统计学(第五章)

第五章

时间序列分析每月价格走势图

季节因素分离前后的价格走势§6.1时间序列及其分解§6.2时间序列的描述性分析§6.3长期趋势的测定§6.4复合型序列的分解第五章

时间序列分析主要内容学习目标1. 时间序列及其分解原理2. 时间序列分析的动态分析指标3. 有趋势序列的的分析和预测方法4. 复合型序列的综合分析第一节时间序列及其分解时间序列的构成要素时间序列的分解方法时间序列

(timesseries)1.同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列2.形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成3.排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式时间序列的构成要素

——

趋势成分；——季节成分；

——周期成分；——随机成分线性趋势非线性趋势趋势季节性周期性随机性时间序列的构成要素图Marriott公司的季节销售数据图美国新建房屋数、显示出周期成分趋势、季节、周期、随机性趋势(trend)呈现出某种持续向上或持续下降的状态或规律季节性(seasonality)也称季节变动(Seasonalfluctuation)时间序列在一年内重复出现的周期性波动周期性(cyclity)

也称循环波动(Cyclicalfluctuation)围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动随机性(random)

也称不规则波动(Irregularvariations)除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动无论时间序列数据用何种时间单位度量(年、季度、月份或者天)，都可以观测到趋势成分。然而，并不是所有的时间序列组成部分都能在任何时候度量单位上观测到。如果时间序列为年为单位度量，那么季节成分就观测不到了。时间序列的构成模型1．时间序列的构成要素分为四种，即趋势(T)、季节性或季节变动(S)、周期性或循环波动(C)、随机性或不规则波动(I)

2．时间序列的分解模型乘法模型

Yi=Ti×Si×Ci×Ii加法模型

Yi=Ti+Si+Ci+Ii

第二节时间序列的描述性分析

1)动态比较指标

2)动态平均指标1、时间序列的表示

2、时间序列的表示形式分类

3、时间序列的编制原则

4、时间序列分析指标上海市人均国内生产总值年份 人均GDP（元/人） 1991 6955 1992 8652 1993 11700 1994 15204 1995 18943 1996 22275 1997 25750 91929394959697年100001500020000250005000时间序列的表示

表示为

叫作最初水平，叫作末期水平，其余叫做中间水平

按时间序列的指标形式分绝对数序列相对数序列平均数序列时期序列时点序列1、时间间隔尽可能一致；2、总体范围一致；3、计算方法、计算价格、计量单位一致；4、经济内容一致。时间序列的编制原则时间序列分析指标

(1)

增长量逐期增长量=

累计增长量=

(2)发展速度

环比发展速度=

定基发展速度=

1、动态比较指标(3)

增长速度环比增长速度=

定基增长速度=(4)

增长1%的绝对值国内生产总值计算表

年份1990199119921993199419951996199719981999国内生产总值18548216182663834634467595847867885744637834581911增长量逐期－30705020799612125117199407657838833566累积－3070809016087282123993049337559155979763363发展速度％环比－116.6123.2130135125.1116.1109.7105.2104.6定基－116.6143.6186.7252.1315.3366401.5422.4441.6增长速度％环比－16.623.2303525.116.19.75.24.6定基－16.643.686.7152.1215.3266301.5322.4341.62．动态平均指标上例中：（1）（2）平均发展速度平均增长量＝国内生产总值的平均增长量＝可得由

从平均发展速度计算公式中可以看出，实际上只与序列的最初观察值a0

和最末观察值an

有关，而与其他各观察值无关。

（3）平均增长速度例：已知国内生产总值1990～1999年环比发展速度，计算平均发展速度和平均增长速度。解：平均发展速度：平均增长速度：

例：某商场2011年销售额为350万元，如果以后每年增长24.2%，试问几年之后销售额可以达到670万元？

则：已知：即需要3年时间，到2005年即可达到目标。增长率指标的分析与应用

◆当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度。比如，假如某企业连续五年的利润额分别为5、2、0、-3、2万元，对这一序列计算速度，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析。◆在有些情况下，不能单纯就速度论速度，要注意速度与基期绝对水平的结合分析。

有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表：年份甲企业乙企业利润额（万元）增长率（％）利润额（万元）增长率（％）20062007500600–206084–40●如果不看利润额的绝对值，仅就速度对甲、乙两个企业进行分析评价，可以看出乙企业的利润增长速度比甲企业高出1倍。●但是速度是一个相对值，它与对比的基期值的大小有很大关系。●在这种情况下，我们需要将速度与绝对水平结合起来进行分析，通常要计算增长1％的绝对值来弥补速度分析中的局限性。（4）平均发展水平是现象在时间ti（i=1,…,n）上取值的平均数，又称为序时平均数。它可以概括性地描述出现象在一段时期内所达到的一般水平。

序时平均数作为一种平均数，与静态平均数有相同点，即它们都抽象了现象的个别差异，以反映现象总体的一般水平。

二者又有明显的区别：序时平均数抽象的是现象在不同时间上的数量差异；静态平均数抽象的是总体各单位某一数量标志值在同一时间上的差异。

1）时期（指标）序列求平均发展水平绝对数时间序列的序时平均数用简单算术平均数法

连续时点序列与间断时点序列

a、连续时点资料，间隔相等，公式与时期序列同

对于逐日排列的时点资料，视其为连续时点资料。

（例如，存款（贷款）平均余额指标，通常就是由报告

期内每日存款（贷款）余额之和除以报告期日历数而求得。

b、连续时点资料，间隔不等；用加权平均对于逐日排列的时点资料，是连续时点资料

2）时点（指标）序列求平均发展水平C、间断时点序列、间隔相等“首末拆半”法d、间断时点序列、间隔不等

“间隔加权”方法连续时点间断时点

资料登记的时间单位仍然是1天，但实际上只在指标值发生变动时才记录一次。此时需采用加权算术平均数的方法计算序时平均数，权数是每一指标值的持续天数。b.连续时点资料，间隔不等序列的计算公式例某企业第一季度的出勤情况：1月1日1月20日2月3日2月25日3月1日1,2561,2641,2751,2701,281求第一季度的平均日出勤人数。某种商品5月份库存资料日期1－45－108–2021－2627－31库存量（台）5055403530c、间断时点序列、间隔相等序列的计算公式上式称为“首末拆半”法。很多现象并不是逐日对其时点数据进行统计，而是隔一段时间（如一月、一季度、一年等）对其期末时点数据进行登记。首末拆半法例某商店2002年商品库存（万元）资料季度一季度初一季度末二季度末三季度末四季度末商品库存30（）21（）26（）23（）32（）求2002年商品的月平均库存额。d、间断时点序列、间隔不等序列的计算公式

以上方法叫“间隔加权”方法间隔加权法上年末本年3月末本年8月末本年12月末流动资金占用额30（）28（）24（）32（）计算该企业平均每月流动资金占用额。例某企业2002年流动资金的占用情况：由相对数或平均数序列计算序时平均数，不能直接根据该相对数或平均数序列中各项观察值简单平均计算（即不应当用的公式），而应当先分别计算构成该相对数或平均数序列的分子序列和分母序列的序时平均数，再对比求得。公式表示为：

由相对数或平均数时间序列计算平均发展水平例某企业2002年第三季度的产值计划完成情况指标7月8月9月合计计划完成%102105104103.8实际产值2448325539529655计划产值2400310038009300

某企业第四季度职工人数资料如表，计算工人占职工人数的平均比重。

某企业2009年四季度职工人数资料

9月末10月末11月末12月末工人人数/人职工人数/人工人占职工比重/%34244876.3435545677.8535846976.3336447476.79水平动态指标1·增长量计算公式逐期增长量。说明适用于多期增长量平稳变化的序列累计增长量2·平均增长量常用的动态指标常用的动态指标水平动态指标3、序时平均数计算公式适用于时期总量指标和连续时点序列间隔相等时。说明适用于间断登记、间隔相等的时点序列。适用于间断登记、间隔不相等的时点指标序列。分子和分母按各自序列的指标形式参照上述求序时平均数。适用于连续时点序列、间隔不等速度动态指标1·发展速度计算公式环比发展速度。说明各环比发展速度的几何平均数。定基发展速度2·平均发展速度3·（平均）增长速度＝（平均）发展速度－100％常用的动态指标

第三节

长期趋势的测定一、移动平均法二、指数平滑法三、数学模型法时间序列的分解模型

2）加法模型该模型假定四种变动因素是独立的，则时间序列各期的发展水平是各个影响因素之和。

1）乘法模型该模型假定四种因素存在着某种相互影响关系，互不独立。则时间序列各期的发展水平是各个影响因素之积。一、移动平均法

(movingaverage)对简单平均法的一种改进方法通过对时间序列逐期递移求得一系列平均数作为趋势值或预测值有简单移动平均法和加权移动平均法两种简单移动平均法

(simplemovingaverage)

1.将最近的k期数据加以平均作为下一期的预测值2.设移动间隔为K(1<k<t)，则t期的移动平均值为3.t+1期的简单移动平均预测值为4.预测误差用均方误差(MSE)

来衡量简单移动平均法的特点

1．将每个观察值都给予相同的权数2．只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k3．主要适合对较为平稳的时间序列进行预测4．应用时，关键是确定合理的移动间隔长对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的选择移动步长时，可通过试验的办法，选择一个使均方误差达到最小的移动步长。简单移动平均法

(例题分析)【例】对居民消费价格指数数据，分别取移动间隔k=3和k=5，用Excel计算各期的居民消费价格指数的平滑值(预测值)，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较年份居民消费价格指数(%）K=3K=51986106.51987107.31988118.81989118.01990103.11991103.41992106.41993114.71994124.11995117.11996108.31997102.8199899.2199998.62000100.4简单移动平均法

(例题分析)移动平均数位置第一、可以用移动平均数计算“中心化移动平均值”(CMA)(本章后边)第二、可以用移动平均数做预测两种情况下移动平均数的第一个数的位置不同：第一种情况下放到中间位置；第二种情况下若三项移动时放第四个位置。加权移动平均法

(weightedmovingaverage)1。对近期的观察值和远期的观察值赋予不同的权数后再进行预测当时间序列的波动较大时，最近期的观察值应赋予最大的权数，较远的时期的观察值赋予的权数依次递减当时间序列的波动不是很大时，对各期的观察值应赋予近似相等的权数所选择的各期的权数之和必须等于1。2。对移动间隔(步长)和权数的选择，也应以预测精度来评定，即用均方误差来测度预测精度，选择一个均方误差最小的移动间隔和权数的组合二、指数平滑法

(exponentialsmoothing)1.是加权平均的一种特殊形式2.对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法3.观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑4.有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等5.一次指数平滑法也可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势一次指数平滑

(singleexponentialsmoothing)只有一个平滑系数观察值离预测时期越久远，权数变得越小以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为t+1的预测值，其预测模型为Yt为t期的实际观察值

Ft为t期的预测值为平滑系数(0<<1)一次指数平滑1．在开始计算时，没有第1个时期的预测值F1，通常可以设F1等于1期的实际观察值，即F1=Y12.第2期的预测值为3．第3期的预测值为一次指数平滑

(预测误差)1．预测精度，用误差均方来衡量2．Ft+1是t期的预测值Ft加上用调整的t期的预测误差(Yt-Ft)一次指数平滑

(的确定)不同的会对预测结果产生不同的影响一般而言，当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的，以便能很快跟上近期的变化当时间序列比较平稳时，宜选较小的

选择时，还应考虑预测误差误差均方来衡量预测误差的大小确定时，可选择几个进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的值

某公司2000年各月销售额预测表

单位：万元

月份实际销售额一次指数平滑预测数α＝0.2α＝0.8123456789154148142151145154157151－150.800.2×154+（1–0.2）×150.8＝151.44150.75149.00149.40148.52149.62151.10151.08150.80153.36149.07143.41149.48145.90152.38156.08152.02［例］某公司2001年前8个月销售额资料见表，用指数平滑法进行长期趋势分析。已知1月份预测值为150.8万元，α分别取0.2和0.8。一次指数平滑

(例题分析)用Excel进行指数平滑预测第1步：选择“工具”下拉菜单第2步：选择“数据分析”选项，并选择“指数平滑”，然后确定第3步：当对话框出现时在“输入区域”中输入数据区域在“阻尼系数”（注意：阻尼系数=1-

）输入的值选择“确定”【例】对居民消费价格指数数据，选择适当的平滑系数，采用Excel进行指数平滑预测，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较一次指数平滑

(例题分析)一次指数平滑

(例题分析)一次指数平滑法比较简单，但也有问题，从例中也可看出，α值和初始值的确定是关键，它们直接影响着趋势值误差的大小。通常对于α和初始值的确定可按以下方法：选择α，一个总的原则是使预测值与实际观察值之间的误差最小。从理论上讲，α取0–1之间的任意数据均可以。具体如何选择，要视时间序列的变化趋势来定。当时间序列呈较稳定的水平趋势时，应取小一些，如0.1–0.3，以减小修正幅度，同时各期观察值的权数差别不大，预测模型能包含更长时间序列的信息。当时间序列波动较大时，宜选择居中的α值，如0.3–0.5。当时间序列波动很大，呈现明显且迅速的上升或下降趋势时，α应取大些，如0.6–0.8，以使预测模型灵敏度高些，能迅速跟上数据的变化。在实际预测中，可取几个α值进行试算，比较预测误差，选择误差小的那个α值。三、数学模型法1．线性趋势2．非线性趋势1.线性模型法

(线性趋势方程)线性方程的形式为

—时间序列的趋势值

t—时间标号

a—趋势线在Y轴上的截距

b—趋势线的斜率，表示时间t

变动一个单位时观察值的平均变动数量线性模型法

(a和b的最小二乘估计)

1、趋势方程中的两个未知常数a和b

按最小二乘法求得根据回归分析中的最小二乘法原理使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线2、根据趋势线计算出各个时期的趋势值线性模型法

(a和b的求解方程)根据最小二乘法得到求解a

和b

的标准方程为解得：预测误差可用估计标准误差来衡量m为趋势方程中变数的个数

线性模型法

【例】根据人口自然增长率数据，用最小二乘法确定直线趋势方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的人口自然增长率，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较线性模型法

(例题分析)线性趋势方程：预测的估计标准误差：

2001年人口自然增长率的预测值：‰线性模型法

(例题分析)年份序号农业税Y19901991199219931994199519961997199819992000-5-4-3-2-101234587.990.7119.2125.7231.5278.1369.5397.5398.8423.5465.3251694101491625-439.5-362.8-357.6-377.1-231.50369.5795.01196.41694.02326.561.9103.85145.79187.73229.67271.61313.55355.49397.43439.37481.31合计02987.71104612.9

2987.7时间变量t原点的设定等于0

1990-2000年税收总额长期趋势的线性表达式：时间数目为偶数的例子[例]我国1992－2000年初级产品出口额数值、计算时间序列的线形趋势方程.中间时期位于1996和1997年的中间，若取其为0值，则1996年的值为-0.5，1997年的值为0.52、非线性趋势分析和预测第四节复合型序列的分解一.季节性分析二．趋势分析三．周期性分析季节性分析季节指数

(seasonalindex)刻画序列在一个年度内各月或季的典型季节特征以其平均数等于100%为条件而构成反映某一月份或季度的数值占全年平均数值的大小如果现象的发展没有季节变动，则各期的季节指数应等于100%季节变动的程度是根据各季节指数与其平均数(100%)的偏差程度来测定如果某一月份或季度有明显的季节变化，则各期的季节指数应大于或小于100%季节指数

(计算步骤)1．计算移动平均值(季度数据采用4项移动平均，月份数据采用12项移动平均)，并将其结果进行“中心化”处理将移动平均的结果再进行一次二项的移动平均，即得出“中心化移动平均值”(CMA)2．计算移动平均的比值，也称为季节比率即将序列的各观察值除以相应的中心化移动平均值，然后再计算出各比值的季度(或月份)平均值，即季节指数3．季节指数调整各季节指数的平均数应等于1或100%，若根据第二步计算的季节比率的平均值不等于1时，则需要进行调整具体方法是：将第二步计算的每个季节比率的平均值除以它们的总平均值移动项数N为奇数时，只需一次移动平均，其移动平均值作为移动平均项数的中间一期的趋势代表值；而当移动平均项数N为偶数时，移动平均值代表的是这偶数项的中间位置的水平，无法对正某一时期，则需要再进行一次2项平均值的移动平均，才能使平均值对正某一时期，这称为中心化的移动平均数。季节指数

【例】下表是一家啤酒生产企业1997～2002年各季度的啤酒销售量数据。试计算各季的季节指数季节指数

二次移动平均：第一次4项移动、第二次2项移动季节指数

总月平均＝0.9963季节指数

分离季节因素将季节性因素从时间序列中分离出去，以便观察和分析时间序列的其他特征方法是将原时间序列除以相应的季节指数结果即为季节因素分离后的序列，它反映了在没有季节因素影响的情况下时间序列的变化形态分离季节因素后的趋势分析分离季节因素后的趋势分析根据分离季节性因素的序列确定线性趋势方程根据趋势方程计算各期趋势值根据趋势方程进行预测该预测值不含季节性因素，即在没有季节因素影响情况下的预测值如果要求出含有季节性因素的销售量的预测值，则需要将上面的预测值乘以相应的季节指数分离季节因素后的趋势

分离季节因素后的趋势分析

周期性分析周期性分析近乎规律性的从低至高再从高至低的周而复始的变动不同于趋势变动，它不是朝着单一方向的持续运动，而是涨落相间的交替波动不同于季节变动，其