第10章组合变形

第十章组合变形§6-4

非对称截面的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心

一、非对称截面的平面弯曲MedAyz形心主惯性平面CxzydACyzyzy1y1z1(中性轴)z1是形心轴y1z1(中性轴)y1梁的轴线在形心主惯性平面xy内弯曲成一条平面曲线，这是纯弯曲中平面弯曲的一般情况。可见，Ｍy=0是发生平面弯曲的条件。对称截面梁在横力弯曲时的切应力公式同样适用于非对称截面梁在横向力作用下发生平面弯曲的切应力计算。横向力必须作用在与梁的形心主惯性平面平行的某一特定平面时，梁才仅发生平面弯曲而不发生扭转。若横向力作用在与该特定平面平行的其他纵向平面时，梁不仅发生平面弯曲而且发生扭转变形。二、开口薄壁截面的弯曲中心产生扭转的原因及弯心位置的确定只有当力F的作用线通过点A时，梁才只产生弯曲，不产生扭转。t

1,maxt1tmmt1t

maxmmFHFH

FR

FSCzyy

CAzeFR

FSht

1,maxt1tt1t

maxbdhA点称为截面的弯曲中心或剪切中心。，它是截面的几何性质，与外力的大小和方向及梁的约束等均无关。当横向力F通过弯曲中心A时，梁只产生弯曲，不产生扭转。m

mCAzeFR

FSy对于开口薄壁截面梁，由于其抗扭刚度较小，当横向力不通过弯曲中心A时，将引起很大的扭曲变形，并且当扭转时横截面不能自由翘曲时，梁中还要产生附加的正应力和切应力，称为约束扭转。一侧开口的薄壁截面，其弯曲中心必在截面的另一侧。······(1)当截面具有一根对称轴时，例如，槽形、开口薄壁圆环、T字形、等边角形等，其弯曲中心一定位于对称轴上。(3)由两个狭长矩形组成的截面，例如，T字形、等边和不等边角形等，其弯曲中心位于两狭长矩形中线的交点处。(2)当截面具有两根对称轴时，例如工字形等，其弯曲中心和形心位置重合。Z字形截面为反对称截面，其弯曲中心也与形心位置重合。思考悬臂梁在自由端受集中力F作用，若采用图a，b，c所示三种截面，且力F均通截面的形心C。试问这几种截面梁各产生何种变形？.C(c)C(a)yz(b)C§10-1概述

基本变形：轴向拉伸(或压缩)、剪切、扭转及弯曲；

组合变形：构件同时发生的两种或两种以上的基本变形；组合变形分类：斜弯曲,拉弯(或压弯)组合,弯扭组合；

工程实例:烟囱，传动轴，吊车梁的立柱。自重引起轴向压缩

＋水平方向风力引起弯曲齿轮啮合力引起弯曲

＋

扭转

偏心荷载引起偏心压缩

=

轴向压缩

＋

纯弯曲

分析方法：

(1)组合变形是小变形，且材料是在线弹性范围内工作，用叠加法：

将作用于杆件上的荷载简化成静力相当荷载，简化后的每一荷载只产生一种基本变形；分别计算每一种基本变形下杆件的应力和位移，将结果叠加。(2)组合变形是大变形，应按变形后的形状分析计算，不能用叠加法。§10-2斜弯曲Czyq檁条平面弯曲的受力特点平面弯曲的变形特点

(1)各横截面绕z轴作相对转动；

(2)挠曲线位于横向外力所在的纵向对称平面内横向外力所在的纵向平面就是梁的纵向对称平面。梁的纵向对称平面q横向外力所在的纵向平面zyC斜弯曲的受力特点横向外力所在的纵向平面不是梁的纵向对称平面斜弯曲的变形特点

(1)各横截面均分别绕y轴和z轴作相对转动；

(2)挠曲线不再位于横向外力所在的纵向平面内。横向外力所在的纵向平面梁的纵向对称平面CzyFzFyFzy•C（y，z）lxl－xyzxF斜弯曲的应力和位移计算(1)外力的分解—在xy平面内的平面弯曲，z轴为中性轴—在xz平面内的平面弯曲，y轴为中性轴xyzxMzMyMyMzyF(2)弯矩计算Mz•C(y,z)(3)应力计算zyMyMz以上各式中的弯矩和坐标均取绝对值yzxMzMyx＋＝zyFy单独作用：s'Fz单独作用：s''Fy

和Fz共同作用：sBD中性轴EF中性轴方程：中性轴上的点(y0

，

z0)满足中性轴斜率：中性轴与y轴的夹角a满足zy中性轴a•(y0，

z0)

——过横截面形心

••(1)IyIz，tana

－cot(或tana·tan－1)，中性轴与总弯矩矢量不重合(或中性轴与总弯矩M的作用平面不垂直)，从而中性轴与外力F的作用线不垂直；(2)Iy=Iz，tana

=－cot(或tana

·tan=－1)

，中性轴与总弯矩矢量重合(或中性轴与总弯矩M的作用平面垂直)，从而中性轴与外力F的作用线垂直。zyF中性轴aM••zy中性轴••MF(4)强度计算危险截面：固定端截面危险点：危险截面角点处强度条件zy中性轴a••zy中性轴a•切点•切点(yt

,zt)zyzy中性轴中性轴••••(5)位移计算yzxlzywzFzFy中性轴awbwyzywz中性轴awbwy即中性轴与总位移矢量(或挠曲平面)垂直。(1)Iy

Iz，tanb

tan

，总位移矢量与总弯矩矢量(或挠曲平面与总弯矩作用平面)不垂直，从而总位移矢量与外力F的作用线(或挠曲平面与外力F所在纵向平面)不重合，是为斜弯曲；(2)Iy=Iz，tanb

=

tan

，总位移矢量与总弯矩矢量(或挠曲平面与总弯矩作用平面)垂直，从而总位移矢量与外力F的作用线(或挠曲平面与外力F所在纵向平面)重合，是为平面弯曲。zyF中性轴awaMzy中性轴zy中性轴••••MFMFww••zy中性轴a••MwaF例

20a号工字钢悬臂梁承受均布荷载q和集中力F=qa/2

如图。已知钢的许用弯曲正应力[]=160MPa,a=1m。试求梁的许可荷载集度[q]。

yqzaa40°FOCBAFyzqaaABCDFzyx解

作计算简图,将自由端截面B上的集中力沿两主轴分解为0.642qa0.444qa0.321qa222ADCByM图(Nm)0.617aADCBMz图0.456qa0.383qa0.266qa222(Nm)FyzqaaABCDFzyx

在xoz主轴平面内的弯矩图(y轴为中性轴)在xoy主轴平面内的弯矩图(z轴为中性轴)危险截面：由弯矩图，可确定A，D两截面为危险截面。

A，D截面在xoz，xoy平面的弯曲截面系数，可查表得

按叠加法，在xoz主轴平面内、xoy主轴平面内的弯曲正应力，在x方向叠加

可见，梁的危险点在截面A的棱角处。危险点处是单轴应力状态，强度条件为

轴向拉伸(压缩)和弯曲偏心拉伸(压缩)

对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的附加弯矩可以略去不计，拉(压)弯时偏于安全。可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在拉伸(压缩)和弯曲组合变形下杆横截面上的正应力。

§10-3拉伸(压缩)与弯曲一、轴向拉伸(压缩)和弯曲的组合变形lyzxFqqFxwCw(x)x<F单独作用：s'q单独作用：s''>z<中性轴+=例一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两钢管的外径均为140mm，壁厚均为10mm。试求折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。

解求支反力,由平衡方程

作折杆的受力图,折杆及受力对称，只需分析一半即杆AC。

将FA分解,得杆的轴力FN，弯矩M(x)AxFFAyABCmmfgFBx10kNBFAF'FAABCa1.6m1.6m1.2m10kN

最大弯矩在C处的m-m横截面，m-m截面为危险截面

按叠加原理，最大拉应力t和最大压应力c分别在杆下边缘的f

点和上边缘的g点处，其值分别为根据已知的截面尺寸

代入应力表达式得二、偏心拉伸(压缩)

如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。F1F2当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。

EI较大时，挠度远小于拉力或压力的偏心距，可按杆的原始形状，用叠加法计算内力。OD2D1

APyzyOzhbD1D2

PWzPyzyOD2D1

PyPWz中性轴yzOD1

st,maxsD2c,maxzy•(yP,zp)•ay•az中性轴•切点（yt

,zt）•切点§10-4弯曲与扭转拉弯扭组合变形例

图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮

C上作用有铅垂切向力5kN，径向力1.82kN；齿轮

D

上作用有水平切向力10kN，径向力3.64kN。齿轮

C

的节圆直径dC=400mm，齿轮D的节圆直径dD=200mm。设许用应力[]=100MPa，试按第四强度理论求轴的直径。

解将每个齿轮上的切向外力向该轴的截面形心简化。ABxyzCD5kN1.82kN10kN3.64kN300300100AB1.82kNC5kN1kN.mD10kN3.64kN1kN.m

作出轴在xy，xz两纵对称平面内的两个弯矩图以及扭矩图。

对于圆截面杆，通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面，可将My，Mz按矢量和求得总弯矩。