第1章 矢量分析upan

序论

一、电磁场理论的主要研究领域二、电磁场理论发展简史三、电磁场理论的主要研究对象四、学习的目的、方法及其要求作为理论物理学的一个重要研究分支，主要致力于统一场理论和微观量子电动力学的研究。电磁

场的

主要

研究

领域

作为无线电技术的理论基础，集中于三大类应用问题的研究。一、电磁场理论的主要研究领域三大类应用问题：♥

电磁场（或电磁波）作为能量的一种形式，是当今世界最重要的能源，其研究领域涉及电磁能量的产生、储存、变换、传输和综合利用。♥电磁波作为信息传输的载体，成为当今人类社会发布和获取信息的主要手段，主要研究领域为信息的产生、获取、交换、传输、储存、处理、再现和综合利用。♥电磁波作为探测未知世界的一种重要手段，主要研究领域为电磁波与目标的相互作用特性、目标特征的获取与重建、探测新技术等。

二、电磁场理论发展简史

1．电磁场理论的早期研究

电、磁现象是大自然最重要的现象，也最早被科学家们关心和研究的物理现象，其中贡献最大的有来顿、富兰克林、伏打等科学家。

19世纪以前，电、磁现象作为两个独立的物理现象，没有发现电与磁的联系。但是由于这些研究（特别是伏打1799年发明了电池），为电磁学理论的建立奠定了基础。伏打2．电磁场理论的建立18世纪末期，德国哲学家谢林认为，宇宙是有活力的，而不是僵死的。他认为电就是宇宙的活力，是宇宙的灵魂；电、磁、光、热是相互联系的。奥斯特是谢林的信徒，他从1807年开始研究电磁之间的关系。1820年，他发现电流以力作用于磁针。

安培发现作用力的方向和电流的方向以及磁针到通过电流的导线的垂直线方向相互垂直，并定量建立了若干数学公式。法拉第在谢林的影响下，相信电、磁、光、热是相互联系的。奥斯特1820年发现电流以力作用于磁针后，法拉第敏锐地意识到，电可以对磁产生作用，磁也一定能够对电产生影响。1821年他开始探索磁生电的实验。1831年他发现，当磁捧插入导体线圈时；导线圈中就产生电流。这表明，电与磁之间存在着密切的联系。

麦克斯韦深入研究并探讨了电与磁之间发生作用的问题，发展了场的概念。在法拉第实验的基础上，总结了宏观电磁现象的规律，引进位移电流的概念。这个概念的核心思想是：变化着的电场能产生磁场；与变化着的磁场产生电场相对应。在此基础上提出了一套偏微分方程来表达电磁现象的基本规律，称为麦克斯韦方程组，是经典电磁学的基本方程。3．电磁场理论的应用和发展

1887年，德国科学家赫兹用火花隙激励一个环状天线，用另一个带隙的环状天线接收，证实了麦克斯韦关于电磁波存在的预言，这一重要的实验导致了后来无线电报的发明。从此开始了电磁场理论应用与发展时代，并且发展成为当代最引人注目的学科之一。赫兹发现电磁波的实验早在1862年，年仅31岁的英国物理学家麦克斯韦就从理论上科学地预言了电磁波的存在，但是他本人并没有能够用实验证实。一些对电磁波理论持反对态度的人不断发难：“谁见过电磁波？它是什么样子？拿出来看看！”第一个证明电磁波存在的是德国物理学家赫兹。1888年2月，他用自己设计的仪器完成了这一轰动科技界的实验。

1886年，29岁的赫兹在做放电实验时，偶然发现身边的一个线圈两端发出电火花，原来是一个个小火花在迅速地来回跳跃。他想到，这可能与电磁波有关。后来，他制作了一个十分简单而又非常有效的电磁波探测器──谐振环，就是把一根粗铜丝弯成环状，环的两端各连一个金属小球，球间距离可以调整。最初，赫兹把谐振环放在放电的莱顿瓶（一种早期的电容器）附近，反复调整谐振环的位置和小球的间距，终于在两个小球间闪出电火花。赫兹认为，这种电火花是莱顿瓶放电时发射出的电磁波，被谐振环接收后而产生的。后来，赫兹又用谐振环接收其他装置产生的电磁波，谐振环中也发出了电火花。所以，谐振环就好像收音机一样，它是电磁波的接收器。就这样，人们怀疑并期待已久的电磁波终于被实验证明了。

1888年2月13日，赫兹在柏林科学院，将他的实验结果公布于世。使整个科技界为之震动。赫兹实验不仅证明了电磁波的存在，同时也导致了无线电通信的产生，开辟了电子技术的新纪元。赫兹在1894年元旦去世，终年不到37岁。但是，赫兹对人类的贡献是不朽的，人们为了永远纪念他，就把频率的单位定为“赫兹”。有线电话

1876年,美国A.G.贝尔在美国建国100周年博览会上展示了他所发明的有线电话。此后,有线电话便迅速普及开来。无线电报

1895年，意大利马可尼成功地进行了2.5公里距离的无线电报传送实验。1896年，波波夫进行了约250米距离的类似试验,1899年,无线电报跨越英吉利海峡的试验成功；1901年，跨越大西洋的3200公里距离的试验成功。马可尼以其在无线电报等领域的成就，获得了1909年的诺贝尔奖金物理学奖。无线电报的发明，开始了利用电磁波时期。广播

1906年，美国费森登用50千赫频率发电机作发射机，用微音器接入天线实现调制，使大西洋航船上的报务员听到了他从波士顿播出的音乐。1919年，第一个定时播发语言和音乐的无线电广播电台在英国建成。次年，在美国的匹兹堡城又建成一座无线电广播电台。电视

1884年，德国尼普科夫提出机械扫描电视的设想，兹沃霄金在1923和1924年相继发明了摄像管和显像管。1927年，英国贝尔德成功地用电话线路把图像从伦敦传至大西洋中的船上。1931年，他组装成世界上第一个全电子电视系统。雷达（RadioDetectionandRanging）二次世界大战前夕，飞机成为主要进攻武器。英、美、德、法等国竞相研制一类能够早期警戒飞机的装置。1936年，英国的瓦特设计的警戒雷达最先投入了运行。有效地警戒了来自德国的轰炸机。1938年，美国研制成第一部能指挥火炮射击的火炮控制雷达。1940年，多腔磁控管的发明，微波雷达的研制成为可能。1944年，能够自动跟踪飞机的雷达研制成功。1945年，能消除背景干扰显示运动目标的显示技术的发明,使雷达更加完善。在整个第二次世界大战期间,雷达成了电磁场理论最活跃的部分。卫星通信技术

1958年,美国发射低轨的“斯科尔”卫星成功,这是第一颗用于通信的试验卫星。1964年,借助定点同步通信卫星首次实现了美、欧、非三大洲的通信和电视转播。1965年,第一颗商用定点同步卫星投入运行。1969年,大西洋、太平洋和印度洋上空均已有定点同步通信卫星,卫星地球站已遍布世界各国，这些卫星地球站又和本国或本地区的通信网接通。卫星通信经历10年的发展，终趋于成熟。卫星定位技术

1957年卫星发射成功后，人们试图将雷达引入卫星，实现以卫星为基地对地球表面及近地空间目标的定位和导航。1958年底，美国开始研究实施这一计划，于1964年研究成功子午仪卫星导航系统。1973年美国提出了由24颗卫星组成的实用系统新方案，即GPS计划。它是英文NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem的字头缩写NAVSTAR/GPS的简称，其含义是利用导航卫星进行测时和测距。1990年最终的GPS方案是由21颗工作卫星和3颗在轨备用卫星组成。超导技术:是研究物质在超导状态下的性质、功能以及超导材料、超导器件的研制、开发和应用的技术。某些物质在温度降低到一定值时电阻会完全消失，这种现象称为超导电性。具有超导电性的物质称为超导材料或超导体。超导材料包括金属低温超导材料、陶瓷高温超导材料和有机超导材料等。超导技术的应用可分成三类：一、用超导材料作成磁性极强的超导磁铁，用于核聚变研究和制造大容量储能装置、高速加速器、超导发电机和超导列车，以解决人类的能源和交通问题；二、用超导材料薄片制作约瑟夫逊器件，用于制造高速电子计算机和灵敏度极高的电磁探测设备；三、用超导体产生的磁场来研究生物体内的结构及用于对人的各种复杂疾病的治疗。超导核磁共振层析成像仪

超导计算机

超导磁悬浮列车

光纤：即为光导纤维的简称。光纤通信是以光波作为信息载体,以光纤作为传输媒介的一种通信方式。从原理上看,构成光纤通信的基本物质要素是光纤、光源和光检测器。

电子对抗技术包括电子对抗侦察技术、电子干扰技术、电子防御技术和反辐射摧毁技术等。按其运用领域，也可分为雷达对抗技术、通信对抗技术和光电对抗技术等。电子对抗侦察技术包括对敌方电磁辐射信号的截获、测量、信号处理、识别、威胁判断，以及对辐射源测向、定位等技术。电子干扰技术包括有源干扰技术和无源干扰技术。电子防御技术包括各种反电子侦察、反电子干扰和抗反辐射摧毁等技术。反辐射摧毁技术包括对辐射源精确定位技术和导引技术等。

三、学习的目的、方法及其要求

掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律掌握宏观电磁场问题的基本求解方法了解宏观电磁场的主要应用领域及其原理第一章矢量分析本章内容1.1

矢量代数1.2矢量场的通量与散度1.3矢量场的环流与旋度1.4无旋场与无散场1.5拉普拉斯算子1.6标量场的梯度1.7三种常用的正交曲线坐标系1.8亥姆霍兹定理1.标量和矢量标量：一个只用大小描述的物理量。如：数字、温度等。1.1矢量代数矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。如：电场强度E、磁场强度H、速度V等。

矢量的几何表示用坐标分量表示矢量：zxy3个坐标轴的投影：3个坐标轴的单位向量：矢量的大小或模：矢量的单位矢量：矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示

常矢量：大小和方向均不变的矢量。如：重力。

zxy矢量的几何表示（1）矢量的加减法

两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法矢量的减法

在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律交换律①标量乘矢量②矢量的标量积（点乘）q矢量与的夹角——矢量的标积符合交换律（2）矢量的乘法运算③矢量的矢量积（叉乘）qsinABq矢量与的叉积用坐标分量表示为写成行列式形式为若，则若，则④矢量的混合运算——

分配律——

分配律——

标量三重积——

矢量三重积公式右边为“BAC-CAB”,故称为“Back-Cab”法则,以便记忆。1.1.2标量场和矢量场

如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换句话说，在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。例如:在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。场的一个重要的属性：是它占有一定空间，而且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。若该物理量与时间无关，则该场称为静态场；若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。

在研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描述，这些代数变量(即标量函数)所确定的场称为标量场，如温度场T(x,y,z)、电位场φ(x,y,z)等。然而在许多物理系统中，其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述，因此称为矢量场，例如电场、磁场、流速场等等。1.2矢量场的通量与散度

1.矢量线

意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程：概念：对于矢量场A，用一些有向矢量线来形象表示矢量A在空间的分布，称为矢量线。矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。图矢量场的矢量线例：求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。解：矢量线应满足的微分方程为从而有解之即得矢量方程c1和c2是积分常数。§1.2通量与散度,散度定理

在描绘矢量场的特性时,矢量场穿过一个曲面的通量是一个很有用的概念。

通量：所谓通量就是一个矢量场乘以这个矢量场通过的面积。在矢量分析中,将曲面的一个面元用矢量

来表示,其方向取为面元的法线方向,其大小为ds,即

是面元的法线方向单位矢量。(1)开曲面上的面元:右手螺旋法则。(2)封闭曲面上的面元:封闭面的外法线方向。面积元矢量那么矢量A穿过面元的通量为：

将曲面S各面元上的各相加,它表示

穿过整个曲面S的通量,也称为在曲面S上的面积分:如果S是一个封闭面,则可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:(标量)物理上的场(无论是矢量场，还是标量场）都是相应的源作用的结果。矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果肯定与闭合曲面内有无产生矢量场的源直接相关。使闭合曲面通量不为零的激励源为通量源。矢量场对闭合曲面的通量与闭合曲面内的通量源之间存在某种确定的关系。

表示通过闭合曲面有净的矢量线流出表示有净的矢量线流入表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面

闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系1.2.2散度定义：如果闭合面dS所围区域V无限的缩小,当缩小为一点时,A的通量与体积V之比的极限存在，称为矢量A在这点的散度（divergence），记为divA:矢量A的散度是标量,它是A通过某点处单位体积的通量(即通量体密度)。它反映A在该点的通量源强度。总结：

哈密顿(W.R.Hamilton)引入倒三角算符(读作“del(德尔)”或“nabla(纳不拉)”)表示下述矢量形式的微分算子:它兼有双重作用：1、矢量：有3个坐标轴的矢量；

2、微分运算,分别对x、y、z求偏导。

A的散度可表示为算子与矢量A的标量积,即利用哈密顿算子,读者可以证明,散度运算符合下列规则:则：点乘散度的有关公式：4.散度定理体积的剖分VS1S2en2en1S

从散度的定义出发，可以得到矢量场A在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即

散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。上式也称为矢量场的Gauss定理。oxy在直角坐标系中计算zzDxDyDP例：一个正电荷，求通过一个闭合面的通量。

例1-8在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为:求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量(见图1-4)。图1-4例1-8图解：由于球面的法线方向与D的方向一致，所以例1-10

球面S上任意点的位置矢量为

，求解：根据散度定理知而r的散度为所以§1.3环量与旋度,斯托克斯定理1.3.1环量

矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为环量表示绕线旋转趋势的大小。如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。环量的计算1.3.2旋度的定义和运算为反映给定点附近的环量情况,我们把封闭曲线收小,使它包围的面积ΔS趋近于零,取极限

这个极限的意义就是环量的面密度,或称环量强度。由于面元是有方向的,它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系,因此在给定点处,上述极限值对于不同的面元是不同的。为此,引入如下定义,称为旋度(rotation):△S

矢量A的旋度是一个矢量,其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度,其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,该面元矢量的方向。它描述A在该点处的旋涡源强度。若某区域中各点rotA=0,称A为无旋场或保守场。

计算▽×A时,先按矢量积规则展开,然后再作微分运算,得

在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或旋涡场)，J称为旋度源(或涡旋源)；

若矢量场处处A=0，称之为无旋场。1.4.3斯托克斯定理

因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和，即

此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。曲面的剖分方向相反大小相等结果抵消

例1-11

求矢量A=-yex+xey+cez(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2,z=0的环量(见图1-6)。图1-6例1-11图解：由于在曲线l上z=0，所以dz=0。矢量A=-yex+xey+cez

例1-12

求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。

在点M(1，0，1)处的旋度：解：矢量场A的旋度n方向的单位矢量在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度

例1-13

在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度▽×E。解：这说明点电荷产生的电场是无旋场。标量场的等值面

等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。标量场的等值线(面)1.3标量场的梯度

设M0是标量场φ=φ(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l,在l上M0的邻近取一点M，MM0=ρ，如图1-2所示。若当M趋于M0时(即ρ趋于零时)，的极限存在，则称此极限为函数φ(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为M0M方向导数的概念

2.方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。

若函数φ=φ(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，cosα、cosβ、cosγ为l方向的方向余弦，则函数φ在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为：

证明：M点的坐标为M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)，由于函数φ在M0处可微，故zxy矢量的几何表示两边除以ρ，可得当ρ趋于零时对上式取极限，可得

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向减小；

——

u(M)沿方向无变化。

M0M方向导数的概念

特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。

例1-3

求数量场在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解：l方向的方向余弦为而数量场在l方向的方向导数为在点M处沿l方向的方向导数问题：在什么方向上方向导数变化率最大、其最大的变化率为多少？标量场的等值线(面)▽φ的模就是φ在给定点的最大方向导数,而其方向就是该具有最大方向导数的方向,亦即φ的变化率最大的方向。2、梯度（矢量）我们定义标量场φ(x,y,z)在P(x,y,z)点处的梯度(gradient)为

标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）

例1-4

设标量函数r是动点M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即，证明：证：因为所以例1-5

求r在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解：由例1-4知r的梯度为点M处的坐标为x=1,y=0,z=1,

所以r在M点处的梯度为r在M点沿l方向的方向导数为而所以

例1-6

已知位于原点处的点电荷q在点M(x,y,z)处产生的电位为，其中矢径r为r=xex+yey+zey，且已知电场强度与电位的关系是E=-▽φ，求电场强度E。解：根据▽f(u)=f′(u)·u的运算法则，

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。

三种常用的正交曲线坐标系

在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。

三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。1.直角坐标系

位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量

点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz

直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx2.圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系（半平面）（圆柱面）（平面）圆柱坐标系哈密顿微分算子▽的表示式为:3.球坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系（半平面）（