第11章 弯曲应力

第11章弯曲应力§11-1平面弯曲的概念及实例弯曲：举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这种形式的变形我们就称为弯曲变形。

再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的情况。2、定义：当通过杆件轴线的纵向平面内作用一对等值、反向的力偶时，杆件的轴线由原来的直线变为曲线，这种形式的变形就称为弯曲。3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁工程实例工程实例工程实例工程实例5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。FqFAFB纵向对称面4、平面弯曲（对称弯曲）一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲变形，简称为平面弯曲。目录§11-2弯曲正应力纯弯曲横力弯曲FSxFFxMFaFalaF①横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；1、梁的纯弯曲实验纵向对称面bdacabcdMM②纵向线变为曲线，且上缩下伸；③横向线与纵向线变形后仍正交。④横截面高度不变。11-2-1实验现象的观察与分析2.平面假设：梁在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，并仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一个角度，这就是弯曲变形的平面假设。对上面的实验结果进行判断和推理，我们就可以得出如下的结论：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。3.单向受力假设：平面假设

梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴转动。中性轴根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为中性层。中性层中性轴中性层与横截面的交线就是中性轴。中性层中性轴Me

Me

11-2-2正应力公式的推导（一）几何方面表面变形情况纵线弯成弧线，靠近顶面的纵线缩短，而靠近底面的纵线则伸长；横线仍为直线，并与变形后的纵线保持正交，只是横线间相对转动。mabmanbnMe

Me

mmnnaabbr——中性层的曲率半径CABryO1O2B1dq}dxMe

Me

mmnnaabb（二）物理方面——单轴应力状态下的胡克定律不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状态。当s<sp，且拉、压弹性模量相同时，有即直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。zOyzdAsdAyx（三）静力关系：从式

可知：我们虽然知道了正应力的分布规律，但因曲率半径

和中性轴的位置尚未确定，所以仍不能求出正应力，因此我们还有必要考虑静力平衡关系。如图所示：横截面上的微内力可组成一个与横截面垂直的空间平行力系，这样的平行力系可简化成三个内力的分量：N——平行于x轴的轴力N

MZ——对Z轴的力偶矩

My——对y轴的力偶矩z(中性轴)ysdAdAyxzOM图6—6其中：由左半部分平衡可得：中性层通过截面形心。

由于y轴是横截面的对称轴，故自然满足。

由

(6—3)

其中：

是梁轴线变形后的曲率，EIz是梁的抗弯刚度。上式即是纯弯曲时，梁横截面上正应力的计算公式。（四）讨论：1.梁的上下边缘处，弯曲正应力达到最大值，分别为：

式中：Wz——抗弯截面模量对矩形和圆形截面的抗弯截面模量。[注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到]矩形：

(6—4)

圆形：

(6—5)

若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉压应力并不相等，这时应分别进行计算。2.横截面上正应力的分布规律：

smaxsmaxMsminMsmin3.公式适用范围：①适用于线弹性范围——正应力小于比例极限sp；②适用于平面弯曲下的纯弯曲梁；③横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式的误差不大，但此时公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即：目录中性轴

z

为横截面的对称轴时称为弯曲截面系数yzzybh中性轴

z

不是横截面的对称轴时Ozyyt，maxyc，maxⅡ.纯弯曲理论的推广横力弯曲时：1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。弹性力学的分析结果：对于细长梁（l/h>5），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。Fl4lF§11-3常用截面的惯性矩、平行移轴公式

一、基本概念1.静矩（或一次矩）OxdAyyxC——微面积对y轴的静矩——微面积对x轴的静矩——整个平面图形对y轴的静矩——整个平面图形对x轴的静矩2.形心坐标公式常用单位：m3或mm3。数值：可为正、负或0。3.静矩与形心坐标的关系推论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。1.组合截面的静矩根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即：二、讨论：2.组合截面的形心坐标公式组合截面静矩组合截面面积组合截面的形心坐标公式为：11-3-1常用截面的惯性矩1.极惯性矩（或截面二次极矩）2.惯性矩（或截面二次轴矩）所以OxyyxrdA例11-1：试计算矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯性矩。解：取平行于x轴的狭长条则dA=bdy同理yhCxdyyb简单截面的惯性矩计算⑴矩形截面⑵圆形截面zybhyzd§11-3-2平行移轴公式1.平行移轴公式推导左图是一面积为A的任意形状的平面，c为其形心，xcyc为形心坐标轴。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为xy,形心c在oxy坐标系下的坐标为(a,b)任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为：aycyxcxCObdAxcycyx同理，有：注：式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。例11—2：求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。（1）求形心坐标解：xyb(y)ycCdxcy（2）求对形心轴xc的惯性矩由平行移轴公式得：

例11—3：求图示平面图形对y轴的惯性矩Iy解：例11-4图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax

和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力sa。B5

m10

mAFCFA

FB

12.521166560za375kN.m

M解：1、作弯矩图如上，2、查型钢表得56号工字钢3、求正应力为

12.521166560za或根据正应力沿梁高的线性分布关系的

12.521166560za§11-4梁的切应力11-4-1矩形梁横截面上的切应力推导思路：近似方法不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程分离体的平衡横截面上切应力分布规律的假设横截面上弯曲切应力的计算公式1、两点假设:

（1）切应力与横截面的侧边平行（2）切应力沿截面宽度均匀分布bhF2F1q(x)zyτhbFSτx=0τyτz=0zyτhbFSτ'由切应力互等定理一、矩形截面梁mmnnq(x)F1

F2

xdxbhzyhm'mn'nnm'mdxbzyOxFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)mnnmm'n'yzyBAA1sdAy1横截面上纵向力不平衡意味着纵截面上有水平剪力，即有水平切应力分布。面积AA1mm'对中性轴z的静矩而横截面上纵向力的大小为mnm'yy1ABA1B1bdxdAsyzOx纵截面上水平剪力值为要确定与之对应的水平切应力t‘还需要补充条件。mnm'yy1ABA1B1bdxdAsyzOx窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：(1)横截面上各点处的切应力均与侧边平行；(2)横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。根据切应力互等定理推得：(1)t'沿截面宽度方向均匀分布；(2)在dx微段长度内可以认为t'

没有变化。m'mn'nnm'mdxbytt'A1ABB1hzyOx根据前面的分析mnm'yy1ABA1B1bdxdAsyzOx即又由两式得其中：FS→横截面上的剪力；Iz

→整个横截面对于中性轴的惯性矩；b

→与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；矩形截面梁弯曲切应力计算公式zyyy1

→横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩矩形横截面上弯曲切应力的变化规律zyyy1

t沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。tmaxzyOtmax11-4-2工字形截面梁1、腹板上的切应力xydhzOdbtydAxzyOsA*dxtt'腹板与翼缘交界处中性轴处zyOtmaxtmintmax2、翼缘上的切应力a、因为翼缘的上、下表面无切应力，所以翼缘上、下边缘处平行于y轴的切应力为零；b、计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力(1)平行于y轴的切应力可见翼缘上平行于y轴的切应力很小，工程上一般不考虑。xydhzOdbty(2)垂直于y轴的切应力dht1t1'xydhzOdbth即翼缘上垂直于y轴的切应力随按线性规律变化。且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流”。zyOtmaxtmaxtmint1max11-5-1梁的正应力强度条件由于smax处t=0或极小，并且不计由横向力引起的挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应力状态来建立：材料的许用弯曲正应力中性轴为横截面对称轴的等直梁§11-5梁的强度条件拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁Ozyyt，maxyc，max为充分发挥材料的强度，最合理的设计为强度条件：注：有时

并不发生在弯矩最大的截面上，而根截面的形状有关。拉压强度相等材料：拉压强度不等材料：强度条件的作用：a、强度校核:b、截面设计:c、确定梁的许可荷载:例11-5图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。钢的许用弯曲正应力[s]=152MPa。试选择工字钢的号码。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m10mFBFA

解：1、支反力为作弯矩图如上。281375单位：kN·m2、根据强度条件确定截面尺寸与要求的Wz相差不到1%，可以选用。查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值例11-6跨长l=2m的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d，并校核梁的强度。解：根据截面最为合理的要求1m2mBAF=80kNCy1y2z60220yO280d即得截面对中性轴的惯性矩为y1y2z60220yO280d梁上的最大弯矩于是最大压应力为即梁满足强度要求。y1y2z60220yO280dOsc,maxst,maxz例11-7图示槽形截面铸铁梁，已知：b=2m，截面对中性轴的惯性矩Iz=5493104mm4，铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试求梁的许可荷载[F]。

解：1、梁的支反力为zyC形心86134204018012020BFCbq=F/bDbbAFBFA

据此作出梁的弯矩图如下发生在截面C发生在截面BzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4BFCbq=F/bDbbA2、计算最大拉、压正应力可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面B截面压应力拉应力拉应力压应力考虑截面B：zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4考虑截面C：因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/411-5-2梁的切应力强度条件一般tmax发生在FS,max所在截面的中性轴处，该位置s=0。不计挤压，则tmax所在点处于纯剪切应力状态。梁的切应力强度条件为材料在横力弯曲时的许用切应力对等直梁，有EtmaxFtmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2梁上smax所在点处于单轴应力状态，其正应力强度条件为梁上任意点G和H→平面应力状态，若这种应力状态的点需校核强度时不能分别按正应力和切应力进行，而必须考虑两者的共同作用（强度理论）。Csmax

DsmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2GtsHts横力弯曲梁的强度条件：强度足够确定截面尺寸验证设计截面时Emml/2qGHCDFlql2/8ql/2例11-8跨度为6m的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中间区段焊上两块100103000mm的钢板制成。材料均为Q235钢，其[]=170MPa，[]=100MPa。试校核该梁的强度。解1、计算反力得F1F2

50kN50kN50kNCABFB1.5m1.5mFA1.5m1.5mzy9.51001032010FS(kN)xM(kN·mm)x75252575112.5150112.5F1F2

50kN50kN50kNCABFB1.5m1.5mFA1.5m1.5mzy9.51001032010最大弯矩为F1F2

50k