类比探究性问题

中考复习专题：类比探究型问题1.（2012年河南22）如图1，在四边形ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G。

若

=

3,求

的值.(1)尝试探究在图1中，过点E作EH//AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是__，CG和EH的数量关系是____，

的值是

______.初步感知(2)类比延伸如图2，在原题的条件下，若

=m(m＞0),则

的值是____（用含m的代数式表示），试写出解答过程.(3)拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC//AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F，若

=a,

=b(a＞0,b＞0),则

的值是_________________（用含a、b的代数式表示）.EDCABGFEDCABGFEDCABF数学探究题类型河南中考数学中，数学探究题大致分为三类：一、探索条件型（第17题）二、探索结论型（第22题10分）三、探索存在型（第23题第3问）注：在近几年的河南中考中，探索规律型题目被逐渐淡化。探索结论型题目特点1、结论未给定：出题人往往给定条件，但无明确的结论，要求考生通过自己的观察、联想、分析、比较、归纳、概括来探索发现与之相应的结论；2、综合性较强：解决此类题目，通常要综合运用初中学过的大量几何知识，如特殊三角形、全等（相似）三角形的性质与判定，解直角三角形，圆的相关性质与定理等；3、前后关联强：题目中的条件常常由特殊到一般，结论由简单到复杂，前后结论具有明显的关联性，有时还运用结论解决实际问题。题型特征类比探究题以几何综合题为主，题目一般有三问或更多，每小问的条件、结论和图形相似度很高，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入。探索结论型题目解决方法针对该题型的上述特点，在解决问题时，可从以下两个方面着手：1、观察图形特点，联想基本图形。如：“图中有无特殊三角形？有无全等（相似）三角形？有无A型、X型和K型相似？”等。2、注重前后联系，进行类比迁移。如：“第一问的全等（相似）关系是否仍然成立？上一问的辅助线是否仍然需要？前面的全等（相似）证明方法是否仍然不变？”等。22题类比探究、动态几何类比探究题型特征：图形结构类似、问法类似，常含探究、类比等关键词。解题方法：1.照搬：照搬上一问的方法、思路解决问题。如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似。2.找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。常见不变结构及方法：①直角，作横平竖直的线，找全等或相似；②中点，作倍长，通过全等转移边和角；③平行，找相似，转比例。旋转：找等腰结构、借助全等整合条件

[实例剖析]（2014年河南中考·第22题）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE。填空：（1）∠AEB的度数为

；（2）线段AD、BE之间的数量关系是

。

[实例剖析]（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形∠ACB=∠DCE=900,点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。[实例剖析]（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。

[实例剖析]（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。

[实例剖析]（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。

[实例剖析]（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。

2.（2013河南22）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，

当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是_________；

初步感知

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中

与

的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和

△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交

BC于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F，使

，请直接

写出相应的BF的长.ECBAD②设△BDC的面积为

，△AEC的面积为

，

则

与

的数量关系是___.A(D)B(E)CACBDMABCDEN课堂检测（1）问题背景

如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,∠ABC的平分线交直线AC于D，

过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．请直接写出线段BD与CE的数量关系．（事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）（2）类比探索在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不

变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸

在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD与CE的数量关系．结论：BD=

CE（用含n的代数式表示）．（1）问题背景

如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．请探究线段BD与CE的数量关系．（事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）M图1

BD=2CE（2）类比探索在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；M

BD=2CE（3）拓展延伸

在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD与CE的数量关系．结论：BD=

CE（用含n的代数式表示）．M2nΔBAD∽ΔCAMΔBCM是等腰三角形即BD=nCMCM=2CE∴BD=2nCE方法总结ΔBAD≌ΔCAMΔBCM是等腰三角形ΔBAD∽ΔCAMΔBCM是等腰三角形MΔBAD≌ΔCAMΔBCM是等腰三角形类比M类比MC（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．问题探究例.(2010河南22）（1）操作发现

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，

且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由；（3）类比探究

保持（1）中的条件不变，若DC=nDF，求

的值.（2）问题解决

保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求

的值；EABCDFG（1）操作发现

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由；ABCDEFGABCDEFG1243（2）问题解决

保持（1）中的条件不变，

若DC=2DF，求

的值；BCADEFG（3）类比探究保持（1）中的条件不变，若DC=nDF，求

的值；ABCDEFG（2）问题解决

保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求

的值；BCADEFGABCDEFG（3）类比探究保持（1）中的条件不变，若DC=nDF，求

的值；类比过程示范：ABCDEFG解：设FD=a,∴由（1）知，GF=DF,则GF=a又∵在矩形ABCD中，∴CF=a,

AB=CD=2a由折叠可知，BG=AB=2a∴在RtΔBFC中，DC=2DFDC=nDF∴CF=(n-1)a,AB=CD=na由折叠可知，BG=AB=naBCADEFG类比解：由（1）知，∠3=∠4∴∠2+∠3=90°，即∠BEF=90°又∵在RtΔABE中，∠1+∠5=90°∴∠1+∠4=90°由折叠可知，∠1=∠2∴∠4=∠5ABCDEFG12345∴RtΔABE∽RtΔDEF又∵DC=2DF∴设FD=a,则CF=a,AB=2a又∵点E是AD的中点∴设AE=x,则ED=xABCDEFGxx又∵∠A=∠D=90°又∵DC=nDF∴设FD=a,则CF=(n-1)a,AB=na题型变式：（2014新乡一模第22题）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不与点B重合），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1），求证：△BOG≌△POE；MΔBAD≌ΔCAM（2）通过观察、测量，猜想：=，并结合图2证