在考虑初始条件的情况下求解该微分方程，从而得到系统在非零初始条件下的响应表达式。

6.一个系统的传递函数，可以通过该系统在零初始条件下的单位脉冲响应的拉氏变换求得，即，并且由传递函数拉氏反变换可求得系统的单位脉冲响应，即。六、典型环节及其传递函数任何一个复杂的系统，从结构上看都可以由不同的元部件组成。从数学模型来看，一个复杂系统的传递函数，可以分解成一些具有典型特性的环节。由于典型环节比较简单，建立典型环节的传递函数并研究其特性，可以为复杂系统的分析提供基础。比例环节（放大环节）比例环节的输出量能够无失真、无延迟地按照一定比例关系复现输入量。

为比例系数，也称放大系数或增益

输入输出方程传递函数微分环节微分环节的输出量是输入量对时间t的微分。

积分环节积分环节的输出量是输入量对时间t的积分。输入输出方程传递函数输入输出方程传递函数微分环节有一个零点位于s平面的坐标原点。

积分环节有一个极点位于s平面的坐标原点。

惯性环节一阶微分环节输入输出方程传递函数传递函数输入输出方程惯性环节有一个负实数极点，T为惯性环节的时间常数。

一阶微分环节的输出量是输入量的比例加微分。

一阶微分环节有一个负实数零点。振荡环节二阶微分环节延迟环节（滞后环节）传递函数传递函数传递函数输入输出方程输入输出方程输入输出方程

振荡环节有一对共轭复数极点分布在s平面的左半开平面。

二阶微分环节有一对共轭复数零点位于s平面的左半开平面。称为延迟时间比例环节积分环节惯性环节一阶微分环节几种典型环节的运算放大器电路实现七、控制系统的传递函数系统输入输出微分方程系统的输入输出传递函数系统输入输出变换方程各元部件变量的象函数之间的代数方程组

零初始条件下拉氏变换

零初始条件下拉氏变换

微积分消元

代数消元

由定义各元部件变量之间的微分方程组求控制系统的传递函数的方法例2-7求图示电路的传递函数写出基本方程123采用复阻抗求位置随动系统的传递函数例2-8零初始条件下进行拉氏变换求位置随动系统的传递函数例2-8列写出元部件变量之间的一组动态方程：零初始条件下的拉氏变换，可得一组变换方程列写出元部件变量之间的一组动态方程：零初始条件下的拉氏变换，可得一组变换方程消去中间变量，并考虑1）求与之间的传递函数，令2）求与之间的传递函数，令

忽略的情况下令二阶振荡环节消去中间变量，并考虑2.4控制系统的结构图一、结构图的组成结构图是描述系统中各元部件的功能和信号之间传递关系的图解表示。控制系统的结构图也称方块图、方框图。

特点：结构图能形象直观地表示输入信号在系统中的传递过程，能直接反映每个中间变量的特性。通过结构图的等效变换方法，还可以方便地求系统中任意两个变量之间的传递函数，避免使用消元法。

1.信号线2.引出点（测量点）3.综合点（比较点）4.方框（环节）结构图包含有四种基本单元：

二、结构图的绘制建立控制系统动态结构图的步骤：列写系统各元部件的微分方程；2.

在零初始条件下，对各微分方程进行拉氏变换，并将每一个变换方程用方框表示；

3.

按系统中各变量的传递顺序，依次将方框连接起来。将系统的输入变量置于左端，输出变量置于右端，得到系统完整的结构图。

绘制图示RC无源网络的结构图。

解：应用电路理论，可以直接利用复阻抗的概念列写拉氏变换后的方程组：从输入变量开始，按照变量之间因果关系，对方程进行整理：

11RCsR12R-例2-9绘制图示RC无源网络的结构图。

11RCsR12R-例2-911R2R-另一种形式绘制图示两级RC网络的结构图。

-例2-10--绘制电枢电压控制的他励直流电动机结构图。

-例2-11-例2-12建立位置随动系统的结构图---三、结构图的等效变换等效变换：指变换前后系统输入输出传递关系保持不变。等效变换规则：串联方框的等效变换规则并联方框的等效变换规则反馈方框的等效变换规则综合点与引出点的移动规则串联方框的等效变换)(sR)(sC)()(21sGsG=1G2G…nG)(sR)(sCnGGGL21=)(sR)(sC)(1sG)(2sG)(sU)(sC)(sR并联方框的等效变换)(1sG)(2sG+±)(sRC(s))()(21sGsG±)(sR)(sC=反馈方框的等效变换综合点与引出点的移动综合点前移综合点后移引出点前移引出点后移相邻引出点之间移动

相邻综合点之间移动

综合点和引出点交换位置负号在支路上的移动注意：综合点和引出点之间交换位置，往往会使结构图变复杂，一般尽量避免使用。化简两级RC网络的结构图，并求传递函数。

-例2-13----------化简下面的结构图，并求传递函数。例2-14------对图示结构图进行化简,求传递函数（1）（2）（3）（7）解：例2-15（4）R31GG42GGHG3HG45GC--（5）R4231GGGG+-HGHG43+5GC（6）R4231GGGG+HGHG1431++C5G引出点前移综合点后移相邻综合点移动例2-16对图示结构图进行化简,求传递函数---------+--引出点前移综合点和引出点交换位置综合点后移综合点后移一个两输入两输出系统的结构图如图所示。求下列传递函数：解：令令

例2-17结构图化简求传递函数的步骤2.应用移动规则，消除回路之间的交叉联系，使系统的结构图变换为无交叉的多回路结构。注意在消除交叉联系时，应力求避免相邻的综合点与引出点之间交换位置。3.对多回路系统，由里向外进行变换，直至变为一个方框，即可得到输入输出总的传递函数。1.确定系统的输入量和输出量。如果系统有多个输入量或输出量，要分别进行结构图化简，求各自的传递函数。信号流图与结构图一样，都是用图形来描述控制系统中信号传递关系，但符号更简单，便于绘制和应用。2.5控制系统的信号流图一、信号流图的概念信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络，是一种表示联立线性代数方程组的图。

例：线性代数方程组

abcdef1x2x3x4xg5x信号流图中的几个术语节点：用来表示变量和信号，其大小为流入节点的支路信号之和,用符号“o”表示。

输入节点（源节点）：只有输出支路的节点。输入节点对应系统的输入变量；

输出节点（汇节点）：只有输入支路的节点，输出节点对应系统的输出变量；

混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点。支路：连接两个节点的定向线段，具有确定的增益（支路增益），增益可以是常数（增益为1时，可以省略），也可以是传递函数。信号按照箭头方向从支路的一个节点乘以增益后流向另一节点。通路：从一个节点沿支路箭头方向到达另一节点所经过的各相连支路叫通路（通道）。

前向通路：从输入节点到输出节点的通路，且通过任何节点不多于一次。回路：如果通路的终点就是通路的起点，且通过任何节点不多于一次，称为回路。

自回路：只有一条支路的回路称为自回路。

不接触回路：如果一些回路之间没有公共节点则称它们为不接触回路。前向通路增益：前向通路中，各支路增益的乘积。回路增益：回路中各支路增益的乘积。abcdef1x2x3x4xg5x（1）节点变量是所有流向该节点的信号之和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点变量表示。（2）支路表示了一个节点信号到另一个节点信号的传输关系，信号只能沿着支路上的箭头方向传递。（3）在混合节点上，增加一条具有单位增益的支路，可把混合节点变为输出节点，即可以分离出系统的输出变量。需要注意的是，用这种方法不能将混合节点变为输入节点。（4）对于给定系统，信号流图不是唯一的。（5）信号流图只适用于线性系统。2.关于信号流图的几点说明二、信号流图的绘制例2-18信号流图可以由控制系统的微分方程直接绘制，也可以由动态结构图转化获得。1.由系统的微分方程绘制信号流图

绘制图示电路的信号流图。已知电容初始电压为解：

列写微分方程如下：在考虑初始条件的情况下进行拉氏变换，得

2.由系统结构图绘制信号流图1）用“o”在结构图的信号线上标出信号流图的节点。2）用与结构图相应的支路连接节点，方框中的传递函数为信号流图中的支路增益，综合点处的“—”号用负增益表示。3）略去只有一个输入支路和一个输出支路的节点（因为流入流出这些节点的信号相同），注意新的支路增益是与所略去节点有关的支路增益的乘积。信号流图与结构图的对应关系：信号流图的节点对应结构图的信号线，信号流图的支路和支路增益对应结构图的方框。绘制图示结构图的信号流图。解：1.首先在结构图上标出节点.按顺序自左向右排列节点.例2-192.

用支路连接节点，标出支路增益。3.

略去只有一个输入支路和一个输出支路的节点.实际上，只需要在输入量和输出量信号线上、综合点之后、引出点之前的信号线上标出节点Re2e3eC1G4G2G3GH-例2-20-三、信号流图的等效变换规则2：并联支路的简化规则3：混合节点的消除规则1：串联支路的简化规则4：回路的消除n个同方向的并联支路可用一个等效支路代替，等效支路增益等于并联支路增益之和。

n个同方向的串联支路可用一个等效支路代替，等效支路增益等于串联支路增益的乘积。四、梅逊增益公式式中

——从输入至输出的前向通路数

——特征式——余因子式。在信号流图中除去与第k条前向通路相接触的回路后求得的特征式。——所有回路增益之和——所有每两个互不接触回路增益乘积之和

——所有每三个互不接触的回路增益乘积之和

其中

——从输入到输出的第k条前向通路的通路增益梅逊公式给出了一种直接由信号流图或结构图计算系统传递函数的方法。例2-21RC1G3GH1-试用梅逊公式求图示信号流图的传递函数H3-H2-G2G4有3个回路，回路增益：从R到C的前向通路：

试用梅逊公式求图示信号流图的传递函数。解：

有4个回路，回路增益：②①③④两两互不接触回路：三个互不接触回路：

特征式：

例2-22从R到C的前向通路：

4条。各前向通路的余子式：控制系统的结构图如图所示，试用梅逊公式由求传递函数解：

有2条前向通路：例2-23使用梅逊公式时需要注意：梅逊公式只适用于求信号流图的输出节点、混合节点对输入节点的总增益。求一个节点对一个混合节点的总增益不能直接使用梅逊公式。RC1G3GH1-H3-H2-G2G4E求2.6闭环控制系统中几个常用的传递函数概念

一、闭环系统的典型结构二、闭环系统的开环传递函数

断开系统的主反馈通路后，前向通路的传递函数与反馈通路传递函数的乘积，称为闭环系统的开环传递函数。

---输入---干扰---输出---误差2.6闭环控制系统中几个常用的传递函数概念

一、闭环系统的典型结构---输入---干扰---输出---误差三、闭环传递函数

（1）输入信号作用下系统的闭环传递函数定义：当时，与之间的传递函数定义：当时，与之间的传递函数（2）干扰信号作用下系统的闭环传递函数（3）系统总的输出定义系统的误差：

四、闭环系统的误差传递函数

定义：当时，与之间的传递函数（1）作用下系统的误差传递函数定义：当时，与之间的传递函数（3）系统总的误差（2）作用下系统的误差传递函数五、闭环特征方程

四种闭环传递函数表达式具有相同的分母：方程称为闭环控制系统的特征方程（闭环特征方程）。闭环特征方程的根称为闭环特征根，即闭环传递函数的极点。本章小结建立系统的动态数学模型，是对系统进行定性分析和定量估算的基础，也是对系统进行仿真研究的依据。本章主要介绍了连续时间系统的四种数学模型：微分方程、传递函数、结构图、信号流图。建立这些模型的方法是分析法。

微分方程是另外三种数学模型的基础，只有正确分析元部件和系统的工作原理，并且进行合理的简化，才能得到合乎实际需要的微分方程。不同的物理系统，只要具有相同的运动规律，就可以抽象出相同的微分方程，说明这些系统的动态过程具有相同的本质特征。

由于实际系统中的元部件往往不同程度地存在着非线性特性，系统需要由非线性微分方程描述，这就给系统的分析和计算带来很大困难。工程实际中，在系统的工作点附近进行线性化处理的小偏差法是常用的线性化方法之一。

结构图和信号流图是图形化的数学模型，可以清楚地描述系统中各个变量之间的信号传递关系。结构图和信号流图是以传递函数的概念为基础建立起来的，同时又为求解系统输入输出传递函数提供了更为方便的方法，即结构图和信号流图的等效变换方法、梅逊增益公式计算方法。传递函数是用拉氏变换求解微分方程中引伸出来的数学模型，只适用于线性定常系统。传递函数是由系统本身的结构和参数决定的，表征了系统的固有特性。因此，传递函数是经典控制理论中最主要的数学模型，是控制系统分析和校正方法的基础。如何建立线性定常系统的传递函数是本章学习的重点。求控制系统的传递函数方法数学物理原理微积分消元代数消元拉氏变换拉氏变换等效变换梅逊公式等效变换梅逊公式控制系统原理框图元部件微分方程系统输入输出微分方程系统输入输出变换方程系统输入输出传递函数元部件变换方程元部件结构图系统的结构图系统的信号流图第3章控制系统的时域分析3.1

引言时域分析法：直接在时间域中对系统性能进行分析的方法。即在系统输入端施加一个典型输入信号，根据系统的微分方程或传递函数，求出系统的输出，并依据输出来分析系统的性能（稳定性、瞬态性能和稳态性能）。时域分析法特点：（1）是一种直接分析方法，直观、易于理解；（2）比较准确，可以提供输出响应的全部信息；（3）求解高阶系统比较困难。考虑单输入、单输出线性定常系统：取初始时刻t=0，方程两边进行拉氏变换：

其中整理后在用时域分析法研究控制系统时，为了分析和比较系统性能的优劣，通常对系统的初始状态和输入信号作一些典型化处理。

影响系统响应c(t)

的因素：

系统自身的结构与参数加在系统上的输入信号（信号的大小及形式）系统的初始状态（或初始条件）对C(s)进行拉氏反变换：零状态响应零输入响应求得一、典型初始状态

二、典型输入信号规定取零初始状态典型初始状态表明在输入信号作用于系统之前，输出量相对于平衡工作点的增量为零，其各阶导数也为零，系统处于相对静止状态。所谓典型输入信号，是指根据系统经常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。是各种实际输入信号的近似和抽象形式尽可能简单，便于计算和分析在实验中易于产生典型输入信号特点：1.单位阶跃函数

常用的典型输入信号有以下几种：

2.单位斜坡函数

3.单位加速度函数

4.单位脉冲函数

5.正弦函数

三、典型时间响应

初始状态为零的系统，在典型输入信号作用下的输出，称为典型时间响应。

瞬态过程：瞬态过程又称过渡过程或动态过程，是指系统在典型输入信号作用下，系统输出由初始状态到达最终状态的响应过程。

稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现形式。稳态过程只存在于稳定的系统中。典型时间响应由瞬态过程和稳态过程两部分组成：单位阶跃响应单位斜坡响应单位脉冲响应…..描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，瞬态过程随时间t的变化状况的指标，称为瞬态性能指标。四、控制系统的性能指标瞬态性能指标稳态性能指标描述系统稳态控制精度或抗扰动能力的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数和加速度函数作用下进行测定或计算。在系统时间响应过程的不同阶段，有相应的性能指标要求。1.延迟时间

：指响应曲线第一次达到其终值一半所需要的时间。2.上升时间

：指响应曲线从零第一次上升到终值所需要的时间；对于无振荡的系统，也可定义为响应从终值的10%上升到终值的90%所需要的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。3.峰值时间

：指响应超过终值达到第一个峰值所需要的时间。4.调节时间

：指响应达到并保持在终值±5%（或±2%）内所需要的时间。5.超调量：指响应的最大偏离量

与终值h(∞)之差的百分比，即：阶跃响应下的性能指标5.超调量：指响应的最大偏离量

与终值h(∞)之差的百分比，即：瞬态性能指标2.上升时间

：指响应曲线从零第一次上升到终值所需要的时间；对于有振荡的系统，也可定义为响应从终值的10%上升到终值的90%所需要的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。1.延迟时间

：指响应曲线第一次达到其终值一半所需要的时间。

稳态误差

：当时间趋于无穷大时，系统的希望输出量与实际输出量之差。稳态性能指标3.峰值时间

：指响应超过终值达到第一个峰值所需要的时间。4.调节时间

：指响应达到并保持在终值±5%（或±2%）内所需要的时间。一阶系统的结构图闭环传递函数为

R(s)E(s)C(s)-3.2一阶系统的时域分析一、一阶系统的数学模型用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。

其开环传递函数为

一阶系统的主要参数:时间常数

T2T3Th(t)014T63.2%86.5%95%98.2%t二、一阶系统的时间响应1.单位阶跃响应

T1/T初始斜率一阶系统的性能指标一阶系统跟踪阶跃输入信号时无稳态误差，称为无静差系统。稳态性能指标为：

瞬态性能指标为：

延迟时间：

上升时间：

调节时间：

一阶系统的阶跃响应如果按照其初始速度匀速上升,经过T秒可达到响应的稳态值;经过一阶系统阶跃响应曲线上任一点作切线，与直线相交，切点与交点之间的时间间隔(次割距)为T。当时间时,一阶系统的阶跃响应值为稳态值的63.2%;

时间常数T的物理意义:

讨论:的单位阶跃响应及性能2.单位脉冲响应

T2T3T01/T4T0.368/T0.135/T0.05/T0.018/T初始斜率稳态误差3.单位斜坡响应

说明一阶系统跟踪单位斜坡输入信号时，稳态误差为T。

04.单位加速度响应

说明一阶系统无法跟踪加速度输入信号。

5.四种响应的关系

R(s)C1(s)C2(s)输入信号的积分（或微分）作用于线性定常系统后的响应,等于该输入信号作用于系统后的响应的积分（或微分）。

为积分环节或微分环节

例3-1

一阶系统如图所示，试求：（1）当反馈系数时，系统单位阶跃响应的调节时间ts；（2）如果要求ts小于0.1秒，试问系统的反馈系数应如何调整？解：

（1）系统的闭环传递函数为：

根据一阶系统求调节时间的公式，有（2）系统的闭环传递函数为：-C(s)R(s)时间常数：时间常数：已知某元部件的传递函数为：

采用图示方法引入负反馈，将调节时间减至原来的0.1倍，但总放大系数保持不变，试选择KH、K0的值。

KH-C(s)R(s)K0解：

原系统的调节时间为

引入负反馈后，系统的传递函数为：

若将调节时间减至原来的0.1倍，但总放大系数保持不变，则：

解得

例3-23.3二阶系统的时域分析一、二阶系统的数学模型二阶系统的结构图：闭环传递函数为：二阶系统的主要参数：R(s)E(s)C(s)-开环传递函数为：

:自然振荡频率（无阻尼振荡频率）:阻尼比闭环特征方程

闭环特征根为

二、二阶系统的单位阶跃响应1.欠阻尼情况（0<ξ<1）

闭环极点为共轭复数：

图中：

衰减系数：

阻尼振荡频率：

系统闭环极点与原点的连线称为等阻尼线，β反映了阻尼比ξ的大小。h(t)包含稳态分量和瞬态分量，其稳态分量为1，瞬态分量呈现振荡衰减特性。输入信号：

h(t)的包络线为：

包络线在绘制h(t)曲线时，应注意到：

（1）延迟时间：

由方程

,作曲线：或

较大范围内

由曲线拟合出:（3）峰值时间：（2）上升时间：

（6）稳态误差：（5）调节时间：

说明二阶欠阻尼系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。（4）超调量：

为方便，往往采用包络线代替实际响应曲线估算调节时间。

超调量的大小只取决于阻尼比（横坐标为无因次时间）阻尼比ξ

越小，系统的超调量越大，系统的响应振荡越剧烈。阻尼比的大小反映了系统响应的平稳性。ωn越大，振荡越剧烈．故ξ大、

ωn小，响应平稳。

调节时间的计算公式为近似表达式(略保守)工程上把ξ=0.707时的二阶系统称为最佳二阶系统，这时121080.20.40.60.84201.00.680.436调节时间与闭环极点实部数值ξωn成反比。当阻尼比一定时，加大自然振荡频率ωn会减小调节时间。为了减小调节时间，通常取ξ=0.4~0.8。2.无阻尼情况（ξ=0）

无阻尼是欠阻尼的特殊情况

:单位阶跃响应为等幅振荡曲线。3.过阻尼情况（ξ>1）闭环极点为两个负实数极点：设

则

相当于两个惯性环节串联(与一阶系统不同)稳态误差为0，说明系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。

动态指标:(近似为一阶系统)(与欠阻尼拟合方法相同)过阻尼二阶系统的调节时间特性

考虑:，作曲线：由图中曲线看出：4.临界阻尼情况（ξ=1）

闭环极点为重极点：

即

临界阻尼二阶系统单位阶跃响应具有非周期性，没有振荡和超调。该响应曲线不同于典型一阶系统的单位阶跃响应，起始点斜率为零.动态性能指标为：稳态误差为0，说明跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。

5.负阻尼情况（ξ<0）

设二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的传递函数。

解：

根据响应曲线，可知代入传递函数例3-3系统如图所示。要求单位阶跃响应无超调，调节时间不大于1秒，求开环增益K。

R(s)E(s)C(s)-解：

系统的开环传递函数为：

验证：

根据题意，要使调节时间最小应选择ξ=1，有例3-4三、二阶系统的单位脉冲响应

由于单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的导数，对不同阻尼比下的单位阶跃响应表达式求导，可以得到二阶系统的单位脉冲响应。稳态误差为：

四、二阶系统的单位斜坡响应

瞬态分量稳态分量稳态误差为：

稳态误差为：

稳态误差为：

小结闭环传递函数阻尼比ξ阶跃响应曲线特性瞬态指标稳态误差欠阻尼按正弦规律衰减振荡00过阻尼按指数规律单调上升00临界阻尼按指数规律单调上升00问题：仅靠调整参数不能同时改善瞬态和稳态性能。开环传递函数R(s)E(s)C(s)-五、改善二阶系统瞬态性能的措施R(s)E(s)C(s)-欠阻尼系统在单位阶跃信号作用下，系统将产生超调。[0，t1]时间内：e(t)为正，输出c(t)增加，一方面使输出接近希望值，另一方面有可能使系统出现超调，要减小超调，e(t)不能过大。给e(t)加入一个附加的负信号，有利于减小超调；在[t1，t2]时间内：系统出现超调，e(t)为负，有利于减弱c(t)增加的趋势。给e(t)加入一个附加的负信号，有利于减小超调；在[t2，t3]时间内：c(t)已经过最大值，出现下降趋势，e(t)为负，有利于c(t)的下降，同时有可能使c(t)出现反向超调。给e(t)加入一个附加的正信号，有利于减小反向超调。在[t3，t4]时间内：c(t)出现反向超调，e(t)为正，有利于减小c(t)的反向超调。在此时间段内，给e(t)加入一个附加的正信号，有利于减小反向超调。通过以上分析，要减小超调量，可以给e(t)加入一个附加信号，其极性要求为：

[0，t1]：“-”[t1，t2]：“-”[t2，t3]：“+”[t3，t4]：“+”经分析，e(t)的导数

和-c(t)的导数的极性符合要求。因此，减小系统的超调量，改善平稳性的措施可以有以下两种：

输出信号的测速负反馈控制误差信号的比例-微分控制取控制信号为1、比例-微分控制

系统的开环传递函数为：

闭环传递函数为：

阻尼比为：

可见，采用比例-微分控制，增加了系统的等效阻尼比，不改变系统的自然振荡频率和开环增益，但增加了一个闭环零点。

R(s)E(s)C(s)-R(s)E(s)C(s)注意：采用比例-微分控制后，系统为有零点的二阶系统，性能指标计算公式为：

式中：

1）峰值时间

2）超调量

3）调节时间

21dndxwjb--2、测速反馈控制

开环传递函数为：

闭环传递函数为：

阻尼比为：

可见，测速反馈控制增大了系统的等效阻尼比，不改变自然振荡频率，但降低了系统的开环增益。

R(s)E(s)C(s)3、两种措施的比较比例-微分控制测速反馈控制增加了等效阻尼比超调量下降；调节时间减小增加了等效阻尼比超调量下降；调节时间减小不改变自然振荡频率不改变自然振荡频率不改变开环增益不影响常值稳态误差降低了开环增益加大了系统在斜坡信号作用下的稳态误差增加了一个闭环负实零点抗噪声干扰能力较差；可减小上升时间不增加闭环零点抗噪声干扰能力较好；例3-5根据系统传递函数找出单位阶跃响应曲线例3-6图示系统,根据单位阶跃响应曲线判定反馈极性3.4高阶系统的时域分析一、高阶系统的数学模型R(s)E(s)C(s)-静态增益（静态放大倍数）实数或复数闭环零点实数或复数闭环极点二、高阶系统的单位阶跃响应（考虑无重极点的情况）1.若闭环极点si为互不相同的实数静态放大倍数幅值大、衰减慢的分量起主要作用2.若闭环极点中有q个实数极点，r对复数极点(q+2r=n)1.如果高阶系统的所有闭环极点都具有负实部，即所有闭环极点都位于左半s开平面，那么随着时间的增长，响应的瞬态分量趋于零，其稳态输出量h(∞)=A0。（这时称系统是稳定的）2.闭环极点负实部的绝对值越大，其对应的瞬态响应分量衰减得越迅速；反之，则衰减缓慢。结论3.瞬态响应分量衰减快慢也取决于瞬态分量的系数。系数是由相应的闭环零极点之间的距离决定的。三、高阶系统的近似分析高阶系统的分析方法：使用计算机，应用数值分析法求解微分方程（MATLAB仿真工具）近似分析（利用主导极点、偶极子的概念）使用高阶系统性能指标的估算公式闭环主导极点和偶极子稳定的高阶系统所有的闭环极点中，如果距离虚轴最近的极点到虚轴的距离小于其它极点到虚轴距离的1/5，且周围没有闭环零点，这样的闭环极点就称为主导极点。闭环主导极点可以是实数极点，也可以是复数极点。闭环主导极点所对应的响应分量，在系统的时间响应过程中起主导作用。闭环主导极点以外的其他闭环极点对系统的时间响应过程影响甚微，因而统称为非主导极点。一对闭环零、极点之间的距离小于它们到虚轴的距离的1/10,则这样的一对闭环零、极点称为偶极子。该闭环极点所对应的响应分量系数很小，对系统的时间响应过程影响甚微，在分析高阶系统的性能时，可以忽略偶极子的影响。当主导极点为一个实数极点时，系统可近似为一阶系统；当主导极点为一对共轭复数极点时，系统可近似为二阶欠阻尼系统；这时，高阶系统可近似按照一、二阶系统估算性能指标。

求下列传递函数的主导极点，并写出简化的传递函数。

控制系统的传递函数为：若采用闭环主导极点和偶极子概念简化系统的传递函数，应选择以下哪个答案？例

３－7例３－8求下列闭环系统的单位阶跃响应。解：方法1

运用闭环主导极点的概念对系统数学模型进行简化。3个闭环极点为：为主导极点。系统可近似为单位阶跃响应为：方法2忽略与非主导极点对应的瞬态分量，可得方法1更简单方法2更准确例３－9四、高阶系统瞬态性能估算即

设高阶系统具有一对共轭复数主导极点

，在单位阶跃响应表达式中忽略与闭环非主导极点和偶极子对应的瞬态分量，则输出量的拉氏变换近似式为1.峰值时间

闭环零点的作用为减小峰值时间，使系统响应速度加快，并且闭环零点越接近虚轴，这种作用便越显著。

闭环非主导极点的作用为增大峰值时间，使系统响应速度变慢。若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响相互削弱。2.超调量

若闭环零点距虚轴较近，将使超调量增大，表明闭环零点会减小系统阻尼。

若闭环非主导极点距虚轴较近，将使超调量减小，表明闭环非主导极点可以增大系统阻尼。3.调节时间

若闭环零点距虚轴较近，将使调节时间增大。

若闭环非主导极点距虚轴较近，将使调节时间减小。闭环零点对系统动态性能总的影响是减小峰值时间，增大系统的超调量和调节时间，这种作用将随闭环零点接近虚轴而加剧。闭环非主导极点对系统动态性能总的影响是增大峰值时间，减小系统的超调量和调节时间。

结论：3.5线性定常系统的稳定性分析

一、稳定性的基本概念如果系统仍能逐渐恢复到原平衡状态，则称系统是渐近稳定的，或简称系统是稳定的；如果系统围绕平衡点作等幅震荡，或偏离平衡点的距离趋于某一非零值，则称系统是临界稳定的；如果系统偏离平衡点越来越远，则系统是不稳定的。稳定不稳定临界稳定一个线性定常系统工作在某平衡状态，在受到有界扰动后，偏离了平衡状态，而当扰动消失后大范围稳定：系统受到扰动后，不论初始偏差多大，系统都是稳定的，称为大范围稳定（全局稳定）的系统。小范围稳定：当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才是稳定的，称为小范围稳定（局部稳定）的系统。若线性系统是稳定的，则一定是大范围稳定的。

稳定性是控制系统的重要性能，也是系统能够正常工作的首要条件。二、线性系统稳定的数学条件（充要条件）思路：设线性系统的初始条件为零，作用一个理想单位脉冲δ(t)，这时系统的输出响应为单位脉冲响应c(t)。这就相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。若t→∞时，有c(t)→0，则系统是稳定的。

设线性定常系统的传递函数为：输入信号：输出响应：若系统的特征根中有一个或一个以上正实部根，则t→∞时，c(t)→∞，系统是不稳定的；线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。

分析c(t)→0的条件：若系统特征根中有一个或一个以上零实部根，而其余的特征根均具有负实部，则t→∞时，c(t)趋于常数或趋于等幅正弦振荡，系统是临界稳定的，属不稳定系统；

当且仅当系统特征根全部具有负实部，才有t→∞时，c(t)→0，即系统是稳定的。三、稳定性的代数判据根据上面介绍的充要条件判稳，需要知道系统全部特征根，对于高阶系统，求特征根是困难的。问题：代数判据是直接根据闭环特征方程的系数判断系统的稳定性，避免了求解闭环特征根的困难。1.劳斯稳定判据设线性系统的特征方程为：根据特征方程式的系数，可建立劳斯表如下：

若劳斯表中第一列系数全部为正，则所有闭环极点均位于左半s平面，系统稳定；若劳斯表第一列系数有负数或零，则系统是不稳定的，说明有闭环极点位于右半s平面或虚轴上；位于右半s平面的闭环极点数正好等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。

设线性系统特征方程式为：

试判断系统的稳定性。

解：

建立劳斯表：

劳斯表中第一列系数符号改变2次，系统是不稳定的，且有2个正实部根。

例3-10劳斯判据中的两种特殊情况：特殊情况1劳斯表任一行第一列系数为零，该行其余系数不全为零。

劳斯表某行第一列系数为零，则劳斯表无法计算下去，这时可以断定系统不稳定，但是无法判断系统在右半s平面的极点个数。处理方法：可以用无穷小的正数ε代替0，接着进行计算，劳斯判据结论不变。

方法1用一个因子乘原特征方程（其中为任意正数），得到新的方程，再重新列劳斯表。

方法2用1/s代替原特征方程中的s，得到新的方程，再重新列劳斯表。

方法3设线性系统特征方程式为：

试判断系统的稳定性。

解：

建立劳斯表：

例3-11(1)由于劳斯表中第一列系数出现零，系统是不稳定的。(2)符号改变2次，有2个正实部根。

方法1设线性系统特征方程式为：

试判断系统的稳定性。

解：

因方程中缺项，其劳斯表为：

例3-12(1)劳斯表中第一列系数出现零，系统是不稳定的。(2)符号改变2次，有2个正实部根。

由方法2，用(s+1)乘方程两边：

对上面的例子，使用方法3：用1/s代替原特征方程中的s，有:(1)劳斯表中第一列系数出现零，系统是不稳定的。(2)符号改变2次，有2个正实部根。

系统中存在对称于原点的根，即：1）绝对值相等、符号相反的实数根；2）共轭虚根；3）对称于原点的两对共轭复根。特殊情况2

劳斯表中出现某行系数全为零

原因：1）用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程式F(s)=0；2）全零行的系数则由辅助多项式F(s)对s求导后所得的多项式系数来代替，劳斯表可以继续计算下去，由第一列系数变符号次数可判断位于右半s开平面的根的个数；3）对称于原点的根可由辅助方程求得。处理方法：设线性系统特征方程式为：

试判断系统的稳定性。

解：

建立劳斯表并计算：

例3-13出现全零行

结论：系统是不稳定的。劳斯表第一列不变号，说明没有正实部根，由辅助方程式可以求得系统对称于原点的根:

利用长除法，可以求出特征方程其余的根：设线性系统特征方程式为：

试判断系统的稳定性。

解：

建立劳斯表：

系统是不稳定的。由劳斯表第一列可知，有1个正实根。解出4个根：用长除法解出另外2个根：利用辅助方程：例3-14关于劳斯判据的几点说明在使用劳斯判据时，只要遇到上述两种特殊情况，系统一定是不稳定的。辅助方程在s右半平面的根的个数已包含在劳斯表第一列元素符号变化的次数之中。劳斯表某一行元素同时乘以一个大于零的数，不影响判稳结果。设线性系统的特征方程为：

线性系统稳定的充分必要条件是：由系统特征方程系数所构成的Hurwitz行列式Δn及其各阶顺序主子式Δi(i=1,2…,n-1)全部为正。其中：

2.赫尔维茨（Hurwitz）判据设线性系统特征方程式为：

试判断系统的稳定性。

解：

不满足赫尔维茨稳定判据，系统不稳定。

例3-15设线性系统的特征方程为：

线性系统稳定的充分必要条件是：1）方程式所有系数为正；2）所有奇数阶或偶数阶Hurwitz行列式为正，即：Δ奇>0或Δ偶>0。3.林纳德-奇帕特（Lienard-Chipard）判据

设线性系统的开环传递函数为：

试判断系统稳定时K,T应满足的条件。

解：

系统特征方程式为1+G(s)H(s)=0，即根据李纳德-奇帕特判据，要求K>0,T>0，且Δ偶>0。

系统稳定时，要求：

例3-161）利用稳定判据，判断系统的稳定性。2）利用稳定判据，判断系统稳定时，参数的取值范围。

4.代数稳定判据的应用例3-17设单位负反馈系统，开环传递函数为求系统临界稳定时的开环增益,并计算临界开环增益的极小值。解

系统的特征方程式为建立劳斯表系统临界稳定时，有令系统临界开环增益的极小值包含在开环传递函数中的多个惯性环节时间常数相互接近，则系统临界开环增益较小若要提高系统的临界开环增益，设计时应设法将包含在开环传递函数中的多个惯性环节的时间常数相互错开。

设单位负反馈系统，开环传递函数为：

试确定系统稳定时K的取值范围。

解：

系统的特征方程式为：

建立劳斯表：

系统稳定时，要求求得参数稳定范围：0<K<8例3-183）利用稳定判据，求系统具有一定稳定裕度时，参数的取值范围。

系统稳定时，要求所有闭环极点在s平面的左边，闭环极点离虚轴越远，系统稳定性越好，闭环极点离开虚轴的距离，可以衡量系统的稳定裕度。

设单位负反馈系统，开环传递函数为：

若要求闭环极点在s=-1左边，试确定K的取值范围。解：

系统的特征方程式为：

令s=s1-1

例3-19在系统的特征方程D(s)=0中，令s=s1-a，得到D(s1)=0，利用稳定判据，若D(s1)=0的所有解都在s1平面左边，则原系统的特征根在s=-a左边。所以，当0.25<K<2

时，闭环极点在s=-1左边。整理后：

建立劳斯表：

要使劳斯表第1列为正，应有：

3.6线性系统的稳态误差计算

R(s)E(s)C(s)-B(s)对于图示一般线性控制系统，若按输入端定义：e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s)若按输出端定义：E(s)=R(s)/H(s)-C(s)稳态误差是指误差信号的稳态值，即：对于单位负反馈系统，两种定义方法是一致的。在系统分析和设计中，一般采用按输入端定义误差。一：误差与稳态误差若系统的误差传递函数为Φe(s)，则E(s)=Φe(s)R(s)，若E(s)满足拉氏变换终值定理的条件（要求系统稳定，且R(s)的所有极点在左半s开区间），可以利用终值定理来求稳态误差，即例3-20

设单位负反馈系统的开环传递函数为：求r(t)=1(t),r(t)=t,r(t)=t2/2以及r(t)=sinωt时系统的稳态误差。

解：

误差传递函数为：

系统是稳定的。

若输入信号为正弦信号，则不能应用拉氏变换终值定理。

稳态误差为：

二：系统类型

设控制系统的开环传递函数为：

其中K称为系统的开环增益。υ=0，系统称为0型系统，υ=1，系统称为1型系统，υ=2，系统称为2型系