自动控制-04f系统性能的分析

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系统性能的分析在经典控制理论中，控制系统设计的重要评价取决于系统的单位阶跃响应。运用根轨迹法，可以迅速确定系统在某一开环增益或某一参数值下的闭环零、极点位置，从而得到相应的闭环传递函数。此时，可以采用拉氏反变换求解系统的单位阶跃响应，进一步求得系统的各项性能指标。系统的动态性能最终体现在时间响应上，影响时间响应的因素有两个：闭环传递函数和输入函数。在第三章中已经得知，时间响应的暂态分量主要取决于闭环零、极点，时间响应的稳态分量主要取决于输入函数。1、闭环零极点与时间响应如前所说，闭环系统的稳定性完全取决于闭环极点，实际上时间响应的暂态分量也主要取决于闭环极点。每一个闭环极点si对应时间响应中的一个因子sit——称为系统的一个模态（Mode），si在S平面上的位置决定了它对应的暂态分量的运动形式。图4-20表示了si分布于S平面上不同位置所对应的暂态分量，其规律可以总结为：

1)左右分布决定终值。具体讲就是：si位于虚轴左边时暂态分量最终衰减到零，si

位于虚轴右边时暂态分量一定发散，si正好位于虚轴（除原点）时暂态分量为等幅振荡。

2)虚实分布决定振型。具体讲就是：si位于实轴上时暂态分量为非周期运动，si位于虚轴上时暂态分量为周期运动。

3)远近分布决定快慢。具体讲就是：si位于虚轴左边时离虚轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点主宰系统响应的时间最长，被称为主导极点。图4-20闭环极点分布与暂态分量的运动形式σj——闭环极点位置的共轭———设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根据上述规律，一般首先配置主导极点，然后配置非主导极点，非主导极点与虚轴的距离应当是主导极点与虚轴距离的2～5倍，这样系统的时间响应就主要取决于一对主导极点。主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于如图4-21虚轴左边60°扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：

1）闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态性能与一个二阶欠阻尼系统相似，二阶系统的动态性能是分析得最透彻的，欠阻尼系统则具有较快的反应速度。图4-21

3）离虚轴一定的距离保证了足够的稳定裕度。稳定裕度太小，在实际应用时可能导致系统不稳定，因为数学模型的参数不会绝对准确——也就是说实际的主导极点位置与理论分析的位置有偏差。但也不是越远越好，因为系统总存在建模误差，离虚轴很远的极点对应很小的时间常数，如果主导极点与建模时忽略的小时间常数相当，那么主导极点就不主导，设计的根基就动摇了。

2）阻尼系数太大太小都不合适，60°扇形区意味着阻尼系数不小于cos60°=0.5，一般认为最佳阻尼系数是0.707。这里提出了一个重要的设计理念：鲁棒性设计。理论分析与工程实际总是有差距的，不注意这种差距，有时会闹出笑话。一个控制系统的设计，需要充分考虑工程实际中的非理想因素，比如：建模误差、参数不准、外部干扰等。建立系统数学模型时，总要忽略一些非线性、小时间常数等因素，这叫建模误差；建立数学模型时，对实际系统参数的测量或估计不可能百分之百的准确，而且运行中系统参数也会变化，这说明参数不准是普遍存在的；来自外部环境的干扰更是五花八门、难以统计，未建模的干扰会使运动偏离理论轨迹。所以，要使理论上设计的系统能够真正用于实际，必须保证在上述非理想因素下设计目标仍然能达到或基本达到，这样的控制系统称为具有鲁棒性的系统。

现在再来看系统的闭环零点，应该说闭环零点对系统的稳定性没有影响，对系统的时间响应没有实质影响，但对时间响应的具体形状是有影响的。考虑下面三个闭环传递函数：它们有完全相同的闭环极点，但闭环零点不同，它们的阶跃响应分别如图4-22（a），（b），（c）所示。图（a）（b）都是最小相位系统，但图（b）代表的系统多了一个左半平面的零点，它加快了响应速度（有利），也加大了超调量（不利）；图（c）代表的是一个非最小相位系统，右半平面零点导致了特殊的反调节现象，这对系统的动态性能是不利的，水轮机调速系统就存在这种现象。（a）（b）（c）图4-22

闭环零点对时间响应的影响

1、开环偶极子对离它们较远的根轨迹形状及根轨迹增益K*没有影响。原因是从偶极子至根轨迹远处某点的向量基本相等，它们的模值条件及相角条件中可以互相抵消。

2、若开环偶极子位于平面原点附近，则由于闭环主导极点离坐标原点较远，故它们对系统主导极点的位置及增益K*均无影响。但是，开环偶极子将显著影响系统的稳态误差系数，从而在很大程度上影响系统的静态性能，其原因如下：

*偶极子的影响

开环偶极子是指一对距离很近的开环零、极点，它们之间距离比它们的模值小一个数量级左右。当系统增加一对开环偶极子时，其效应有：设系统开环传递函数用时间常数表示的通式为

该传递函数若写成零、极点的表达式，则

式中，为系统的阶数；K为系统的开环增益，又称开环放大倍数,与系统的误差系数Kp、Kv及Ka有着密切的关系,K*为系统的根轨迹增益，比较上述两式，不难看出

如果系统在原来零、极点的基础上增加一对实数开环偶极子，则按上式求得增加开环偶极子后系统的传递系数为

式中为偶极子的零、极点；为原系统的传递函数例如选有上式表明，加入偶极子后，系统的传递系数提高了10倍，显然对提高静态性能大有好处。例

已知某系统的开环传递函数为

若给此系统增加一个开环极点p=－2，或增加一个开环极点z=－2。试分别讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。

解

依据根轨迹的法则，制出的根轨迹如图4-18图a为原系统的根轨迹图b为增加极点后的根轨迹图C为增加零点后的根轨迹。

可见，增加极点后根轨迹及其分离点都向右移；增加零点后使根轨迹及其分离点都向左偏移。

图4-18增加零点或极点的效应增加零点后的轨迹原系统根轨迹增加极点后的轨迹2、系统性能的分析

本节将重点说明闭环极点、零点分布与稳态性能指标的关系，即找出误差系数与闭环传递函数的关系；误差系数与开环放大倍数的关系；开环放大倍数与闭环极点、零点的关系；进而说明稳态性能与闭环极点、零点的关系。

设单位负反馈控制系统的开环传递函数为，则系统的闭环传递函数为

误差闭环传递函数为

则误差系数与闭环传递函数的关系为

而我们已知稳态误差的计算公式为

0型系统在阶跃信号作用下的稳态误差为

则

Ⅰ型系统在斜坡函数作用下，Ⅱ型系统在加速度函数作用下其稳态误差

则

由上我们可推导出

例1某单位负反馈二阶系统的闭环传递函数为

试根据系统的闭环极点、零点求开环放大倍数。

解

当时，系统有两个闭环极点（无有限零点）

根据得

则，当时

根据

可得