山东省东营市重点中学2022年高三第四次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（）A． B． C． D．2．函数在上的大致图象是（）A． B．C． D．3．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则下述四个结论：①②③④点为函数的一个对称中心其中所有正确结论的编号是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④4．是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．5．已知复数，若，则的值为（）A．1 B． C． D．6．已知是函数图象上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（）A． B． C．0 D．7．已知三棱柱()A． B． C． D．8．给出下列三个命题：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要条件；③将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．其中假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．若的展开式中的系数为150，则（）A．20 B．15 C．10 D．2510．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（）A． B． C． D．11．已知随机变量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差对所有都成立，则（）A． B． C． D．12．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数满足则点构成的区域的面积为____，的最大值为_________14．若,则=______,=______.15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________．16．已知，，且，则的最小值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在市与市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为.（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有个路口种植杨树，求的分布列以及数学期望；（3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为，求证：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818．（12分）已知函数的最大值为，其中.（1）求实数的值；（2）若求证:.19．（12分）已知函数.（1）若，解关于的不等式；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．21．（12分）已知函数.（1）若函数，试讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围.22．（10分）已知函数，.（1）判断函数在区间上的零点的个数；（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

首先由求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【详解】由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为,设的内切圆的半径为,则,故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.2．D【解析】

讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时，，则，所以函数在上单调递增，令，则，根据三角函数的性质，当时，，故切线的斜率变小，当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；当时，，则，所以函数在上单调递增，令，，当时，，故切线的斜率变大，当时，，故切线的斜率变小，可排除C，故选：D【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.3．B【解析】

首先根据三角函数的平移规则表示出，再根据对称性求出、，即可求出的解析式，从而验证可得；【详解】解：由题意可得，又∵和的图象都关于对称，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正确，②错误.故选：B【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.4．D【解析】

根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数，故.又有意义，故，故，所以.令，则，故在上为增函数，所以即，整理得到.故选：D.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.5．D【解析】由复数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.本题选择D选项.6．C【解析】

先画出函数图像和圆，可知，若设，则，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若设圆的圆心为，则，所以只要取得最小值，若设，则，然后构造函数，利用导数求其最小值即可.【详解】记圆的圆心为，设，则，设，记，则，令，因为在上单调递增，且，所以当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以（当时等号成立）.故选：C【点睛】此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.7．C【解析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝8．C【解析】

结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【详解】对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③.故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.9．C【解析】

通过二项式展开式的通项分析得到，即得解.【详解】由已知得，故当时，，于是有，则.故选：C【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．D【解析】

集合．为自然数集，由此能求出结果．【详解】解：集合．为自然数集，在A中，，正确；在B中，，正确；在C中，，正确；在D中，不是的子集，故D错误．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．D【解析】

根据X的分布列列式求出期望,方差,再利用将方差变形为,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为,进而得出结论.【详解】由X的分布列可得X的期望为,又,所以X的方差,因为,所以当且仅当时,取最大值,又对所有成立,所以,解得,故选:D.【点睛】本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.12．C【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.考点：三视图二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．811【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：数形结合可知，可行域为三角形，且底边长，高为，故区域面积；令，变为，显然直线过时，z最大，故.故答案为：；11.【点睛】本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题.14．10【解析】

①根据换底公式计算即可得解；②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.【详解】①由题：,则；②由①可得：.故答案为：①1，②0【点睛】此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.15．【解析】

求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可．【详解】半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，∴该正十二边形的面积为，根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为，故答案为：．【点睛】本小题主要考查面积型几何概型的计算，属于基础题.16．8【解析】

由整体代入法利用基本不等式即可求得最小值.【详解】，当且仅当时等号成立.故的最小值为8，故答案为：8.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，整体代入法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）没有（2）分布列见解析，（3）证明见解析【解析】

（1）根据公式计算卡方值，再对应卡值表判断..（2）根据题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，分别求得概率，写出分布列，根据期望公式求值.（3）因为至少8个的偶数个十字路口，所以，即.要证，即证，根据组合数公式，即证；易知有.成立.设个路口中有个路口种植杨树，下面分类讨论①当时，由论证.②当时，由论证.③当时，，设，再论证当时，取得最小值即可.【详解】（1）本次实验中，，故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.（2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，4，故，，01234故.（3）∵，∴.要证，即证；首先证明：对任意，有.证明：因为，所以.设个路口中有个路口种植杨树，①当时，，因为，所以，于是.②当时，，同上可得③当时，，设，当时，，显然，当即时，，当即时，，即；，因此，即.综上，，即.【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望、排列组合，还考查运算求解能力以及必然与或然思想，属于难题.18．（1）1；（2）证明见解析.【解析】

（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得的最大值，进而求得的值.（2）利用（1）的结论，将转化为，求得的取值范围，利用换元法，结合函数的单调性，证得，由此证得不等式成立.【详解】（1）当时，取得最大值.（2）证明:由（1）得，，，当且仅当时等号成立，令，则在上单调递减当时，.【点睛】本小题主要考查含有绝对值的函数的最值的求法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.19．（1）（2）【解析】

（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.【详解】（1）当时，，由此可知，的解集为（2）当时，的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.当时，，且，不恒成立，不符合题意.当时，，若，则，故不恒成立，不符合题意；若，则，故不恒成立，不符合题意.综上，.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20．(1);(2).【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以．进而得到角A；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到，联立两式得到．解析：（I）因为，所以，由正弦定理，得．又因为，，所以．又因为，所以．（II）由，得，由余弦定理，得，即，因为，解得.因为，所以.21．（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】

（1）由于函数，得出，分类讨论当和时，的正负，进而得出的单调性；（2）求出，令，得，设，通过导函数，可得出在上的单调性和值域，再分类讨论和时，的单调性，再结合，恒成立，即可求出的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以，①当时，，在上单调递减.②当时，令