第10章 压杆稳定

第10章压杆稳定

工程力学1§10.1基本概念第10章压杆稳定

2(a)(b)(a):木杆的横截面为矩形（12cm),

高为3cm，当荷载重量为6kN

时杆还不致破坏。(b):木杆的横截面与(a)相同，高为1.4m(细长压杆），当压力为0.1KN时杆被压弯，导致破坏。

(a)和(b)竟相差60倍，为什么？问题的提出§10.1基本概念3粗短压杆——强度破坏低碳钢短柱：屈服破坏；铸铁短柱：断裂破坏；

塑性材料

脆性材料§10.1基本概念4细长压杆——失稳破坏§10.1基本概念5在工程实际中，为了保证构件或结构物能够安全可靠地工作，构件除了满足强度、刚度条件外，还必须满足稳定性的要求。稳定性：指构件或体系保持其原有平衡状态的能力。失稳：指构件或体系丧失原始平衡状态的稳定性，由稳定平衡状态转变为不稳定状态。§10.1基本概念6

稳定性是指构件在压缩载荷的作用下，保持平衡形式不发生突然转变的能力。翻斗车液压机构中的顶杆§10.1基本概念7运动项目中的稳定性

稳定性是指构件在压缩载荷的作用下，保持平衡形式不发生突然转变的能力。§10.1基本概念8

稳定性是指构件在压缩载荷的作用下，保持平衡形式不发生突然转变的能力。§10.1基本概念9上世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（TheodoreCooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(QuebecBridge)1907年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一.§10.1基本概念102000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.§10.1基本概念11平衡的三种状态随遇平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；干扰力撤消：稳定平衡——凹面上，刚球回到原位置；随遇平衡——平面上，刚球在新位置上平衡；不稳定平衡——凸面上，刚球不回到原位置，而是偏离到远处去。§10.1基本概念12F1FFF<FcrF<FcrF>FcrF>Fcr稳定平衡状态不稳定平衡状态干扰力§10.1基本概念13失稳与屈曲（Buckling)

在扰动作用下，直线平衡状态转变为弯曲平衡状态，扰动除去后，不能恢复到直线平衡状态的现象，称为失稳或屈曲。临界载荷的概念

压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定的平衡状态向不稳定的状态的质变的转折点,称为临界载荷,以Fcr表示。§10.1基本概念14第10章压杆稳定

§10.2压杆的临界载荷欧拉公式15

假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：§10.2压杆的临界载荷欧拉公式16M(x)=FPw(x)

假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：§10.2压杆的临界载荷欧拉公式17微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx边界条件w(0)=0,w(l)=0§10.2压杆的临界载荷欧拉公式18微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx边界条件w(0)=0,w(l)=0根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零的条件是他们的系数行列式等于零：§10.2压杆的临界载荷欧拉公式19由此得到临界载荷最小临界载荷§10.2压杆的临界载荷欧拉公式20对于矩形截面zybh所以矩形截面压杆首先在xz平面内失稳弯曲，（即绕y轴转动）xyzhb1）分析：矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？FF§10.2压杆的临界载荷欧拉公式21屈曲位移函数w(x)=Asinxl位移曲线为一半波正弦曲线。A为压杆中点挠度。§10.2压杆的临界载荷欧拉公式22l二、其他约束条件下细长压杆的临界力1）一端固定，一端自由2l（2l）22EIFcr=232）一端固定，一端铰支CyBC段,曲线上凸,CA段,曲线下凸,（0.7l）22EIFcr=0.7l二、其他约束条件下细长压杆的临界力243）两端固定0.5lCD同理（0.5l）22EIFcr=二、其他约束条件下细长压杆的临界力25临界载荷欧拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:

＝2.0一端铰支，一端固定:

＝0.7

两端固定:

＝0.5

两端铰支:

＝1.0§10.2压杆的临界载荷欧拉公式26表13−1各种支承条件下细长压杆的临界力Fcrl支承情况两端铰支一端固定一端铰支两端固定，但可沿纵向相对移动一端固定一端自由两端固定，但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状临界力长度系数lFcrl0.5lFcrμ=1μ=0.7μ=0.5μ=2μ=12llFcrFcr0.7ll§10.2压杆的临界载荷欧拉公式27②柔度(细长比)：

一、欧拉临界应力公式及使用范围

1.细长压杆的临界应力：临界力除以压杆横截面面积得到的压应力，用scr表示；①—横截面对微弯中性轴的惯性半径；

③欧拉临界应力公式：

§10.3经验公式临界应力总图282.欧拉公式应用范围：①线弹性状态：scr≤sp，即

∴

②l≥lp—细长杆(大柔度杆)，欧拉公式的适用范围；

③对于Q235钢，E=200GPa，sp=200MPa：

④用柔度表示的临界压力：§10.3经验公式临界应力总图29二、非细长压杆临界应力的经验公式1.ss>scr>sp时采用经验公式：

1)∵scr<ss，∴，2)lp≥l≥lS—中长杆(中柔度杆)；

3)对于A3钢：

2.scr=sS时:强度破坏，采用强度公式。l≤

lS—粗短杆(小柔度杆)；

直线公式得到：30二、非细长压杆临界应力的经验公式31ss粗短杆细长杆中长杆ClpsplscrO采用直线经验公式的临界应力总图Ascr=sslsBscr=a-blD三、临界应力总图压杆按柔度分类：

—中长杆(中柔度杆)

—细长杆(大柔度杆)—粗短杆(小柔度杆)直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。32scr=a1-b1l2sslc0.57ssscrOl采用抛物线经验公式的临界应力总图（0<c）是与材料有关的常数。抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的中柔度压杆。三、临界应力总图33

细长杆—发生弹性屈曲

中长杆—发生弹塑性屈曲

粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服三类不同的压杆§10.3经验公式临界应力总图34例题13.1两根直径均为d的压杆，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件各不相同。试；2.已知：d=160mm，E=206GPa,

求：两根杆的临界载荷。

1.分析:哪一根压杆的临界载荷比较大？

35

1.分析两根压杆的临界载荷

从临界应力总图可以看出，对于材料相同的压杆，长细比越大，临界载荷越小。所以判断哪一根压杆的临界载荷大，必须首先计算压杆的长细比，长细比小者，临界载荷大。362.已知：

d=160mm，

Q235钢，E=206GPa,确定两根杆的临界载荷首先计算长细比，判断属于哪一类压杆：Q235钢p=101二者都属于细长杆，都可以采用欧拉公式。372.已知：

d=160mm，

Q235钢，E=206GPa,确定两根杆的临界载荷对于Q235钢，p=101，二者都属于细长杆，都可以采用欧拉公式。对于两端铰支的压杆，就有382.已知：

d=160mm，

Q235钢，E=206GPa，确定两根杆的临界载荷对于Q235钢，p=101，二者都属于细长杆，都可以采用欧拉公式。对于两端固定的压杆，就有39一、安全因数法

用载荷表示的稳定条件

用应力表示的稳定条件nst－稳定安全因数[Fst]－稳定许用压力[sst]－稳定许用应力§10.4压杆稳定性设计确定nst，除考虑确定安全系数的一般原则外，还应考虑压杆初挠度、荷载偏心等因素影响，故nst>n。

、稳定条件还可写成：

nw—工作安全因数40表常用零件nst的取值范围§10.4压杆稳定性设计412.折减因数法考虑到临界应力σcr是柔度λ的函数，安全因数nst也因压杆柔度不同而规定不同的数值，这都说明稳定许可应力［σst］对柔度λ依赖敏感。稳定条件可写成[sst]—稳定许用应力；[s]—强度许用应力；

j<1—折减系数，与柔度和材料有关，可查规范。§10.4压杆稳定性设计42表压杆的折减因数ф§10.4压杆稳定性设计43例1：材料相同，直径相等的三根细长压杆如图示，如取E=200GPa，d=160mm,试计算三根压杆的临界压力，并比较大小。(a)(b)(c)5m7m9m44解：三根压杆临界力分别为：45例2：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大荷载

(A)P1=P2(B)P1<P2

(C)P1>P2 (D)不能断定P1和P2的关系

ɑɑP1ABCDɑɑP2ABCD46AB为零杆AC为零杆ɑɑP1ABCDɑɑP2ABCDFNFN47例3：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将b改为h后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的多少倍？lhhhb(ɑ)(b)48lhhhb(ɑ)(b)49例4：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿。

5051例5：五根直径都为d的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。求图(a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大荷载。PPABCD(ɑ)PPABCD(b)52PPABCD(ɑ)53PPABCD(b)54例6：图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷P为最大值时的θ角（设0<θ<π/2）。

②①l55

②①l要使最大，只有都达到临界压力，即PFFN1、N256

②①l57例

低碳钢制成的矩形截面压杆，h=30mm，b=20mm，长度l=1m，其支承情况是：在主惯性平面xz平面内弯曲时为两端铰支，在主惯性平面xy平面内弯曲时为两端固定，弹性模量E=206GPa，试求该压杆的临界力Fcr。解：注意到此压杆在两主惯性平面内约束不同，因而应分别考查在两个主惯性平面的柔度。若在xz平面内失稳，压杆微弯时横截面将绕y轴转动，惯性半径iy为两端约束为铰支，长度系数μy=1.0，压杆柔度为若在xy平面内失稳，压杆微弯时横截面将绕z轴转动，惯性半径iz此时两端约束为固定端，长度系数μz=0.5，压杆柔度为58

因为λy>λz，可以判定失稳首先发生在xz平面内，注意到λy>λp属于细长杆，可使用欧拉公式

59例

已知：b=40mm,h=60mm,l=2300mm,Q235钢,

E＝200GPa,FP＝150kN,nst=1.8，校核:稳定性是否安全。

xyxz60xyzx考虑xy平面失稳(绕z轴转动)考虑xz平面失稳(绕y轴转动)所以压杆可能在xy平面内首先失稳(绕z轴转动).61其临界压力为工作安全因数为所以压杆的稳定性是不安全的。62例简易起重架由两圆钢杆组成，杆AB：，杆AC：,两杆材料均为Q235钢,,规定的强度安全系数，稳定安全系数，试确定起重机架的最大起重量。F45°A21CB0.6m63解:１.受力分析AF2.由杆AC的强度条件确定。3.由杆AB的稳定条件确定。64柔度:0<p可用直线公式。因此所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为65

例

确定图示连杆的许用压力[Fcr]。已知连杆横截面面积A=720mm2，惯性矩Iz=6.5×104mm4，Iy=3.8×104mm4，sp=240MPa，E=2.1×105MPa。连杆用硅钢制成，稳定安全系数nst=2.5。xx580700yzPPz580PPLy

若在x-y面内失稳，m=1，柔度为：解：(1)失稳形式判断