决议计划讲义四

决策分析DecisionAnalysis课程要求：1、听课不用记笔记。不点名。2、作业全部做成电子文档，用Email递交，作业记成绩，占课程成绩的30％。3、考试闭卷。卷面成绩占课程成绩的70％。教师信息：管理学院蒋绍忠办公室：玉泉校区行政楼319办公电话：87952181第二部分多目标决策基本概念层次分析法目标规划第一部分不确定型和风险型决策不确定型决策风险型决策目录不确定型和风险型决策决策的定义：在一定的环境中，决策者在若干可以采取的方案中决定其中的一种并加以实施，使实施的结果对预定的目标最好。决策的要素：决策者： 单一决策者多个决策者（群决策）决策环境： 确定性环境 不确定性环境风险环境 决策目标： 单目标 多目标决策（Decision）和对策（Game）“决策”是具有能动性的一方——决策者和变化的，但没有能动性的另一方——决策环境之间的“较量”。决策环境是变化的，但这些变化和决策者的决策无关。“对策”是具有能动性的一方和同样具有能动性的另一方之间的“较量”。两方都会根据对方的决策，调整自己的行为，使结果对自己有利或使对方不利。研究对策的科学称为对策论或博弈论（GameTheory）。我国古代的“田忌赛马”就是一个对策的例子。对策最简单的例子是所谓“二人零和对策”。乙方A2B2C2甲方A16-416B1-3323C115-15D1-2434-3-4-1极大－极大/极小－极小准则：双方都以自己获利最大为准则。甲：Max{max(6,-4,1),max(-3,3,2),max(1,5,-1),max(-2,4,3)}=Max{6,3,1,4}=6乙：Min{min(6,-3,1,-2),min(-4,3,5,4),min(1,2,-1,3)}=Min{-3,-4,-1}=-4A1→B2→C1→C2→D1→A2→A1不存在稳态解。乙方A2B2C2甲方A16-41-4B1-332-3C115-1-1D1-243-2653极小－极大准则：双方都以自己可能遭遇的各种最坏情况下争取最好结果为准则。甲：Max{min(6,-4,1),min(-3,3,2),min(1,5,-1),min(-2,4,3)}=Max{-4,-3,-1,-2}=-1乙：Min{max(6,-3,1,-2),max(-4,3,5,4),max(1,2,-1,3)}=Min{6,5,3}=3稳态解为C1-C2。确定环境下的决策运筹学中线性规划、非线性规划和动态规划都是确定环境下的决策方法不确定环境下的决策决策者面临的决策环境由一些自然状态组成，决策者可以采取若干决策方案，每一种决策方案在不同的自然状态下出现的结果是已知的，但决策者不能预先估计各种自然状态出现的概率。不确定决策的几种准则：悲观准则乐观准则等可能性准则乐观系数准则后悔值准则悲观准则：：最坏的情情况下争取取最好的结结果例1.某某工厂决定定投产一种种新产品。。投产以后后销售情况况有好、中中等、差三三种可能，，但厂家目目前无法估估计这三种种情况出现现的概率。。产品的生生产批量有有大中小三三种选择。。不同的生生产批量在在不同的市市场销售情情况下企业业的收益如如下表：收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3MinMax(min)大批量（S1）500300-250-250100中批量（S2）3002008080小批量（S3）200150100100*按照这个准准则，最优优决策是小小批量生产产收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3MaxMax(max)大批量（S1）500300－250500*500中批量（S2）30020080300小批量（S3）200150100200乐观准则：：最好的情情况下争取取最好的结结果按照这个准准则，最优优决策是大大批量生产产讨论：你认认为悲观和和乐观的决决策准则在在实际决策策问题可行行吗？有那那些不足？？悲观准则则和乐观观准则都都假定，，决策环环境是不不确定的的，而不不确定的的决策环环境中可可能出现现的各种种状态的的可能性性是不可可知的或或不可度度量的。。如果这这些状态态出现的的可能性性是可以以度量的的，决策策问题就就转变成成为风险险型决策策。收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3期望值最大期望值概率（pi）1/31/31/3大批量（S1）500300－250183.33193.33中批量（S2）30020080193.33*小批量（S3）200150100150.00等可能性性准则：：假设等可可能性条条件下，，期望值值最大按照这个个准则，，最优决决策是中中批量生生产乐观系数数准则：：乐观系系数α（（0≤≤α≤1）收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3CVi大批量（S1）500300－250275*中批量（S2）30020080234小批量（S3）200150100170对于α＝＝0.7 （1－αα）＝＝0.3最优决策策为大批批量生产产CV1＝0.7max(500,300,-250)+0.3min(500,300,-250)=350-75=275CV2=0.7max(300,200,80)+0.3min(300,200,80)=210+24=234CV3=0.7max(200,150,100)+0.3(200,150,100)=140+30=170对于α＝＝0.5 （1－αα）＝＝0.5收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3CVi大批量（S1）500300－250125中批量（S2）30020080190*小批量（S3）200150100150最优决策策为中批批量生产产CV1＝0.5max(500,300,-250)+0.5min(500,300,-250)=250-125=125CV2=0.5max(300,200,80)+0.5min(300,200,80)=150+40=190CV3=0.5max(200,150,100)+0.5(200,150,100)=100+50=150对于α＝＝0.3 （1－αα）＝＝0.7收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3CVi大批量（S1）500300－250－25中批量（S2）30020080146*小批量（S3）200150100130最优决策策为中批批量生产产CV1＝0.3max(500,300,-250)+0.7min(500,300,-250)=150-175=-25CV2=0.3max(300,200,80)+0.7min(300,200,80)=90+56=146CV3=0.3max(200,150,100)+0.7(200,150,100)=60+70=130后悔值准则：：以最大后悔值值中的最小的的为最优决策策收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3大批量（S1）500300－250中批量（S2）30020080小批量（S3）200150100Max(Si,Nj)500300100收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3Max(Si,Nj)大批量（S1）00350350中批量（S2）20010020200*小批量（S3）3001500300后悔值矩阵风险型决策最大可能决策策收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3概率（pi）大批量（S1）500300－250中批量（S2）30020080小批量（S3）200150100*100最大可能为需需求小，按最最大可能考虑虑，应采用小小批量生产。。最大可能决决策用于一种种状态的可能能性明显大于于其它状态时时，如果几种种状态发生的的概率相差不不大，则不适适用。决策者能预先估计决策环境中各各种自然状态态出现的概率。期望值决策收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3期望值概率（pi）大批量（S1）500300－250－65中批量（S2）30020080126*小批量（S3）200150100120选择期望值最最大的决策为为最优决策中批量的决策策为最优决策策。决策树确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7500300-25030020080200150100决策节点概率节点收益-65126120126∥∥多层决策树确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1P(N1)=0.1N2P(N1)=0.2N3P(N1)=0.7N1P(N1)=0.1N2P(N1)=0.2N3P(N1)=0.7N1P(N1)=0.1N2P(N1)=0.2N3P(N1)=0.750030030020080200150100129.6126120∥∥技术改造S4S5局部改造彻底改造成功P=0.8失败P=0.2成功P=0.6失败P=0.4500-6001000-900280240∥280129.6完备信息的价价值如果有一个市市场预测专家家，他不能改改变这种产品品的市场销售售状况的概率率分布，但他他能完全精确确地预测这种种产品的市场场销售状况。。这样的信息息称为完备信信息。这样的的信息的期望望收益称为完完备信息的期期望收益。完完备信息的期期望收益显然然要高于不具具有完备信息息的期望收益益。两者之差差称为完备信信息的价值。。确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7500300-25030020080200150100-65126120126500300100完备信息的期期望值为：0.1×500＋0.2×300＋＋0.7×100＝180万元完备信息的价价值为：180－126＝54万元元S1确定批量确定批量确定批量需求量大大（0.1）需求量中中（0.2）需求量小小（0.7）大批量中批量小批量大批量中批量小批量大批量中批量小批量500300200300200150-25080100∥∥∥∥∥∥100300500180风险决策策的效用用理论以上的风风险决策策方法是是建立在在以方案案的期望望值大小小作为决决策准则则的基础础上的。。但在实实际生活活中，经经常发生生实际的的决策行行为并不不遵从期期望值准准则的情情况。例如，对对于以下下几种情情况，要要求决策策这选择择其中对对自己最最有利的的一种：：抛一枚硬币，正面朝上得1000元，反面朝上反而要付出600元A抛一枚硬币，正面朝上得600元，反面朝上反而要付出200元B直接获取200元C这三个方方案的收收益期望望值都是是200，但决决策者对对它们的的偏好显显然是不不同的。。我们用用“效用用（Utility））”来表表示带有有风险的的收益对对决策者者的价值值。效用函数数的确定定由于不同同的决策策者对风风险的态态度不同同，同样样的决策策方案，，对不同同的决策策者效用用值是不不同的。。在各种方方案中，，收益的的最大值值的效用用为1，，收益的的最小值值（损失失的最大大值）的的效用为为0。例如在上上例中，，u(1000)=1，u(-600)＝＝0。如果决策策者认为为C方案案必A方方案好，，说明u(200)>0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5如果将C方案中中的200元降降为100元，，仍有u(100)>0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5…..u(0)>0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5…..u(-100)<0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5…..u(-50)<0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5…..u(-10)=0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5x10004002000-40010.5600800-200-600U(x)0.75厌恶风险险的决策策者的效效用函数数喜好风险险的决策策者的效效用函数数决策者1：u(1000)=1，u(600)=0.85，u(200)=0.75，u(-200)=0.4，u(-600)=0决策者2：u(1000)=1，，u(600)=0.3，u(200)=0.15，u(-200)=0.1，u(-600)=0直接获取取200元抛一枚硬硬币，正正面朝上上得600元，，反面朝朝上反而而要付出出200元抛一枚硬硬币，正正面朝上上得1000元元，反面面朝上反反而要付付出600元ABC决策者者1：：u(A)=0.5×u(1000)+0.5×u(-600)=0.5u(B)=0.5××u(600)+0.5×u(-200)=0.625u(C)>u(B)>u(A)u(C)=u(200)=0.75决策者者2：：u(A)=0.5×u(1000)+0.5×u(-600)=0.5u(B)=0.5××u(600)+0.5×u(-200)=0.2u(A)>u(B)>u(C)u(C)=u(200)=0.15决策者者1：：u(1000)=1，，u(600)=0.85，，u(200)=0.75，，u(-200)=0.4，，u(-600)=0决策者2：：u(1000)=1，u(600)=0.3，u(200)=0.15，u(-200)=0.1，u(-600)=0应用期望效效用准则的的决策树方方法确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大大)P(N1)=0.1N2(需求量中中)P(N1)=0.2N3(需求量小小)P(N1)=0.7N1(需求量大大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7N1(需求量大)P(N1)=0.1N2(需求量中)P(N1)=0.2N3(需求量小)P(N1)=0.7500300-25030020080200150100-65126120126∥∥5004003002001000-100-200-2501决策者1决策者2收益50030020015010080－250效用11.00.80.780.750.720.70.0效用21.050.320.30.0确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大大)P(N1)=0.1N2(需求量中中)P(N1)=0.2N3(需求量小小)P(N1)=0.7N1(需求量大大)P(N1)=0.1N2(需求量中中)P(N1)=0.2N3(需求量小小)P(N1)=0.7N1(需求量大大)P(N1)=0.1N2(需求量中中)P(N1)=0.2N3(需求量小小)P(N1)=0.7500300-250300200802001501001261.00.800.80.780.70.780.750.721.00.500.40.350.32期望值决策者1的的效用期望望决策者2的的效用期望望收益效用1效用2如果洪水强强度在水坝坝设计标准准以内，不不会造成任任何损失，，而且只要要在设计标标准以内，，洪水越大大，蓄水、、发电等效效益越显著著。如果洪洪水强度超超过设计标标准，不仅仅将危及大大坝安全，，还会对下下游人民生生命财产造造成巨大损损失，高程程越高，损损失越大。。不同高程程的水坝，，遇到不同同强度的洪洪水，效益益和损失（（千万元））如下表所所示：在一条河河流上计计划建造造一座水水电站，，水坝的的高程有有50米米，80米和100米米三种方方案。三三种高程程的水坝坝分别可可以抵御御20年年一遇（（即发生生概率为为0.05）、、50年年一遇（（即发生生概率为为0.02）和和100年一遇遇（发生生概率为为0.01）的的洪水。。

水坝高程洪水强度发生概率50米80米100米小于20年一遇0.90587620年一遇0.0520151050年一遇0.02－6200180100年一遇0.01－15－30500大于100年一遇0.015－20－100－200损益期望值7.679.28511.53以损益期期望值为为评价指指标，100米米高层为为最优决决策益损值-200-100-30-20-15-667效用0.010.720.730.740.75益损值8101520180200500效用0.760.770.780.80.930.951.01.00.20.0益损值-200-100-30-20-15-667效用0.000.500.700.710.720.730.740.75益损值8101520180200500效用0.760.770.780.800.930.951.00

水坝高程洪水强度发生概率50米80米100米小于20年一遇0.9050.760.750.7420年一遇0.050.800.780.7750年一遇0.020.730.950.93100年一遇0.010.720.701.00大于100年一遇0.0150.710.500.00损益期望值0.7600.7510.737以效用期期望值为为评价指指标，50米高高层为最最优决策策有一个风风险投资资的机会会，成功功和失败败的概率率都是0.5。。投资1元，如如果成功功可以得得到1.6元的的利润，，即资本本成为2.6元元。如果果失败，，则损失失1元，，即资本本成为0。开始的资资本为100万万元。投投资的次次数和每每次投资资额不限限。为了了不至于于把钱输输光，投投资者采采取如下下的策略略：每次次总是将将资本的的一半去去投资。。问题：这这项投资资的结局局如何，，是一本本万利，，还是一一贫如洗洗？问题1：风险决策的一个讨论题答案1：：设初始始资本为为a元，，资本增增值率K=1.6第一次投投资a/2元如果成功功，资本本为a1=a+K（a/2）=(1+K/2)a如果失败败，资本本为a1=0.5a第一次投投资后的的期望资资本为：：E1=0.5×(1+K/2)a+0.5×0.5a=(0.75+0.25K)a第二次投投资(0.75+0.25K)a/2如果成功功，资本本为a2=(0.75+0.25K)a+K(0.75+0.25K)a/2=(0.75+0.25K)a(1+K/2)如果失败败，资本本为a2=(0.75+0.25K)a/2第二次投投资后的的期望资资本为E2=0.5×(0.75+0.25K)a(1+K/2)＋0.5××(0.75+0.25K)a/2＝(0.75+0.25K)(0.75+0.25K)a=(0.75+0.25K)2a依次类推推，第n次投资资以后的的期望资资本为En=(0.75+0.25K)na用K=1.6,代入En=(1.15)na即随着投投资次数数的增加加，期望望资本会会无限增增大。是是一项一一本万利利的生意意。答案2：：设投资2n次，，其中成成功和失失败各占占n次第一次投投资成功功资本成成为a1=a+1.6××a/2=1.8a第二次投投资又成成功，资资本a2=1.8a+1.6××1.8a/2=1.82a……..第n次成成功，资资本成为为 an=(1.8)na第1次失失败，资资本成为为an＋1=0.5(1.8)na……第n次失失败，资资本成为为a2n=(0.5)n(1.8)na=(0.9)na随着投资资次数的的增加，，资本将将减少到到0。投投资的结结果将血血本无归归。讨论题：：当投资资次数无无限增大大时，投投资者的的资本究究竟是““一本万万利”还还是“血血本无归归”？错错的答案案错在哪哪里？例一风风险投投资的计计算机模模拟实验验1、建立立一张Excel表，，模拟投投资次数数设定为为100次。当当前资本本为100万元元。第二二次投资资前的资资本（B5）等等于第一一次投资资后的资资本（E4），，……，，依次定定义每次次投资前前的资本本为上一一次投资资后的资资本。2、对每一一次模拟投投资，设置置一个在[0，1]区间均匀匀分布的随随机变量。。按功能键键F9，所所有随机变变量会重新新产生一次次。3、定义义投资成成功与否否。如果果相应的的随机变变量小于于0.5，投资资失败（（D4=0），，否则投投资成功功（D4=1））。由于于随机变变量在区区间[0,1]中是均均匀分布布的，因因此投资资成功河河失败的的次数各各占一半半。4、计算算投资后后的资本本。按F9键，，刷新随随机数，，进行新新的100次模模拟投资资实验。。5、用图图形表示示100次模拟拟投资实实验中资资本变化化。按F9键，，刷新随随机数，，可以得得到新的的资本变变化图形形。例二回回收带带有随机机性的风风险投资资模拟实实验一项长期期风险投投资，初初期投资资100万元，，分四年年回收。。利率r=5％％。每年年投资回回报是随随机的，，服从正正态分布布期望值值和方差差如下表表：年份1234期望值（万元）40302520标准差（万元）2345求这个项项目的平平均净现现值和内内部回收收率1234IR1R2R3R4投资净现现值内部回收收率IRR：：使NPV=0的利率率NPVrIRR随着利率率r的增增加，NPV随随之下降降，NPV降到到0时的的利率就就是内部部回收率率IRR演示第一次作作业有一项长长期投资资，分三三年投入入，投资资额是确确定的，，回收额额是随机机的，服服从正态态分布。。投资贴贴现率为为5％。。每年需需要投入入的资金金以及预预计前五五年的投投资回报报额的期期望值和和标准差差如下表表所示：：年份012345投资当年值（万元）305020－－－回收期望值（万元）－1520303510回收标准差（万元）－22.53.03.54.0用随机模模拟的方方法求这这个项目目的平均均净现值值和内部部回收率率存储问问题存储是是一种种常见见的现现象。。无论论社会会经济济系统统、环环境生生态系系统、、生物物生命命系统统，普普遍存存在存存储现现象。。流水生生产线线工位位上的的在制制品堆堆栈——在制制品存存储火力发发电厂厂的燃燃煤堆堆场——原料料存储储海洋、、湖泊泊在调调节大大气环环流中中的作作用——能量量存储储人体内内部的的脂肪肪—能能量存存储存储的的作用用系统和和环境境中间间形成成缓冲冲，防防止和和减少少环境境变化化对系系统运运行的的影响响系统内内部各各部分分之间间形成成缓冲冲，起起到各各部分分之间间的解解耦，，提高高系统统的可可靠性性和稳稳定性性提高存存储量量和存存储成成本，，降低低系统统中各各部件件的可可靠性性成本本和系系统的的运行行成本本存储模模型设有一一个仓仓库，，存放放某种种物品品。每每件物物品在在仓库库中存存放一一天的的费用用为c（元元/件件天）），这这种物物品每每天的的需求求量为为dt，需求求量dt可以是是一个个常数数，也也可以以是随随机变变量。。根据据需求求，每每天从从该仓仓库提提取相相应数数量的的物品品。期初仓仓库中中物品品的数数量为为Q，，随着着每天天提货货，库库存量量不断断减少少。为为了不不断满满足需需求，，需要要经常常补充充物品品。每每次补补充物物品的的数量量为R，补补充数数量R可以以是一一个常常数，，也可可以是是一个个变数数。每每补充充一次次物品品的费费用为为cs是一个个常数数，与与补充充物品品的数数量无无关。。每两两次补补充之之间的的时间间间隔隔为T，补补充时时间间间隔可可以是是常数数，也也可以以是变变数。。假定定一次次补充充需要要的时时间很很短，，可以以忽略略不计计。当库存存量减减少到到0，，如果果还不不补充充，需需求就就不能能满足足，这这样就就形成成缺货货。缺缺货可可以用用负的的库存存表示示。下下一次次补充充时，，已形形成的的缺货货可以以补给给，也也可以以不给给。缺缺货会会造成成缺货货损失失，一一件缺缺货每每天的的损失失为s，一一般情情况下下，缺缺货损损失要要比正正常库库存费费用大大。该存储储系统统的总总费用用由库库存费费用、、补充充费用用和缺缺货损损失三三部分分组成成。存储模模型的的分类类按需求求类型型分确定性性需求求随机性性需求求按补充充周期期分定期补补充：：补充充周期期为t不定期期补充充：设设立最最低库库存L(Low)，，实际际库存存等于于或低低于最最低库库存，，立即即补充充按补充充数量量分定值补补充：：无论论补充充时库库存量量还有有多少少，每每次补补充到到一个个库存存的最最高值值H(High)等值补补充：：无论论补充充时库库存量量还有有多少少，每每次补补充一一个设设定值值R(Refreshment)t定期等值补充（不允许缺货）TTTRRt定期等值补充（允许缺货）TTTRRt定期定值补充（允许缺货）TTTHHtTTT定期定值补充（不允许缺货）Ht不定期定值补充（不允许缺货）Lt不定期定值补充（允许缺货）HL不定期等值补充（不允许缺货）tRLRt不定期等值补充（允许缺货）RLR确定性性库存存模型型确定性性库存存模型型的基基本假假设：：每天的的需求求量是是一个个常数数d，，每件件物品品每天天的存存储费费用为为c不允许许缺货货，存存储量量降到到0，，立即即补充充。补补充瞬瞬时完完成。。每次补补充数数量相相等为为Q。。每次次补充充费用用为Cs，，两次次补充充的时时间间间隔相相等设设为T。QTQTQ=Td[0，，T]内平平均存存储量量＝[0，，T]内存存储费费用=[0，，T]内总总费用用：[0，，T]内平平均费费用：：补充周周期T变化化，使使平均均费用用最小小，即即最优补补充周周期：：最优补补充批批量（（经济济批量量）：：存储问问题经经济批批量的的模拟拟模型型（见““库存补补充策策略”）第二次次作业业：用用Excel建建立库库存随随机模模拟模模型1、建建立确确定性性存储储模型型，其其中补补充批批量Q=200，库库存费费用c=5元/件天天，补补充费费用Cs＝＝20元/次，，需求求量d=10件件/天天，不不允许许缺货货，存存储量量为0时立立即将将存储储量补补充到到Q。。用模模拟方方法求求使总总费用用最小小的经经济批批量。。2、建建立随随机性性存储储模型型，库库存费费用c=5元/件天天，补补充费费用Cs＝＝20元/次，，需求求量d服从从正态态分布布，期期望值值为10元元/天天，标标准差差为2件/天，，不允允许缺缺货，，存储储量为为0时时立即即补充充到Q＝200件。。用模模拟方方法求求使总总费用用最小小的经经济批批量Q。模模拟时时间为为50天。。3、建建立随随机性性存储储模型型，库库存费费用c=5元/件天天，补补充费费用Cs＝＝20元/次，，需求求量d服从从正态态分布布，期期望值值为10元元/天天，标标准差差为2件/天，，不允允许缺缺货，，存储储量小小于或或等于于10件时时立即即补充充Q＝＝100件件。用用模拟拟方法法求使使总费费用最最小的的经济济批量量Q。。模拟拟时间间为50天天。多目标标决策策多目标标决策策的基基本概概念设决策策方案案X的的集合合为，每每一个个决策策X∈∈都有有K个个目标标值全全为极极小化化目标标，记记为min{f1(X)，f2(X)，………，，fk(X)}如果有有两个个决策策X1、X2，第一一个决决策的的K个个目标标都小小于第第二个个决策策相应应的K个目目标，，即f1(X1)<f1(X2)，f2(X1)<f2(X2)，……，fk(X1)<fk(X2)则称决决策X1（绝对对）优优于决决策X2，X2称为劣劣解。。如果以以上不不等式式中至至少有有一个个是等等号，，则称称决策策X1不劣于于决策策X2。Pareto最最优决策X*∈∈，它它的K个目目标值值为f1(X*)，，f2(X*)，，………，，fk(X*)如果对对于任任意X∈∈都至至少有有一个个目标标i，，满足足fi(X)>fi(X*)则称X*为为一个个Pareto解（（也称称为非非劣解解、有有效解解）如果有有一个个以上上的Pareto解解，这这些Pareto解解组成成的集集合称称为Pareto集集。f1(X)f2(X)f(x)xPareto集集x1x2x4x5x3图中x1、x5为劣解解，x2、x3、x4为Pareto解劣解劣解Pareto解解集的的图解解maxz1=3x1+2x2maxz2=-x1+2x21+x2≤62x1+x2≤10x1+2x2≤10x1，x2≥0目标函数数线性加加权：z=1z1+2z20≤1,2≤11+2＝1由图解可可以看出出，最优优解必定定是一个个Pareto解。6543210123456z2z11z1+2z2多目标线线性规划划f1(x)f2(x)非劣解集集Pareto集集多目标线线性规划划的Pareto解集集劣解多目标决决策的方方法一、多目目标转化化为单目目标1、评价价函数法法F(X)=U{f1(X)，，f2(X)，，…，fK(X)}将多目标标转化为为单目标标线性加权权法F(X)=1f1(X)+2f2(X)+………+KfK(X)其中0≤≤1，2，…，K≤1，称称为目标标权重。。例1：住住房选择择（决策策空间是是离散的的）面积（m2）单价（元/m2）朝向地段楼层住房A2004800南丙四层住房B1805500西甲七层住房C1504000东乙三层确定各目目标最理理想和最最不理想想的值，，将各目目标进行行归一化化处理最最理想的的值为1，最不不理想的的值为0，将各各决策方方案的实实际目标标值转化化为0～～1之间间的值。。面积（m2）单价（元/m2）朝向地段楼层最好200(1.0)3000(1.0)南(1.0)甲(1.0)三层(1.0)最差75(0.0)6000(0.0)北(0.0)丁(0.0)一层(0.0)实际指标A2004800南丙四层B1805500西甲七层C1504000东乙三层归一化A1.00.4001.00.40.9B0.840.1670.41.00.6C0.600.66确定各目目标的权权重面积（m2）单价（元/m2）朝向地段楼层评价值目标权重50.20.1住房A1.00.4001.090住房B0.840.1670.41.00.60.580住房C0.600.660.695*住房A2004800南丙四层住房B1805500西甲七层住房C1504000东乙三层根据评价价值，选选择住房房C是最最优决策策。线性性加权法法的缺点点是各目目标的权权重完全全由主观观确定，，而权重重的选取取对决策策结果起起着十分分关键的的作用。。设目标重重要性由由大到小小依次为为：单价价—面积积—朝向向—地段段—楼层层确定目目标权重重1+2+3+4+5=1，1>1>2>3>4>5>0计算算各方案案的评价价指标F(X)=4fi(X)，，评价指指标最高高的为最最优决策策线性加权权法的优优点方便直观观，简单单易行可以利用用丰富的的单目标标决策方方法和软软件缺点权重的确确定完全全靠决策策者主观观判断对不同量量纲的目目标，合合成以后后的目标标实际意意义不明明层次分析析法AHP，，AnalysisofHierarchyProcess层次分析法法是由T.L.Saaty提出的的一种确定定多目标决决策中各目目标的权重重的方法，，不仅在多多目标决策策中有重要要作用，在在管理以外外的其它学学科也有许许多应用。。在多目标决决策中，各各目标的权权重对分析析结果具有有重要影响响，但权重重的确定比比较困难。。层次分析析法的基础础是目标的的分层和对对同一层次次的各目标标的重要性性进行两两两比较，使使确定各目目标的权重重的任务具具有可操作作性。矩阵的特征征向量和特特征根层次分析法法的原理单层次模型型多层次模型型矩阵的特征征向量和特特征根设A是n××n非奇异异的矩阵，，如果存在在一个实数数0和一一个n×1的非零向向量V，满满足AV=V则称V为矩矩阵A的特特征向量，，为矩矩阵A的一一个特征根根。例如有有两个特特征向量和和相应的特特征根矩阵特征根根的计算由线性代数数可知，方方程组AV=V即即(A-I)V=0有非零零解的条件件是系数行行列式|A-I|=0。其中I为单单位矩阵。。例如展开行列式式(-4-)(3-)+10=0，2＋－2＝0求解二次方方程，得到到矩阵的特特征根1＝1，2＝－2对于高阶矩矩阵，用行行列式计算算特征根需需要求解高高次方程，，计算比较较复杂，可可以采用叠叠代法。判断矩阵特特征向量和和特征根的的叠代算法法任取一个初初始n×1向量计算已经收敛。。因此判断断矩阵的特特征向量并且max=1特征向量为为问题2：是否可以编制一个用叠代法计算矩阵特征向量和特征根的小程序？求判断矩阵阵特征向量量和特征根根（近似值值）的“和和法”将每一列相相加，得到到：特征向量为为归一化问题3：求矩阵特征根还有一个近似的方法称为“幂法”，自己查阅文献学会这种方法。层次分析法法原理设n个物体体，重量分分别为w1，w2，…，wn，总总量将w1，w2，…，wn归一化，即即令归一化以后后的重量满满足如果已知这这n个物体体总量两两两比较的值值，能否求求出它们（（归一化））的重量？？设n个物体体重量的两两两比较判判断矩阵如如下例如，四个个物体的重重量为w1=2，w2=1，w3=3，w4=4（公斤斤）它们的总重重量W=10公斤，，归一化的的重量为四个物体两两两比较的的判断矩阵阵为这个矩阵具具有以下特特点：1、对角线线上的元素素aii=1（（i=1,2,…,n）2、以对角角线对称的的元素互为为倒数aij=1/aji（i,j=1,2,…,n））3、各物体体之间的相相对重量比比值是一致致的aij=aik/ajk（i,j=1,2,…,n）4、n个物物体归一化化的重量组组成的向量量是判断矩矩阵的一个个特征向量量，对应的的最大特征征根max=n。因此，只要要给出判断断矩阵，就就可以求出出n个物体体的归一化化重量。同样，在多多目标决策策中，如果果能给出各各目标重要要性两两比比较的判断断矩阵，就就可以求出出这些目标标（归一化化）的相对对重要性。。设目标C由由n个元素素A1，A2，…，An组成，对这这n个元素素相对于目目标C的重重要性作两两两比较，，构成以下下判断矩阵阵：其中aij=1,2,3,4,5,6,7,8,9以及1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，1/7，1/8，1/9。这这些数字的的含义为：：CA1A2…AnA1a11a12…a1nA2a21a22…a2n……………Anan1an2…annaij含义1元素i和元素j同等重要3元素i比元素j稍微重要5元素i比元素j明显重要7元素i比元素j强烈重要9元素i比元素j绝对重要与物体的重重量之比不不同，目标标的重要性性判断矩阵阵可能是不不一致的。。即可能出出现A1比A2重要，A2比A3重要，，A3又比A1重要这这样的的判断断。如如果不不一致致性在在一定定的范范围以以内，，判断断矩阵阵还是是有效效的，，不一一致性性超出出一定定的范范围，，判断断矩阵阵的有有效性性就有有问题题。线性代数可以以证明，判断断矩阵的不一一致性可以由由矩阵的最大大特征根max表示，当判断断矩阵完全一一致时，max＝n，不完全全一致时，max>n，max越大说明不一一致性越严重重。单层次分析法法的步骤：构造组成目标标各元素的重重要性两两比比较判断矩阵阵；求解判断矩阵阵的最大特征征根max和相应的特征征向量；；判断矩阵的一一致性检验。。如果通过一一致性检验，，得到的特征征向量就是各各元素的权重重。一致性检验的的步骤如下：：计算一致性指指标C.I.计算平均随机机一致性指标标R.I.这这个指标是是随机产生的的不同维数的的判断矩阵的的特征根的平平均值计算一致性比比例当C.R.<0.1时，，认为判断矩矩阵的一致性性是可以接受受的。n12345678910R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.49n1112131415R.I.1.521.541.561.581.59理想的住房A单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C5舒适B2经济B1便利B3建立目标的层层次结构对目标A经济B1舒适B2便利B3经济B1137舒适B21/313便利B31/71/31单层分析：层层次B对目标标A的两两判判断矩阵理想的住房A舒适B2经济B1便利B3计算B-A判判断矩阵的特特征向量和特特征根一致性检验层次C对目标标B1的两两判断矩矩阵经济B1单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C5经济单价面积楼层地段朝向单价11517面积11517楼层1/51/511/53地段11519朝向1/71/71/31/91max=5.1212C.I.=0.0303R.I.=1.12C.R.=0.02<0.1层次C对目标标B2的两两判断矩矩阵舒适B2单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C5舒适单价面积楼层地段朝向单价11/71/31/51/3面积71515楼层31/511/35地段51315朝向31/51/51/51max=5.60C.I.=0.15R.I.=1.12C.R.=0.13>0.1层次C对目目标B3的两两判断断矩阵便利B3单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C5便利单价面积楼层地段朝向单价111/31/71面积111/31/71楼层3311/53地段77517朝向111/31/71max=5.087C.I.=0.022R.I.=1.12C.R.=0.019<0.1理想的住房房A舒适B2经济B1便利B3单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C50.6540.2580.0880.2810.2810.0730.567….….…..得到分层次次的权重B对A的权重经济(B1)舒适(B2)便利(B3)C对A的总权重权重排序0.6540.2580.088C对B的权重单价(C1)0.2810.0400.0730.201三面积(C2)0.2810.3790.0730.288二楼层(C3)0.0860.1900.2140.124四地段(C4)0.3180.2990.5670.335一朝向(C5)0.0320.0920.0730.051五计算各基层层因素对总总目标的权权重项目总权重楼房A楼房B楼房C单价C10.2010.40.1670.667面积C20.2881.00.840.6楼层C30.1地段C40.33朝向C50.0511.00.40.7总评分0.6650.4040.701计算各决策策方案的评评分案例1：自自行车的功功能价值分分析编号名称数量价格编号名称数量价格A前轮圈及辐条1副I中轴1个B后轮圈及辐条1副J踏脚及牙盘1套C前轮内外胎1副K链条1条D后轮内外胎1副L链罩1个E车身1个M车闸1副F车把及前叉1副N挡泥板1副G前轴1个O座凳1个H后轴及飞轮1副P后架1个自行车的部部件名称、、成本如下下表所示：：自行车的功功能行进其他（舒适适、方便等等）载重前轮圈及辐辐条后轮圈及辐辐条……座凳后架自行车部件件的功能层层次结构用层次分析析方法确定定各部件的的功能权重重，与各部部件的价格格权重比较较，部件的的功能权重重和价格权权重是否匹匹配。根据据两个权重重匹配的情情况，提出出改进的意意见。第三次作业业：自行确确定一个产产品，建立立它的功能能层次结构构模型，列列出它的零零部件结构构和零部件件成本比重重，运用层层次分析方方法确定各各零部件的的功能权重重，进行功功能成本分分析。目标规划（（GoalProgramming）线性规划是是一种应用用非常广泛泛的优化模模型，但它它也有以下下明显的缺缺点：1、只能求解解单目标问题；2、把约束条件和目目标函数作为完全不同同的概念来处处理，而在实实际问题中，，目标函数和和约束条件往往往是可以互互换的，并没没有严格的区区别。3、约束条件是刚性的，即可行解必必须在可行域域中。在一些些实际问题中中，约束条件件是可以突破破的，约束条条件的右边常常数并不是变变量上限或下下限，而是一一个希望能够够最接近的目目标。4、如果约束条件互不不相容，则线性规划划无可行解。。针对线性规划划的以上缺陷陷，A.Charnes和W.Cooper提出了了目标规划（（GoalProgramming），这是是一种求解多多目标线性规规划的方法。。目标规划分为为无优先级的目目标规划和有优先级的目目标规划。目标规划的图图解设线性规划问问题为maxz=2x1+3x21-x2≤1x1+x2≥2x2≤3x1，x2≥0由图解可知，，线性规划的的最优解为：：x1=4，x2=3maxz=1701234321-1minz=n1+p1+n2+p2+n3+p3+n4+p41+3x2+n1-p1=12(1)x1-x2+n2-p2=1(2)x1+x2+n3-p3=2(3)x2+n4-p4=3(4)x1,x2,n1,p1，n2,p2,n3,p3,n4,p4≥0相应的目标规规划问题为其中p1、p2、p3、p4称为正偏差变变量，n1、n2、n3、n4称为负偏差变变量。一般形式表示示为：012344321-1p3=3n4=12x1+3x2=12(1)x2=3(4)x1-x2=1(2)x1+x2=2(3)n1=4n2=2p3=1n4=1用LINDO求解以上问问题，得到目目标规划的最最优解为：minz=4，x1=3，x2=2p1=0,p2=0,p3=3,p4=0n1=0,n2=0,n3=0,n4=1minz=n1+p1+n2+p2+n3+p3+n4+p41+3x2+n1-p1=12(1)x1-x2+n2-p2=1(2)x1+x2+n3-p3=2(3)x2+n4-p4=3(4)x1,x2,ni,pi≥0产品A产品B产品C条件利润（万元/吨）941总利润最大化耗用原料（吨/吨）425耗用原料总量不超过38吨排放污染（m3/吨）213排放污染总量不超过26m3销售价格（万元/吨）301020销售总额不低于100万元总产量（吨）111总产量不低于18吨如果以利润为为目标函数，，线性规划模模型为：maxz=9x1+4x2+x31+2x2+5x3≤38 （1））原料总量量约束2x1+x2+3x3≤26 （2））排放污染染约束30x1+10x2+20x3≥100（（3）销销售总额约约束x1+x2+x3≥18 （4））总产量约约束x1,x2,x3≥0目标产品A产品B产品C目标的理想值正偏差变量负偏差变量利润（万元/吨）94177p1n1耗用原料（吨/吨）42538p2n2排放污染（m3/吨）21326p3n3销售价格（万元/吨）301020100p4n4总产量（吨）11118p5n5如果将利润润、耗用原原料等五个个因素作为为目标，确确定各目标标的理想值值以及偏差差变量如下下：如果目标大大于理想值值，正偏差差变量大于于0，小于于理想值，，负偏差变变量大于0。因此，，对第i个个目标，有有如果各目标无无优先级，要要使所有的目目标总偏差最最小，即目标规划的模模型为：对于每一个目目标，正偏差差变量和负偏偏差变量在系系数矩阵中的的列向量是两两个相同的单单位向量，是是线性相关的的，不可能同同时出现在基基矩阵中，因因此，以上问问题的任何一一个基础可行行解，同一个个目标的正负负偏差变量，，不可能两个个同时大于0。这一结果果的实际意义义也是很清楚楚的：任何一一个目标，不不可能既大于于理想值，又又小于理想值值。产品A产品B产品C目标的理想值正偏差变量负偏差变量产量（吨）0100RHSpini达到的目标值利润（万元）4077037耗用原料（吨）3038018排放污染（m3）1026016销售价格（万元）10010000总产量（吨）101808用单纯形法，，得到目标规规划的最优解解、各目标的的值以及偏差差变量的值最优解目标值偏差变量目标规划的特特点可以求解多目目标问题。克克服了线性规规划只能求解解单目标的缺缺点。用目标（Goal）的概概念取代了线线性规划中的的“约束条件件”，用偏离离各目标的总总偏差最小取取代了线性规规划中的目标标函数，消除除了线性规划划中目标函数数和约束条件件的对立。各目标值既可可以正偏差，，也可以负偏偏差，克服了了线性规划约约束条件的刚刚性。目标规划总是是有可行解的的。克服了线线性规划无解解的问题。目标有优先级级的目标规划划在上面的例子子中，利润、、耗用原料、、排放污染、、销售额、总总产量等五个个目标是一视视同仁的，最最优解是使偏偏离五个目标标的总偏差之之和最小。在在实际问题中中，这些目标标往往是有轻轻重缓急的。。产品A产品B产品C目标的理想值正偏差变量负偏差变量产量（吨）0100RHSpini达到的目标值利润（万元）4077037耗用原料（吨）3038018排放污染（m3）1026016销售价格（万元）10010000总产量（吨）101808确定五个目标标的优先级Pi（Pi=1，2，3，4，5）），数字越小小优先级越高高目标产品A产品B产品C优先级Pi目标的理想值正偏差变量负偏差变量利润（万元/吨）941177p1n1耗用原料（吨/吨）425538p2n2排放污染（m3/吨）213326p3n3销售价格（万元/吨）3010202100p4n4总产量（吨）111418p5n5目标有优先级级的目标规划划解法有：加权法字典序法目标产品A产品B产品C优先级权重理想值正偏差负偏差利润（万元/吨）94111000077p1n1耗用原料（吨/吨）4255138p2n2排放污染（m3/吨）213310026p3n3销售价格（万元/吨）30102021000100p4n4总产量（吨）11141018p5n5目标具有优先先级的目标规规划解法———加权法产品A产品B产品C理想值正偏差负偏差产量（吨）0100RHSpini无优先级利润（万元）4077037耗用原料（吨）3038018排放污染（m3）1026016销售价格（万元）10010000总产量（吨）101808产品A产品B产品C理想值正偏差负偏差产量（吨）119.250RHSpini有优先级1利润（万元）7777005耗用原料（吨）3838003排放污染（m3）19.252606.752销售价格（万元）192.510092.504总产量（吨）19.25181.250目标具有优先先级的目标规规划解法—字字典序优化（（Lexico-optimization））字典序法的原原则是：首先不顾其它它目标，对优优先级最高的的目标进行优优化，得到使使第一级目标标最优的决策策变量的值以以及第一级目目标函数的值值；然后在不使第第一级目标变变差的前提下下，优化第二二级目标；用同样的原则则，按优先级级从高到低，，依次优化各各级目标，直直至所有目标标都优化完毕毕。min{(n1+p1)，(n2+p2)，(n3+p3)，(n4+p4)}1+2x2