统计学第四章综合指标

第四章综合指标学习目标第一节总量指标第二节相对指标第三节平均指标第四节标志变异指标第一节总量指标

总量指标是反映社会经济现象总规模、总水平和工作总量的统计指标。也称绝对数指标简称绝对数。总量指标的概念和特点总量指标的概念总量指标的特点最基本的综合指标；统计整理阶段的直接成果；数字形式为绝对数，数值随着总体范围大小直接相关。总量指标的作用是认识社会经济现象的起点；是实现宏观经济调控和企业经营管理的基本指标；是计算其他统计指标的基础。总量指标的种类总体单位总量按其反映内容不同划分总体标志总量总体内所有单位个数的总和总体内各单位某一数量标志的标志值之和一个总体中只有一个总体单位总量，但可以有多个标志总量，它们由总体单位的数量标志值汇总而来。时期指标时点指标反映某种社会经济现象在一段时期内的活动过程中所取得或实现的累计总量。反映社会经济现象在某一时点上所实现或达到的总量指标。总量指标的种类按其反映时间状况不同划分（1）时期指标具有可加性，时点指标数值不具有可加性（2）时期指标与时间长短有关，时点指标与其时间间隔长短无直接关系。（3）时期指标通过连续登记取得。时点指标采用间断登记取得。总量指标的计量单位自然单位度量衡单位复合单位标准实物单位按对象的自然状况来度量数量的单位按统一度量衡制度的规定来度量数量的单位两种计量单位结合使用按统一折算的标准来度量数量的单位实物单位价值单位劳动单位以货币单位计量的统计指标以劳动单位即工日、工时等劳动时间计量的统计指标总量指标的种类按其计算单位划分实物指标价值指标劳动指标第二节相对指标指应用对比的方法来反映相关事物之间数量联系程度的指标，也称为相对数。相对指标相对指标的概念无名数有名数用倍数、系数、成数、翻番数、﹪、‰等表示用双重计量单位表示的复名数成数应当用整数的形式来表述，折数可以是小数3成、近7成8.6成分母为1分母为1.00分母为10分母为100分母为1000相对指标的表现形式2n,n为番数结构相对数比例相对数比较相对数计划完成程度相对数强度相对数动态相对数相对指标的种类结构相对指标是在对总体分组的基础上，以总体总量作为比较标准，求出各组总量占总体总量的比重，来反映总体内部组成情况的综合指标。相对指标的种类结构相对指标例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则说明⒈为无名数；⒉同一总体各组的结构相对数之和为1；⒊用来分析现象总体的内部构成状况。比例相对指标是同一总体中不同部分数量对比的相对指标，也可以叫比例相对数。作用：以分析总体范围内各个局部、各个分组之间的比例关系和协调平衡状况。相对指标的种类比例相对指标例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则比例相对指标说明⒈为无名数，可用百分数或一比几或几比几表示；⒉用来反映组与组之间的联系程度或比例关系。概念：比较相对指标是不同单位的同类现象数量对比而确定的相对指标，也可以叫比较相对数。作用：同一类事物由于所处的空间条件不一样，发展状况也不同，要了解它们之间的差异程度，就需要将不同空间条件下的同类事物对比。相对指标的种类比较相对指标例：某年某地区甲、乙两个公司商品销售额分别为5.4亿元和3.6亿元。则⒈为无名数，一般用倍数、系数表示⒉用来说明现象发展的不均衡程度。

说明比较相对指标子项与母项的内容不同结构相对指标是部分数量与总体总量的对比比例相对指标是同一总体内，部分数量与部分数量的对比比较相对指标是同一时间同类指标在空间上的对比说明问题不同结构相对指标用各组总量占总体总量的比重，来反映总体内部组成情况的；比例相对指标说明总体内各部分间的相互关系；比较相对指标说明某种现象在不同空间下发展的不均衡程度。相对指标的种类结构相对指标、比例相对指标和比较相对指标的区别动态相对指标又称发展速度，表示同类事物的报告期水平与基期水平对比发展变化的速度。它是将不同时期的同类现象进行对比，计算的相对指标。也可以叫动态相对数。相对指标的种类动态相对指标

⒈为无名数；⒉用来反映现象的数量在时间上的变动程度。说明例:我国钢产量2003年为22234万吨，2002年为18237万吨。动态相对指标概念:强度相对指标是两个性质不同但有一定联系的总量指标之间的对比，也可以叫强度相对数。作用：表明某一现象在另一现象中发展的强度、密度和普遍程度。相对指标的种类强度相对指标例：某年某地区年平均人口数为100万人，在该年度内出生的人口数为8600人。则该地区一般用﹪、‰表示。其特点是分子来源于分母，但分母并不是分子的总体，二者所反映现象数量的时间状况不同。无名数的强度相对数相对指标的种类强度相对指标例：某地区某年末现有总人口为100万人，医院床位总数为24700张。则该地区（正强度）（逆强度）用双重计量单位表示的复名数，反映的是一种依存性的比例关系或协调关系，用来反映经济效益、经济实力、现象的密集程度等。有名数的强度相对数强度相对指标概念：现象在某一段时间内的实际完成数与计划数对比，借以观察计划完成程度，也称为计划完成百分比。作用：检查、监督计划执行情况。相对指标的种类计划完成程度相对指标指标根据下达计划任务时期的长短和计划任务数值的表现形式不同，而有多种计算方法，实际应用时需注意区别。计划数是计算计划完成情况相对指标的基数，由于它的表现形式不同，计划完成情况相对指标在形式上也各有所异。计划数为绝对数计划数为相对数计划数为平均数计划完成程度相对指标—短期计划A.计划任务数表现为绝对数时例：某工业企业全年工业产值为计划为4000万元，实际完成4200万元，则计划完成情况为：B.计划任务数表现为相对数时例：己知某厂2005年的计划规定产品产值提高5﹪，单位成本计划降低5%；而实际产品产值提高了7﹪，单位成本降低了3%。则产值计划超额完成1.9%成本计划少完成2.1%C.计划任务数表现为平均数时例：己知某厂2005年的计划要求年劳动生产率达到50000元/人，产品单位成本为100元/件；而实际年劳动生产率达到55000元/人，产品单位成本为90元/件。则长期计划（如五年计划）由于计划中所规定的指标性质不同，其表示方法也不同。一种是水平表示法，一种是累计表示法。因此，产生了长期计划执行情况检查的水平法和累计法。计划完成程度相对指标—长期计划计划指标以计划末期应达到的水平规定任务水平法例：某自行车厂计划“九五”末期达到年产自行车120万辆的产量，实际完成情况为：年份19961997199819992000产量（万辆）108114117119123其中，最后两年各月份实际产量为（单位：万辆）：要求计算：⒈该厂“九五”期间产量计划的完成程度；⒉提前完成计划的时间。月份1234567891011121999年9.69.69.89.89.99.910.010.010.110.110.110.12000年10.110.110.210.210.210.210.210.310.310.410.410.4+0.5+0.5=120提前完成计划时间：因为自1999年3月起至2000年2月底连续12个月的时间内该厂自行车的实际产量已达到120万辆〔119+﹙10.1–9.6﹚+（10.1–9.6）=120〕，即已完成计划任务，提前完成计划10个月。计划指标按计划期内各年的总和规定任务累计法例：某市计划“九五”期间要完成社会固定资产投资总额60亿元，计划任务的实际完成情况为：年份19961997199819992000合计投资额（亿元）11.411.912.512.813.161.7其中，2000年各月份实际完成情况为（单位：亿元）：月份123456789101112投资额1.11.01.21.11.11.11.21.21.31.10.90.8要求计算：⒈该市“九五”期间固定资产投资计划的完成程度;⒉提前完成计划的时间。已累计完成固定资产投资额60亿元提前完成计划时间：因为到2000年10月底已完成固定资产累计投资额60亿元（61.7–0.8–0.9=60），即已完成计划任务，提前完成计划两个月。指标对比要有可比性；相对指标要与总量指标结合运用；多种相对指标结合运用。使用相对指标应注意的问题2000年的工业总产值（当年价格）1980年的工业总产值（当年价格）1980年中国的国民收入（人民币元）1980年美国的国民收入（美元）注意指标间的可比性使用相对指标应注意的问题相对指标抽象掉了具体的数量差异:1:2=50%10000:20000=50%1998年相对于1997年，美国的GDP增长速度为3.9％，同期中国GDP增长速度为7.8％，恰好为美国的2倍；但根据同期汇率（1美元兑换8.3元人民币），1998年中国GDP总量约合9671亿美元，约相当于同期美国GDP总量84272亿美元的1/9。相对指标应当结合总量指标使用使用相对指标应注意的问题结构相对数比例相对数比较相对数动态相对数计划完成相对数强度相对数（部分与总体关系）（部分与部分关系）（横向对比关系）（纵向对比关系）（实际与计划关系）（关联指标间关系）多种相对指标应当结合运用使用相对指标应注意的问题人口性别比为1.03：11999年末我国共有总人口12.6亿人，其中男性人口为6.4亿，女性人口为6.2亿。男性人口的比重为50.8﹪比1980年末的9.9亿人增加了28﹪人口密度是美国的4.5倍人口密度为130人/平方公里人口出生率为15.23‰女性人口的比重为49.2﹪第三节平均指标平均指标又称平均数，用以反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平的综合指标。平均指标的概念和特征把总体各单位标志值的差异抽象化了平均指标是个代表值，代表总体各单位标志值的一般水平特征概念反映总体各单位变量分布的集中趋势；比较同类现象在不同单位发展的一般水平(静态横向对比)；比较同一单位的同类指标在不同时期的发展状况(动态纵向对比)；分析现象之间的依存关系等。平均指标的作用算术平均数调和平均数几何平均数中位数众数数值平均数位置平均数平均指标的种类平均指标基本形式※注意区分算术平均数与强度相对数数值平均数的种类算术平均数直接承担者指标的含义不同。强度相对指标说明的是某一现象在另一现象中发展的强度、密度或普遍程度；而平均指标说明的是现象发展的一般水平。计算方法不同。强度相对指标与平均指标，虽然都是两个有联系的总量指标之比，但是，强度相对指标分子与分母的联系，只表现为一种经济关系；而平均指标是在一个同质总体内标志总量与单位总量的对比。分子是各单位标志值的总和，分母是单位总数，对比结果是反映总体各单位某一标志值的平均数。强度相对指标与平均指标的区别

简单算术平均数加权算术平均数算术平均数的两种计算形式A.简单算术平均数适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中：为算术平均数;为总体单位总数；为第个单位的标志值。平均每人日销售额为：某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元，则【例】B.加权算术平均数适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中：为算术平均数;为第组的次数；为组数；为第组的标志值或组中值。公式1式中：为算术平均数;为第组的频率；为组数；为第组的标志值或组中值。公式2

身高组中值人数比重（cm）（cm)

（人）（%）

150-155152.533.61155-160157.51113.25160-165162.53440.96165-170167.52428.92170以上172.51113.25

总计83100某年级83名女生身高资料组距数列次数f频率f/Σf变量值x加权算术平均数算术平均数的数学性质各个变量值与平均数的离差之和等于零各个变量值与算术平均数的离差平方和最小12345678-1-1-213离差的概念算术平均数的数学性质两独立同性质变量代数和（差）的平均数等于各变量平均数的代数和（差）两独立同性质变量乘积的平均数等于各变量平均数的乘积【例】设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算如下：⒉再求算术平均数：⒈求各标志值的倒数：，，，⒊再求倒数：是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数数值平均数的种类调和平均数A.简单调和平均数适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中：为调和平均数;为变量值的个数；为第个变量值。

市场上某种蔬菜早市价格每斤0.67元，午市价格每斤0.5元，晚市每斤0.4元，如早中晚各买1元的菜，则平均每斤价格是多少：购买总金额购买总数量例：B.加权调和平均数适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中：为第组的变量值；为第组的标志总量。当已知各组变量值和标志总量时，作为算术平均数的变形使用。调和平均数的应用日产量（件）各组工人日总产量（件）10111213147001100456019501400合计9710某企业某日工人的日产量资料如下：计算该企业该日全部工人的平均日产量。调和平均数的应用即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。已知用基本平均数公式己知采用加权算术平均数公式己知，采用加权调和平均数公式比值求解比值平均数应采用加权算术平均数公式计算计划完成程度（%）组中值（%）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值平均数分析：【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值平均数分析：应采用平均数的基本公式计算【例C】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（%）组中值（%）企业数（个）实际产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231036802375180605060合计—1826175计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值平均数分析：应采用调和算术平均数公式计算是N项变量值连乘积的开N次方根用于计算现象的平均比率或平均速度各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件：数值平均数的种类几何平均数A.简单几何平均数适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料的情况式中：为几何平均数;为变量值的个数；为第个变量值。【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品的平均合格率。设最初投产100个单位，则第一道工序的合格品为100×0.95；第二道工序的合格品为（100×0.95）×0.92；

……第五道工序的合格品为100×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，故该流水线总的合格品应为100×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；则该流水线产品总的合格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。B.加权几何平均数适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中：为几何平均数;为第组的次数；为组数；为第组的标志值或组中值。【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3﹪，2年为5﹪，2年为8﹪，3年为10﹪，1年为15﹪。求平均年利率。设本金为V，则至各年末的本利和应为：第1年末的本利和为：第12年的计息基础第2年的计息基础第2年末的本利和为：………………第12年末的本利和为：则该笔本金12年总的本利率为：即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。设x取值为：４、４、５、５、５、10

算术平均与几何平均更为常用一些，其中几何平均数对小的极端值敏感，算术平均数对大的极端值敏感。数值平均数的种类将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置的标志值，用表示不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。中位数的作用：位置平均数的种类如果统计资料中含有异常的或极端的数据，就有可能得到非典型的甚至可能产生误导的平均数，这时使用中位数来度量集中趋势比较合适。中位数中位数的确定步骤：第一步，将标志值按大小顺序排序；第二步，确定中位数的位置；第三步，确定中位数的数值。未分组数列单项变量数列组距数列中位数的位次为：即第3个单位的标志值就是中位数【例A】某售货小组5个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元，则中位数确定—N为奇数中位数的位次为：中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即【例B】若上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则中位数确定—N为偶数【例C】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计800—计算该企业该日全部工人日产量的中位数。中位数的位次中位数确定—单项数列【例D】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合计50—计算该车间工人月产量的中位数。平均指标的种类中位数确定—组距数列共个单位共个单位共个单位共个单位LU中位数组组距为d共个单位假定该组内的单位呈均匀分布共有单位数

中位数下限公式为

该段长度应为指总体中出现次数最多的变量值，用表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。平均指标的种类众数比如在服装行业中，生产商、批发商和零售商在做有关生产或存货的决策时，更感兴趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。

此时众数合适的代表值日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下:计算该企业该日全部工人日产量的众数。众数确定—单项数列众数确定—组距数列【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合计50—计算该车间工人月产量的众数。当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）。众数的原理及应用出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200413名学生出生时间分布直方图没有突出地集中在某个年份192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名学生的身高分布直方图出现了两个明显的分布中心众数的原理及应用一组数据排序后处于25%和75%位置上的值，称为四分位数，也称四分位点。用表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。平均指标的种类四分位数设下四分位数为QU，上四分位数为QL，对于未分组的原始数据，各四分位数的位置分别为：当总体为对称钟形分布时众数、中位数、算术平均数的关系平均指标的种类当总体为右偏钟形分布时平均指标的种类众数、中位数、算术平均数的关系当总体为左偏钟形分布时众数、中位数、算术平均数的关系应用平均指标应注意的问题注意现象总体的同质性总平均数与组平均数结合使用注意极端值的影响用分配数列补充说明平均数第四节标志变异指标集中趋势弱、离中趋势强集中趋势强、离中趋势弱指总体中各单位标志值背离分布中心的规模或程度，用标志变异指标来反映。离中趋势反映统计数据差异程度的综合指标，也称为标志变动度变异指标值越大，平均指标的代表性越小；反之，平均指标的代表性越大离中趋势用来衡量和比较平均数代表性的大小；用来反映社会经济活动过程的均衡性和节奏性；用来测定变量数列次数分布较正态分布的偏离程度。

测定离中趋势的意义测定标志变异度的绝对量指标（与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数）全距平均差标准差全距系数平均差系数标准差系数标志变异指标的种类测定离散程度的指标有：全距内距平均差方差标准差离散系数测定离中趋势的种类指所研究的数据中，最大值与最小值之差，又称极差。最大变量值或最高组上限或开口组假定上限最小变量值或最低组下限或开口组假定下限【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，则全距【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度计划完成程度的全距。优点:计算方法简单、易懂；缺点:易受极端数值的影响，不能全面反映所有标志值差异大小及分布状况，准确程度差往往应用于生产过程的质量控制中全距的特点四分位差，是两个四分位数之差。将总体各单位的标志值按大小顺序排列，然后将数列分为四等分，形成三个分割点(Q1、Q2、Q3)，这三个分割点称为四分位数，(其中第二个四分位数Q2就是数列的中位数Me)。四分位差Q.D.=Q3-Q1内距

根据未分组资料求Q.D.计算：例⑴简单平均差——适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，用A.D表示总体算术平均数总体单位总数第个单位的变量值平均差【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。平均差⑴简单平均差⑵加权平均差——适用于分组资料总体算术平均数第组变量值出现的次数第组的变量值或组中值平均差【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。月工资（元）组中值（元）职工人数（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合计—2000平均差⑵加权平均差即该公司职工月工资的平均差为138.95元。平均差⑵加权平均差优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。一般情况下都是通过计算另一种标志变异指标——标准差，来反映总体内部各单位标志值的差异状况平均差⑴简单标准差——适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平方根，用来表示；标准差的平方又叫作方差，用来表示。总体单位总数第个单位的变量值总体算术平均数标准差【