回归教材解析几何

6.解析几何第四篇回归教材，纠错例析，帮你减少高考失分点栏目索引要点回扣1易错警示2

查缺补漏3要点回扣

答案答案错2.直线方程的五种形式(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线.(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线.(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式.[问题2]

已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________________________.5x－y＝0或x＋y－6＝0答案3.两条直线的位置关系(1)若已知直线的斜截式方程，l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：①l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；②l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；③l1与l2相交⇔k1≠k2.(2)若已知直线的一般方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：①l1∥l2平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0；③l1与l2相交⇔A1B2－A2B1≠0；④l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0.[问题3]

设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当______________时l1与l2相交；当m＝____时，l1与l2重合.答案－1

m≠3且m≠－134.点到直线的距离及两平行直线间的距离答案[问题4]

两平行直线3x＋2y－5＝0与6x＋4y＋5＝0间的距离为________.5.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.－1答案[问题5]

若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a＝________.6.直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系来判定.(2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据Δ的符号来判断.

解析

√7.圆锥曲线的定义和性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程y2＝2px(p>0)图形范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b

离心率e＝1准线

通径|AB|＝2p渐近线

√所以抛物线方程为y2＝8x.解析8.(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切.(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长√解析返回所以|NF|∶|FM|＝1∶2.返回易错点1直线的倾斜角和斜率关系不清例1

直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(

)易错警示易错分析本题易混淆α和倾斜角的关系，不能真正理解斜率和倾斜角的实质，忽视倾斜角本身的范围.解析易错分析解析设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1,1]，所以－1≤tanθ≤1，√易错点2忽视直线的特殊位置易错分析本题易出现的问题是忽视直线斜率不存在的特殊情况，即忽视a＝0的情况.解析答案易错分析例2

已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0.求使l1∥l2的a的值.解当直线斜率不存在，即a＝0时，有l1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2；易错点3焦点位置考虑不全易错分析本题易出现的问题就是误以为给出方程的椭圆，其焦点在x轴上导致漏解.该题虽然给出了椭圆的方程，但并没有确定焦点所在坐标轴，所以应该根据其焦点所在坐标轴进行分类讨论.解析易错分析1或16答案解析①当椭圆的焦点在x轴上时，则由方程，得a2＝4，即a＝2.则由方程，得b2＝4，即b＝2.综上，m＝1或16.易错点4忽视二次项系数讨论和判别式限制例4

求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y2＝2x仅有一个公共点.易错分析直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点.Δ>0是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.易错分析解析答案解①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直于x轴，因为过点(0,1)，所以x＝0，即y轴，它正好与抛物线y2＝2x相切；

易错点5定点问题思路不清返回易错分析例5

已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.求证：直线MN恒过定点.易错分析直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解.本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN的方程后，对直线恒过定点的思路不清，找错方程的常数解.解析答案证明由题设，知F(1,0)，直线AB的斜率存在且不为0，设lAB：y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，同理，可得N(2k2＋1，－2k).解析答案返回故不论k为何值，直线MN恒过点(3,0).1.设向量a＝(a,1)，b＝(1，b)(ab≠0)，若a⊥b，则直线b2x＋y＝0与直线x－a2y＝0的位置关系是(

)A.平行

B.垂直C.相交但不垂直

D.重合1234查缺补漏√

解析5 678910√解析12345 678910解析如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知|OP|＝2，|OA|＝1，12345 678910√解析12345 678910解析两圆方程可化为(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－2b)2＝1，由题意知两圆外切，12345 678910即a2＋4b2＝9，√解析由∠F1PF2＝60°，|PF1|＝2|PF2|，可得∠PF2F1＝90°，解析12345 678910√解析12345 678910解析设|AF|＝a，|BF|＝b，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab∵a＋b＝|AF|＋|BF|＝2|MN|，12345 6789106.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________.解析答案12345 678910解析圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，7.(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________.

解析12345 678910答案

12345 678910x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°＝2a.

解析12345 678910答案解析根据题意，知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，

①解析12345 67891012345 678910

解析答案12345 678910解由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.

12345 678910解析答案解设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，12345 678910化简得(a＋k)(a－3k)＝0.而a＋k>0，所以a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，(1)求椭圆E的方程；12345 678910解析答案(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.返回1234