第07章01-应力应变状态

第4章弯曲内力

王明禄01二月2023第七章应力应变分析强度理论§7–１应力状态的概念一、引言轴向拉压同一横截面上各点应力相等：FF同一点在斜截面上时：

此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明二、一点的应力状态1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。三、研究应力状态的方法—单元体法

1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。xOzydzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz

（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。（2）面的方位用其法线方向表示3.截取原始单元体的方法、原则①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体②单元体各个面上的应力已知或可求；③几种受力情况下截取单元体方法：2.单元体上的应力分量PMeMePPMeMec)同b)，但从上表面截取Ctssb)横截面，周向面，直径面各一对Ba)一对横截面，两对纵截面As=P/Ast=Me/WnABCBCAPCABtBtCsCsCsAsA四、应力状态分类(按主应力)

1.①主平面：单元体上剪应力为零的面；②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面；③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示，有s1≥s2≥s3。旋转y'x'z's2s3s1xyzsxsztxytxztzxtzytyztyxsy2.应力状态按主应力分类：

①只有一个主应力不为零称单向应力状态；②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)；③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应力状态又称复杂应力状态。§7–3

平面应力状态分析——解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO规定：截面外法线同向为正；亦即拉正压负

ta绕研究对象顺时针转为正；

a逆时针为正。2.任意a角斜截面上的应力sxtxysysysxtyxABxyantasαtαsxtxytyxsyxdAsxsytxytyx利用三角函数公式，并注意到化简得同理：确定正应力极值设α＝α0

时，上式值为零，即3.

正应力极值和方向

由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。

所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：σ1σ2

σ34.极值切应力：

①令：，可求出两个相差90o

的

a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。②极值切应力：③(极值切应力平面与主平面成45o)要求大家必须记住的公式：7.3~7.8思考：极值正应力和极值切应力什么大小关系？主单元体的确定方法1.由极值应力公式求出2个极值应力，加上第三方向上为零的一个应力，即为所求的三个主应力。2.由公式7.5求出，和其垂直的方向即为主应力的方向。3.技巧：须将正应力中代数值较大的定义为。

(验证：两个切应力箭头相对的象限里是，与其垂直的方向即为。)xx例7.1已知:单元体各侧面应力

x=60MPa,xy=20.6MPa,

y=0,xy=-20.6MPa求:(1)=-450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面xx30MPa50.6MPa17.20xxx=60MPa,xy=20.6MPa,y=0,yx=-20.6MPa6.4MPa66.4MPa403020单位：MPaasata14.9os3s1s3s1

例7.2

图示单元体，试求：①a=30o斜截面上的应力；②主应力并画出主单元体；③极值切应力。单元体的两个相互垂直截面上的正应力之和为常数xyxy+/2已知：图示原始单元体求：例7.3[例7.4]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知11330=11.98°[练习]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知33110=－67.5°[练习]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知11330=18.43°解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：例7.6图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点=30°截面上的应力。(b)Cxtxsxsxtxtytyy(a)xTFTCF

图示斜截面上应力分量为：Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s3分析圆轴扭转时的应力状态4)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成±45o斜截面上，它们数值相等，均等于横截面上的剪应力；5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。例7.7

分析圆轴扭转时的应力状态。练习：确定下列单元体主平面的位置以及主应力的大小这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆

§7-4二向应力状态分析——图解法

将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加圆心坐标为半径为RC应力圆的画法D(sx,txy)D1(sy,tyx)cRADxyoB1BA1A应力圆的画法步骤:⒈作横轴为轴，纵轴为轴；⒉作点D和D13.连接DD1交横轴于C，4.以C为圆心，CD为半径作圆，即为应力圆。[例1]试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知50303030取:

连接D1D2交横轴于C，以C为圆心，CD1为半径作圆。5030303011330=18.43°[例2]试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知取:

连接D1D2交横轴于C，以C为圆心，CD1为半径作圆。202020200=45°201133[练习]试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知取:

连接D1D2交横轴于C，以C为圆心，CD1为半径作圆。COB1D1D2B21005050COB1D1D2B21005050A1A22011330=22.5°[例5]已知一点处两个斜截面上