土木工程材料第八章

1§8-4扭转和弯曲的组合变形

机械中的许多构件在工作时往往发生扭转与弯曲的组合变形，而且它们多半是实心或空心圆截面杆，图中所示传动轴便是一种典型的情况。土建工程中发生扭－弯组合变形的杆件往往是非圆截面的。2本节讲述圆截面杆发生扭－弯组合变形时的强度计算。

图a所示由塑性材料制造的曲拐在铅垂外力作用下，其AB杆的受力图如图b所示。该杆为直径为d的圆截面杆。3

图c、d示出了AB杆的弯矩图（M图）和扭矩图（T图）。由于扭－弯组合变形情况下不考虑剪力对强度的影响，故未示出剪力图（FS图）。该AB杆的危险截面为固定端处的A截面。4

危险截面上弯曲正应力在与中性轴C3C4垂直方向的变化如图e，扭转切应力沿直径C3C4和C1C2的变化如图f。

由此可知危险截面上的危险点为C1和C2。由于杆的材料是拉压许用应力相等的塑性材料，C1和C2两点的危险程度相同，故只需对其中的一个点作强度计算即可。5

围绕点C1以杆的横截面、径向纵截面和切向纵截面取出单元体，其各面上的应力如图g所示，而6点C1处于平面应力状态，其三个主应力为按第三强度理论作强度计算，相当应力为(a)按第四强度理论作强度计算，相当应力为(b)强度条件为或7究竟按哪个强度理论计算相当应力，在不同设计规范中并不一致。注意到发生扭－弯变形的圆截面杆，其危险截面上危险点处：为便于工程应用，将上式代入式(a)、(b)可得：式中，M和T分别为危险截面上的弯矩和扭矩，W为圆截面的弯曲截面系数。8

需要注意的是，以上所述对于传动轴的强度计算是静力强度计算，只能用于传动轴的初步设计，此时[s]的值取得也比较低。事实上，传动轴由于转动，危险截面任何一点处的弯曲正应力是随轴的转动交替变化的。这种应力称为交变应力（alternatingstress），工程设计中对于在交变应力下工作的构件另有计算准则。9

图a所示钢制实心圆轴其上的两个齿轮上作用有切向力和径向力，齿轮C的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的圆）直径dC=400mm,齿轮D的节圆直径dD=200mm。已知许用应力

[s]=100MPa。试按第四强度理论求轴的直径。例题8-510

将作用在齿轮上的切向力向轴的形心简化，传动轴的受力图如图b所示，在水平荷载作用下，轴将在xy平面内弯曲，弯矩Mz图如图c所示；在竖直荷载作用下，轴将在xz平面内弯曲，弯矩My图如图d所示；弯矩图均画在受拉侧，不注明正负。在两个力偶矩作用下，轴产生扭转，扭矩T图如图e所示。1.轴的受力图和内力图例题8-5解:112.确定危险截面及危险截面上的内力由于圆截面的任何形心轴均为形心主惯性轴，且形心主惯性矩相同，故可将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加，即B截面上的总弯矩MB(图g)为：例题8-512并且由扭矩图可见B截面上的扭矩与C截面上相同，TB＝-1000N·m，于是判定横截面B为危险截面。C截面的总弯矩为例题8-513

根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为即亦即于是得3.求轴的直径例题8-514§8-5连接件的实用计算法

图a所示螺栓连接主要有三种可能的破坏：Ⅰ.螺栓被剪断(参见图b和图c)；Ⅱ.螺栓和钢板因在接触面上受压而发生挤压破坏（螺栓被压扁，钢板在螺栓孔处被压皱）(图d)；Ⅲ.钢板在螺栓孔削弱的截面处全面发生塑性变形。

实用计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。15(1)剪切的实用计算

在实用计算中，认为连接件的剪切面（图b、c）上各点处切应力相等，即剪切面上的名义切应力为式中，FS为剪切面上的剪力，As为剪切面的面积。其中的许用应力则是通过同一材料的试件在类似变形情况下的试验（称为直接试验）测得的破坏剪力也按名义切应力算得极限切应力除以安全因数确定。强度条件16(2)挤压的实用计算

在实用计算中，连接件与被连接件之间的挤压应力（bearingstress）是按某些假定进行计算的。

对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱形面（图b），挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如图c所示，而最大挤压应力sbs的值大致等于把挤压力Fbs除以实际挤压面（接触面）在直径面上的投影。17故取名义挤压应力为式中，d为挤压面高度，d为螺栓或铆钉的直径。18挤压强度条件为其中的许用挤压应力[sbs]也是通过直接试验，由挤压破坏时的挤压力按名义挤压应力的公式算得的极限挤压应力除以安全因数确定的。

应该注意，挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作用，因而当两者的材料不同时，应校核许用挤压应力较低的连接件或被连接件。工程上为便于维修，常采用挤压强度较低的材料制作连接件。19(3)拉伸的实用计算

螺栓连接和铆钉连接中，被连接件由于钉孔的削弱，其拉伸强度应以钉孔中心所在横截面为依据；在实用计算中并且不考虑钉孔引起的应力集中。被连接件的拉伸强度条件为式中：FN为检验强度的钉孔中心处横截面上的轴力；A为同一横截面的净面积，图示情况下A=(b–d)d。{{FbsFNdbssd20

当连接中有多个铆钉或螺栓时，最大拉应力smax可能出现在轴力最大即FN=FN,max所在的横截面上，也可能出现在净面积最小的横截面上。21§8-6铆钉和螺栓连接的计算螺栓连接示例22

铆钉连接主要有三种方式：1.搭接（图a），铆钉受单剪；2.单盖板对接（图b），铆钉受单剪；3.双盖板对接（图c），铆钉受双剪。23

实际工程结构的铆钉连接都用一组铆钉来传力，在此情况下，由于铆钉和被连接件的弹性变形，所以铆钉组中位于两端的铆钉所传递的力要比中间的铆钉所传递的力大。

但为了简化计算，并考虑到铆钉和被连接件都将发生塑性变形，在实用计算中如果作用于连接上的力其作用线通过铆钉组中所有铆钉横截面的形心，而且各铆钉的材料和直径均相同，则认为每个铆钉传递相等的力。24

搭接和单盖板对接的铆钉连接中，铆钉会发生弯曲，被连接件会发生局部弯曲，在实用计算中对此不加考虑。

销钉连接和螺栓连接的分析计算方法与铆钉连接相同。至于在螺栓连接中使用高强度螺栓，将螺帽拧得很紧以利用螺栓的预紧力藉钢板之间的摩擦力来传递连接所受外力，则不属于这里讨论的范围。25Ⅰ.作用于连接上的力其作用线通过铆钉组形心

此情况下每一铆钉所传递的力可认为相等，Fi=F/n。据此进行铆钉剪切强度和挤压强度的计算；对被连接件进行挤压强度计算，并按危险截面进行拉伸强度计算。26

某钢桁架的一个节点如图a所示。斜杆A由两根63mm×6mm的等边角钢组成，受轴向力F=140kN作用。该斜杆用直径为d=16mm螺栓连接在厚度为10mm的结点板上，螺栓按单行排列。已知角钢、结点板和螺栓材料均为Q235钢，许用应力为[s]=170MPa,[t]=130MPa,[sbs]=300

MPa。试选择所需的螺栓个数，并校核角钢的拉伸强度。例题8-7271.按剪切强度条件选择螺栓个数

由于此连接中各螺栓的材料和直径相同，且斜杆上的轴向力其作用线通过该组螺栓的截面形心，故认为每个螺栓所受的力相等，设螺栓个数为n，则每个螺栓所受的力为F/n。例题8-7解:28从而求得所需的螺栓个数：n=3取螺栓的剪切强度条件为

此连接中的螺栓受双剪（图b），每个剪切面上的剪力为例题8-7292.校核挤压强度

由于结点板的厚度（10mm）小于两根角钢肢厚度之和（2×6mm）,所以应校核螺栓与结点板之间的挤压强度。每个螺栓所传递的力为

F/n，亦即每个螺栓与结点板之间的挤压压力为例题8-730而挤压应力为

其值小于许用挤压应力[sbs]=300MPa，满足挤压强度条件。例题8-731

斜杆上三个螺栓按单行排列（图b）。图c示出了该斜杆（含两角钢）的受力图和轴力FN图。3.校核角钢的拉伸强度

该斜杆在图c中所示的m-m截面上轴力最大，而净截面面积又最小，故为危险截面。例题8-732该截面上：FN,max=F=140kN由型钢规格表可查得每根

63mm×6mm等边角钢的横截面面积为7.29cm2，故危险截面的净面积为A=2×(729mm2－

6mm×16mm)=1266mm2从而得危险截面上的拉伸应力：其值小于许用拉应力[s]=170MPa，满足拉伸强度条件。例题8-733

在计算m-m截面上的拉应力时应用了轴向拉伸的正应力公式，实际上，由于角钢上的螺栓孔，使横截面发生应力集中现象。但考虑到杆的材料为Q235钢，具有良好的塑性，当杆接近破坏时，危险截面m-m上各部分材料均将达到屈服，各点处的正应力趋于相等，故假设该截面上各点处的正应力相等是可以的。例题8-734

由两根钢轨铆接成的组合梁，其连接情况如图a，b

所示。在所研究的梁段内，剪力FS=50

kN为常值。试校核铆钉的剪切强度。

已知：(a)每根钢轨横截面的几何性质为:面积A1＝8000mm2，形心距轨底的高度c=80mm，对于自身形心轴z1的惯性矩Iz1=1600×104mm4；(b)铆钉的直径d=20mm，纵向间距s=150mm，许用切应力[t]=95MPa。不考虑上、下两钢轨间的摩擦。例题8-835图d示出了长度为铆钉的纵向间距s的一段梁，其

上面钢轨的两侧横截面上的弯曲正应力和它们组成的合力FT和FT1。1.铆钉所受剪力的分析例题8-8解:36

这两个合力之差FT1-FT

就是两个铆钉所共同承受的剪力，它等于每个铆钉承受的剪力的两倍，。例题8-837

以A1表示一根钢轨的横截面面积。长度为斜的一段梁的左、右两个横截面上的弯矩分别为M和M+FSs则FT

和FT1的算式为2.计算铆钉所受的剪力例题8-838式中，为一根钢轨的横截面面积A1对于组合梁中性轴z的静矩。从而有每个铆钉承受的剪力为例题8-8393.为计算

的值，先计算和

Iz

的值。例题8-840于是有例题8-8414.铆钉剪切面上的切应力为故铆钉满足剪切强度条件。例题8-842

对于受偏心荷载F的铆钉连接（或螺栓连接）（图a），亦即作用于连接上的力其作用线不通过铆钉组的形心O时，可如图b所示，简化为通过形心O的力和力偶矩Me=F·e。II.作用于连接上的力其作用线不通过铆钉组形心43

若铆钉组中各铆钉的材料和直径都相同，则由于力F引起的作用在任意铆钉i上的力均为(1)其方向垂直于该铆钉中心与铆钉组形心O的连线；(2)其大小与该连线的长度成正比（将连接板视为刚体），即

而由于力偶矩Me引起的作用在铆钉i上的力(图b):44于是由静力关系可导得：即故45

作用在铆钉i上总的力Fi

则为的矢量和。进行铆钉的剪切强度和挤压强度计算时，应对受力最大的铆钉进行。46

图a所示铆钉搭接的托架受集中力F=12kN作用，铆钉直径

d=20mm。试求受力最大的铆钉其剪切面上的切应力。例题8-9471.将外力F向铆钉组的形心O简化，得力F和力偶矩MexyFO例题8-9解:482.确定铆钉组形心O至每一铆钉中心的距离ri（参见图b）：例题8-949例题8-9503.确定铆钉组的几何量：例题8-9514.计算各铆钉所受的力（图b）由于力偶矩Me，产生的各铆钉的剪力分别为由于力F通过铆钉组形心O，所以每个铆钉所受的力相等，即例题8-952