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2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,22.2019年10月1日上午,庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量,更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼,他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建.若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校,学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道:①甲不是军事科学院的;②来自军事科学院的不是博士;③乙不是军事科学院的;④乙不是博士学位;⑤国防科技大学的是研究生.则丙是来自哪个院校的,学位是什么()A.国防大学,研究生 B.国防大学,博士C.军事科学院,学士 D.国防科技大学,研究生3.函数的图象大致为()A. B.C. D.4.以,为直径的圆的方程是A. B.C. D.5.明代数学家程大位(1533~1606年),有感于当时筹算方法的不便,用其毕生心血写出《算法统宗》,可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输出的的值为,则输入的的值为()A. B. C. D.6.已知函数,若对任意,都有成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.设(是虚数单位),则()A. B.1 C.2 D.8.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图,90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是()注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多9.已知数列的前项和为,且,,则()A. B. C. D.10.已知下列命题:①“”的否定是“”;②已知为两个命题,若“”为假命题,则“”为真命题;③“”是“”的充分不必要条件;④“若,则且”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为()A.③④ B.①② C.①③ D.②④11.一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为,则()A., B.,C., D.,12.如图,在中,,且,则()A.1 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在平面直角坐标系中,点的坐标为,点是直线:上位于第一象限内的一点.已知以为直径的圆被直线所截得的弦长为,则点的坐标__________.14.已知函数在上仅有2个零点,设,则在区间上的取值范围为_______.15.已知数列为等比数列,,则_____.16.已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上,则实数的值为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知关于的不等式有解.(1)求实数的最大值;(2)若,,均为正实数,且满足.证明:.18.(12分)在直角坐标系中,已知点,若以线段为直径的圆与轴相切.(1)求点的轨迹的方程;(2)若上存在两动点(A,B在轴异侧)满足,且的周长为,求的值.19.(12分)某精密仪器生产车间每天生产个零件,质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格,若较多零件不合格,则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验,这些零件的长度服从正态分布(单位:微米),且相互独立.若零件的长度满足,则认为该零件是合格的,否则该零件不合格.(1)假设某一天小张抽查出不合格的零件数为,求及的数学期望;(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件,若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元,而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.假设充分大,为了使损失尽量小,小张是否需要检查其余所有零件,试说明理由.附:若随机变量服从正态分布,则.20.(12分)已知双曲线及直线.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是原点,且,求实数k的值.21.(12分)已知函数,(1)若,求的单调区间和极值;(2)设,且有两个极值点,,若,求的最小值.22.(10分)已知抛物线E:y2=2px(p>0),焦点F到准线的距离为3,抛物线E上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=1.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C.(1)求抛物线E的方程;(2)求△ABC面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
先求出集合U,再根据补集的定义求出结果即可.【详解】由题意得U=x|∵A=1,2∴CU故选C.【点睛】本题考查集合补集的运算,求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义,属于简单题.2.C【解析】
根据①③可判断丙的院校;由②和⑤可判断丙的学位.【详解】由题意①甲不是军事科学院的,③乙不是军事科学院的;则丙来自军事科学院;由②来自军事科学院的不是博士,则丙不是博士;由⑤国防科技大学的是研究生,可知丙不是研究生,故丙为学士.综上可知,丙来自军事科学院,学位是学士.故选:C.【点睛】本题考查了合情推理的简单应用,由条件的相互牵制判断符合要求的情况,属于基础题.3.A【解析】
用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.【详解】因为,所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;因为,故排除,因为由图象知,排除.故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.4.A【解析】
设圆的标准方程,利用待定系数法一一求出,从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为,由题意得圆心为,的中点,根据中点坐标公式可得,,又,所以圆的标准方程为:,化简整理得,所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程,解题的关键是假设圆的标准方程,建立方程组,属于基础题.5.C【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.【详解】,;,;,;,;,此时不满足,跳出循环,输出结果为,由题意,得.故选:【点睛】本题考查了程序框图的计算,意在考查学生的理解能力和计算能力.6.D【解析】
先将所求问题转化为对任意恒成立,即得图象恒在函数图象的上方,再利用数形结合即可解决.【详解】由得,由题意函数得图象恒在函数图象的上方,作出函数的图象如图所示过原点作函数的切线,设切点为,则,解得,所以切线斜率为,所以,解得.故选:D.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用,考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想,是一道中档题.7.A【解析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出,即可根据复数的模计算公式求出.【详解】∵,∴.故选:A.【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用,以及复数的模计算公式的应用,属于容易题.8.D【解析】
根据两个图形的数据进行观察比较,即可判断各选项的真假.【详解】在A中,由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%,所以是正确的;在B中,由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图,90后从事互联网行业岗位分布条形图得到:,互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的,所以是正确的;在C中,由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图,90后从事互联网行业岗位分别条形图得到:,互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多,所以是正确的;在D中,互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为,所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多.故选:D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.9.C【解析】
根据已知条件判断出数列是等比数列,求得其通项公式,由此求得.【详解】由于,所以数列是等比数列,其首项为,第二项为,所以公比为.所以,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查等比数列的证明,考查等比数列通项公式,属于基础题.10.B【解析】
由命题的否定,复合命题的真假,充分必要条件,四种命题的关系对每个命题进行判断.【详解】“”的否定是“”,正确;已知为两个命题,若“”为假命题,则“”为真命题,正确;“”是“”的必要不充分条件,错误;“若,则且”是假命题,则它的逆否命题为假命题,错误.故选:B.【点睛】本题考查命题真假判断,掌握四种命题的关系,复合命题的真假判断,充分必要条件等概念是解题基础.11.B【解析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】可能的取值为;可能的取值为,,,,故,.,,故,,故,.故选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算,应先确定随机变量所有可能的取值,再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率,然后利用公式计算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.12.C【解析】
由题可,所以将已知式子中的向量用表示,可得到的关系,再由三点共线,又得到一个关于的关系,从而可求得答案【详解】由,则,即,所以,又共线,则.故选:C【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识,结合图形寻找各向量间的关系,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
依题意画图,设,根据圆的直径所对的圆周角为直角,可得,通过勾股定理得,再利用两点间的距离公式即可求出,进而得出点坐标.【详解】解:依题意画图,设以为直径的圆被直线所截得的弦长为,且,又因为为圆的直径,则所对的圆周角,则,则为点到直线:的距离.所以,则.又因为点在直线:上,设,则.解得,则.故答案为:【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.14.【解析】
先根据零点个数求解出的值,然后得到的解析式,采用换元法求解在上的值域即可.【详解】因为在上有两个零点,所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因为,所以,所以,所以,所以,,所以.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合,其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题,难度较难.对形如的函数的值域求解,关键是采用换元法令,然后根据,将问题转化为关于的函数的值域,同时要注意新元的范围.15.81【解析】
设数列的公比为,利用等比数列通项公式求出,代入等比数列通项公式即可求解.【详解】设数列的公比为,由题意知,因为,由等比数列通项公式可得,,解得,由等比数列通项公式可得,.故答案为:【点睛】本题考查等比数列通项公式;考查运算求解能力;属于基础题.16.【解析】
求出双曲线的渐近线方程,右准线方程,得到交点坐标代入抛物线方程求解即可.【详解】解:双曲线的右准线,渐近线,双曲线的右准线与渐近线的交点,交点在抛物线上,可得:,解得.故答案为.【点睛】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)见解析【解析】
(1)由题意,只需找到的最大值即可;(2),构造并利用基本不等式可得,即.【详解】(1),∴的最大值为4.关于的不等式有解等价于,(ⅰ)当时,上述不等式转化为,解得,(ⅱ)当时,上述不等式转化为,解得,综上所述,实数的取值范围为,则实数的最大值为3,即.(2)证明:根据(1)求解知,所以,又∵,,,,,当且仅当时,等号成立,即,∴,所以,.【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题,是一道中档题.18.(1);(2)【解析】
(1)设,则由题设条件可得,化简后可得轨迹的方程.(2)设直线,联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简并求得,结合焦半径公式及弦长公式可求的值及的长.【详解】(1)设,则圆心的坐标为,因为以线段为直径的圆与轴相切,所以,化简得的方程为.(2)由题意,设直线,联立得,设(其中)所以,,且,因为,所以,,所以,故或(舍),直线,因为的周长为所以.即,因为.又,所以,解得,所以.【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算,还涉及到向量的数量积.一般地,抛物线中的弦长问题,一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程,再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式,该关系中含有或,最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.19.(1)见解析(2)需要,见解析【解析】
(1)由零件的长度服从正态分布且相互独立,零件的长度满足即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为,满足二项分布,利用补集的思想求得,再根据公式求得;(2)由题可得不合格率为,检查的成本为,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断.【详解】(1),由于满足二项分布,故.(2)由题意可知不合格率为,若不检查,损失的期望为;若检查,成本为,由于,当充分大时,,所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件.【点睛】本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.20.(1);(2)或.【解析】
(1)联立直线方程与双曲线方程,消去,得到关于的一元二次方程,根据根的判别式,即可求出结论;(2)设,由(1)可得关系,再由直线l过点,可得,进而建立关于的方程,求解即可.【详解】(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组有两个不同的实数根,整理得,,解得且.双曲线C与直线l有两个不同交点时,k的取值范围是.(2)设交点,直线l与y轴交于点,,.,即,整理得,解得或或.又,或时,的面积为.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算,要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题,考查计算求解能力,属于中档题.21.(1)增区间为,减区间为;极小值,无极大值;(2)【解析】
(1)求出f(x)的导数,解不等式,即可得到函数的单调区间,进而得到函数的极值;(2)由题意可得,,求出的表达式,,求出h(t)的最小值即可.【详解】(1)将代入中,得到,求导,得到,结合,当得到:增区间为,当,得减区间为且在时有极小值,无极大值.(2)将解析式代入,得,求导得到,令,得到,,,,,,,,因为,所以设,令,
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