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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知随机变量满足,,.若,则()A., B.,C., D.,2.函数在上单调递减,且是偶函数,若,则的取值范围是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)3.已知双曲线:(,)的焦距为.点为双曲线的右顶点,若点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.34.已知甲、乙两人独立出行,各租用共享单车一次(假定费用只可能为、、元).甲、乙租车费用为元的概率分别是、,甲、乙租车费用为元的概率分别是、,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为()A. B. C. D.5.已知,为两条不同直线,,,为三个不同平面,下列命题:①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则.其中正确命题序号为()A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③6.已知椭圆的短轴长为2,焦距为分别是椭圆的左、右焦点,若点为上的任意一点,则的取值范围为()A. B. C. D.7.如图,平面四边形中,,,,为等边三角形,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.8.数列满足:,则数列前项的和为A. B. C. D.9.某个命题与自然数有关,且已证得“假设时该命题成立,则时该命题也成立”.现已知当时,该命题不成立,那么()A.当时,该命题不成立 B.当时,该命题成立C.当时,该命题不成立 D.当时,该命题成立10.已知命题:R,;命题:R,,则下列命题中为真命题的是()A. B. C. D.11.已知函数,若关于的方程有4个不同的实数根,则实数的取值范围为()A. B. C. D.12.小张家订了一份报纸,送报人可能在早上之间把报送到小张家,小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件:“小张在离开家前能得到报纸”,设送报人到达的时间为,小张离开家的时间为,看成平面中的点,则用几何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是等比数列,且,,则__________,的最大值为__________.14.在一块土地上种植某种农作物,连续5年的产量(单位:吨)分别为9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.则该农作物的年平均产量是______吨.15.若函数在区间上恰有4个不同的零点,则正数的取值范围是______.16.在中,内角所对的边分别是,若,,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体,给人于美的享受.如图(1)为一花窗;图(2)所示是一扇窗中的一格,呈长方形,长30cm,宽26cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm,窗芯所需条形木料的长度之和为L.(1)试用x,y表示L;(2)如果要求六根支条的长度均不小于2cm,每个菱形的面积为130cm2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其它损耗)?18.(12分)如图,在四棱锥中,是边长为的正方形的中心,平面,为的中点.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.19.(12分)已知数列满足(),数列的前项和,(),且,.(1)求数列的通项公式:(2)求数列的通项公式.(3)设,记是数列的前项和,求正整数,使得对于任意的均有.20.(12分)第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行,赛期10天,共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项,329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开,武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动,努力让大家更多的了解军运会的相关知识,并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况,在全市开展了网上问卷调查,民众参与度极高,现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者,他们得分(满分100分)数据,统计结果如下:组别频数5304050452010(1)若此次问卷调查得分整体服从正态分布,用样本来估计总体,设,分别为这200人得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值作为代表),求,的值(,的值四舍五入取整数),并计算;(2)在(1)的条件下,为感谢大家参与这次活动,市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案:得分低于的可以获得1次抽奖机会,得分不低于的可获得2次抽奖机会,在一次抽奖中,抽中价值为15元的纪念品A的概率为,抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者,记Y为他参加活动获得纪念品的总价值,求Y的分布列和数学期望,并估算此次纪念品所需要的总金额.(参考数据:;;.)21.(12分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线的极坐标方程为.(1)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为,试求点的坐标.22.(10分)如图,在直角中,,,,点在线段上.(1)若,求的长;(2)点是线段上一点,,且,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据二项分布的性质可得:,再根据和二次函数的性质求解.【详解】因为随机变量满足,,.所以服从二项分布,由二项分布的性质可得:,因为,所以,由二次函数的性质可得:,在上单调递减,所以.故选:B【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.2.B【解析】
根据题意分析的图像关于直线对称,即可得到的单调区间,利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。【详解】根据题意,函数满足是偶函数,则函数的图像关于直线对称,若函数在上单调递减,则在上递增,所以要使,则有,变形可得,解可得:或,即的取值范围为;故选:B.【点睛】本题考查偶函数的性质,以及函数单调性的应用,有一定综合性,属于中档题。3.A【解析】
由点到直线距离公式建立的等式,变形后可求得离心率.【详解】由题意,一条渐近线方程为,即,∴,,即,,.故选:A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础.4.B【解析】
甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元,或同为2元,或同为3元,由独立事件的概率公式计算即得.【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是,∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为.故选:B.【点睛】本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础.5.C【解析】
根据直线与平面,平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得,若,,则,故①正确;若,,平面可能相交,故②错误;若,,则可能平行,故③错误;由线面垂直的性质可得,④正确;故选:C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面,平面与平面的位置关系,属于中档题.6.D【解析】
先求出椭圆方程,再利用椭圆的定义得到,利用二次函数的性质可求,从而可得的取值范围.【详解】由题设有,故,故椭圆,因为点为上的任意一点,故.又,因为,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质,一般地,如果椭圆的左、右焦点分别是,点为上的任意一点,则有,我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题,本题属于基础题.7.A【解析】
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同,由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,在中,计算半径即可.【详解】由,,可知平面.将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同.由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,记的外心为,由为等边三角形,可得.又,故在中,,此即为外接球半径,从而外接球表面积为.故选:A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积,考查了学生空间想象,逻辑推理,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.8.A【解析】分析:通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知,进而可知,利用裂项相消法求和即可.详解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴数列前项的和为,故选A.点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.9.C【解析】
写出命题“假设时该命题成立,则时该命题也成立”的逆否命题,结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知,命题“假设时该命题成立,则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立,则当时该命题也不成立”,由于当时,该命题不成立,则当时,该命题也不成立,故选:C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用,解题时要写出原命题的逆否命题,结合逆否命题的等价性进行判断,考查逻辑推理能力,属于中等题.10.B【解析】
根据,可知命题的真假,然后对取值,可得命题的真假,最后根据真值表,可得结果.【详解】对命题:可知,所以R,故命题为假命题命题:取,可知所以R,故命题为真命题所以为真命题故选:B【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用,识记真值表,属基础题.11.C【解析】
求导,先求出在单增,在单减,且知设,则方程有4个不同的实数根等价于方程在上有两个不同的实数根,再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.【详解】依题意,,令,解得,,故当时,,当,,且,故方程在上有两个不同的实数根,故,解得.故选:C.【点睛】本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法:(1)构造法:构造函数(易求,可解),转化为确定的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出的图象草图,数形结合求解;(2)定理法:先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.12.D【解析】
这是几何概型,画出图形,利用面积比即可求解.【详解】解:事件发生,需满足,即事件应位于五边形内,作图如下:故选:D【点睛】考查几何概型,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.5【解析】,即的最大值为14.10【解析】
根据已知数据直接计算即得.【详解】由题得,.故答案为:10【点睛】本题考查求平均数,是基础题.15.;【解析】
求出函数的零点,让正数零点从小到大排列,第三个正数零点落在区间上,第四个零点在区间外即可.【详解】由,得,,,,∵,∴,解得.故答案为:.【点睛】本题考查函数的零点,根据正弦函数性质求出函数零点,然后题意,把正数零点从小到大排列,由于0已经是一个零点,因此只有前3个零点在区间上.由此可得的不等关系,从而得出结论,本题解法属于中档题.16.【解析】
先求得的值,由此求得的值,再利用正弦定理求得的值.【详解】由于,所以,所以.由正弦定理得.故答案为:【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查两角和的正弦公式,考查三角形的内角和定理,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】试题分析:(1)由条件可先求水平方向每根支条长,竖直方向每根支条长为,因此所需木料的长度之和L=(2)先确定范围由可得,再由面积为130cm2,得,转化为一元函数,令,则在上为增函数,解得L有最小值.试题解析:(1)由题意,水平方向每根支条长为cm,竖直方向每根支条长为cm,菱形的边长为cm.从而,所需木料的长度之和L=cm.(2)由题意,,即,又由可得.所以.令,其导函数在上恒成立,故在上单调递减,所以可得.则=.因为函数和在上均为增函数,所以在上为增函数,故当,即时L有最小值.答:做这样一个窗芯至少需要cm长的条形木料.考点:函数应用题18.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由正方形的性质得出,由平面得出,进而可推导出平面,再利用面面垂直的判定定理可证得结论;(Ⅱ)取的中点,连接、,以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法能求出二面角的余弦值.【详解】(Ⅰ)是正方形,,平面,平面,、平面,且,平面,又平面,平面平面;(Ⅱ)取的中点,连接、,是正方形,易知、、两两垂直,以点为坐标原点,以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系,在中,,,,、、、,设平面的一个法向量,,,由,得,令,则,,.设平面的一个法向量,,,由,得,取,得,,得.,二面角为钝二面角,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角,考查推理能力与计算能力,属于中等题.19.(1)().(2),.(3)【解析】
(1)依题意先求出,然后根据,求出的通项公式为,再检验的情况即可;(2)由递推公式,得,结合数列性质可得数列相邻项之间的关系,从而可求出结果;(3)通过(1)、(2)可得,所以,,,,.记,利用函数单调性可求的范围,从而列不等式可解.【详解】解:(1)因为数列满足()①;②当时,.检验当时,成立.所以,数列的通项公式为().(2)由,得,①所以,.②由①②,得,,即,,③所以,,.④由③④,得,,因为,所以,上式同除以,得,,即,所以,数列时首项为1,公差为1的等差数列,故,.(3)因为.所以,,,,.记,当时,.所以,当时,数列为单调递减,当时,.从而,当时,.因此,.所以,对任意的,.综上,.【点睛】本题考在数列通项公式的求法、等差数列的定义及通项公式、数列的单调性,考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及化归与转化思想、分类讨论思想.20.(1),,;(2)详见解析.【解析】
(1)根据频率分布表计算出平均数,进而计算方差,从而X~N(65,142),计算P(51<X<93)即可;(2)列出Y所有可能的取值,分布求出每个取值对应的概率,
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