第七章 气体动理论

1第七章气体动理论基础2热学涉及到宏观与微观两个层次

热力学与统计物理的发展,加强了物理学与化学的联系,建立了物理化学这一门交叉科学.

宏观理论热力学的两大基本定律:第一定律,即能量守恒定律;第二定律,即熵增加定律.玻尔兹曼与吉布斯发展了经典统计力学

.

科学家进一步追根问底,企图从分子和原子的微观层次上来说明物理规律,气体分子动理论应运而生.3

研究对象

热运动

:构成宏观物体的大量微观粒子的永不休止的无规运动.热现象

:与温度有关的物理性质的变化。单个分子

—无序、具有偶然性、遵循力学规律.

研究对象特征整体（大量分子）—服从统计规律.

宏观量：表示大量分子集体特征的物理量(可直接测量),如等.

微观量：描述个别分子运动状态的物理量(不可直接测量)，如分子的等.4宏观量微观量统计平均

研究方法1.热力学——宏观描述

实验经验总结，给出宏观物体热现象的规律，从能量观点出发，分析研究物态变化过程中热功转换的关系和条件.2.气体动理论——微观描述

研究大量数目的热运动的粒子系统，应用模型假设和统计方法揭示宏观现象的本质.气体动理论热力学相辅相成5§7-1平衡态物态方程热力学第零定律一、热力学系统平衡态1、热力学系统★热力学系统分类根据系统与外界交换能量或物质的特点，可以分为三种：(1)孤立系统－－与外界既无能量交换，又无物质交换的系统(2)封闭系统－－与外界只有能量交换，但无物质交换的系统(3)开放系统－－与外界既有能量交换，又有物质交换的系统由大量微观粒子(分子、原子等)所组成的宏观物体或系统.6２、平衡态

指在不受外界影响(或不变的)的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。称热平衡态

系统在热平衡时，系统内任一宏观体元均处于力学平衡、热平衡、相平衡中。※从微观的角度应理解为动态平衡态

※若在我们所讨论的问题中，气体活动的高度空间不是很大，即重力加速度随高度的变化可以忽略，则在达热力学平衡态时，上述宏观量不仅是稳定的(指不随时间变化)还是均匀的(即不随位置变化)。※平衡态是一种是理想概念7

※处于热平衡态时，系统的宏观属性具有确定的值。因此可以用一些确定的物理量来表征系统的这些宏观属性。用来描写热平衡态下各种宏观属性的物理量叫系统的宏观参量。我们可以从这些参量中，选取不多的相互独立的几个物理量作为描述系统热平衡态的参量叫系统的状态参量主要的参量有：几何参量，力学参量，热学参量，化学参量，电磁参量;体积V，压强p，热力学温度T，摩尔数v.8平衡态的特点1）单一性（处处相等）;2）物态的稳定性——

与时间无关；3）自发过程的终点；4）热动平衡（有别于力平衡）.*

p-V

图上的每一点表示一个平衡态9温度温标１、温度概念

温度是表征物体冷热程度的宏观状态参量。气体的体积：气体所能达到的空间。m3,1L=1dm3气体的压强：作用于容器器壁上单位面积的正压力。p=F/S。Pa=N/m210温度概念的建立是以热平衡为基础的ABAB绝热壁导热壁ABCABC

如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡，那么，这两个系统彼此也处于热平衡。这个结论称热力学第零定律。

处在相互热平衡状态的系统必定拥有某一个共同的物理性质。我们把描述系统的这一共同的宏观性质的物理量称为系统的温度。11２、温标温度计

温度计要能定量表示和测量温度，还需要建立温标

──即温度的数值表示法。其一、要选定一种合适物质(称测温质)的测温特性其二、规定测温质的测温特性与温度的依赖关系(线性)其三、选定温度的标准点(固定点)，并把一定间隔的冷热程度分为若干度。※主要有三个步骤温度计:即测温的工具。12３、热力学温标

规定水的三相点(水，冰和水蒸汽平衡共存的状态)为273.16K。一种与测温质和测温特性无关的温标。开尔文(LordKelvin)在热力学第二定律的基础上建立了这种温标，称热力学温标。例如，(一个大气压下)对水的冰点，华氏温标为32F0，摄氏温标为0oC,

对水的沸点，华氏温标为212F0，摄氏温标为100oC由热力学温标可导出摄氏温度

Ｔ＝t＋273.16※选用不同的测温物质或不同的测温特性，测量同一系统所得的温度数值，一般情况下并不完全相同。13三、理想气体及其物态方程1、理想气体2、理想气体的物态方程

热平衡态下，系统各个状态参量之间满足一定的关系，这样的关系叫系统的物态方程一定量的气体14

物态方程：令则令则NA:阿伏伽德罗常数:1mol物质所含的分子数。N：体积V中的气体分子数R：摩尔气体常数。151.分子数密度2.分子质量3.质量密度4.物质的量几个物理量16理想气体物态方程对质量为的理想气体分子数密度（

）：单位体积内的分子数目.气体的摩尔质量：Mmol17３、状态图(p-Ｖ图、p-Ｔ图、Ｖ-Ｔ图)

气体的平衡态除了可用一组状态参量来描述，还可用状态图来表示，而一组状态参量在状态图中对应的是一个点。不同的状态在状态图所中对应点不同。

在状态图中，一条光滑的曲线代表一个由无穷多个平衡态所组成的变化过程，如右图所示。pＶ０

曲线上的箭头表示过程进行的方向。

由于非平衡态不能用一组确切的状态参量来描述，因此在状态图中，非平衡态过程也就无法找到相应的过程曲线与之对应。18

宏观物体都是由大量不停息地运动着的、彼此有相互作用的分子或原子组成.

利用扫描隧道显微镜技术把一个个原子排列成IBM字母的照片.

现代的仪器已可以观察和测量分子或原子的大小以及它们在物体中的排列情况,例如X光分析仪,电子显微镜,扫描隧道显微镜等.

对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时,必须用统计的方法.物质的微观模型统计规律性19一分子线度和分子力例

标准状态下氧分子直径约分子间距分子线度

当时，分子力主要表现为斥力；当时，分子力主要表现为引力.分子力斥力引力20二分子热运动的无序性及统计规律性

热运动：大量实验事实表明分子都在作永不停止的无规运动.

统计规律性：对大量分子而言，在偶然、无序的分子运动中，包含着一种规律性.21

对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法..................................................................................

小球在伽尔顿板中的分布规律.

统计规律当小球数N

足够大时小球的分布具有统计规律.22§7-2理想气体压强公式一、理想气体分子的微观模型3、分子间、分子与器壁间的碰撞是完全弹性的。遵守动量和能量守恒律。

即：理想气体分子可看作彼此间无相互作用的遵守经典力学规律的弹性质点。1、分子可以看作质点。(除特别考虑)2、除碰撞外，分子之间、分子与器壁不计相互作用力。在两次碰撞之间，分子的运动为匀速直线运动23增加：气体分子的统计假设

每个分子运动具有偶然性，然而正是由于每个分子的偶然性，才使得大量分子运动出现了规律性。这种规律性具有统计平均意义，称为统计规律性。在平衡态，当重力的影响可以忽略时，容积内各处的压强、密度、温度都相同，而分子始终在作无规则的热运动，故我们可以认为：(1)

每个分子向各个方向运动的机会相等()

(2)

对于大量分子，向各个方向运动的分子数平均相等()24以上就是用统计平均的观点所得出的气体分子的性质。(４)每个分子运动速度不尽相同，由于分子不停地发生碰撞而发生变化，因而分子具有各种可能的速度。对于全同分子，不因碰撞而丢失具有某一速度的分子。例如：(3)

分子速度在各个方向上的分量的各种平均值平均相等；25二、压强

设器壁光滑，考虑速度为vi的分子,现讨论其对于A1面的碰撞。

设一容器，边长为l1、l2、l3，内有Ｎ个分子。对于i分子：１、先考察一个分子(例如i分子)一次碰撞中给予器壁A1的冲量由牛顿第三定律，i分子给予器壁的冲量为

26２、i分子在单位时间内施于A1面的平均冲力i分子单位时间内与A1面碰撞的次数为则

i分子单位时间内施于A1面的总冲量(冲力)为３、所有分子在单位时间内对器壁的冲力──对i求和故若令表示分子在X方向速度平方的平均值，27

那么

于是所有分子在单位时间内施于A1面的冲力为４、求压强的统计平均值

令 ──为分子数密度(即单位体积内的分子数)又由统计平均的观点有

所以，有28引入分子平均平动动能压强的微观解释:气体压强是指：容器壁的单位面积上受到的大量分子碰撞冲力的时间平均值.因此，对少量分子或个别分子上述公式不成立。※气体压强与大气压强的区别：前者如上所述，后者则是空气重量所致。(1)压强是对大量分子的分子数密度和分子平均平动动能的统计平均结果。---这就是宏观量p与微观量之间的关系29§7-3理想气体分子的平均平动动能与温度的关系一、温度的统计解释(NA为阿伏加德罗常数)理想气体方程

玻尔兹曼常数30则有：或此即宏观量T与微观量的关系，这说明１、温度是描述热力学系统平衡态的一个物理量。２、宏观量温度T是一统计概念，3、零点能的问题 例如铜块中的自由电子在０K时平均平动动能为4.23eV

上式给出的是“动态”的含义，非平衡态系统不能用温度来描述。

是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度314、温度所描述的运动是分子无规则运动(热运动，是相对质心参照系，平动动能是系统的内动能)，５、上式结果与分子的种类无关，即只要温度相同，则分子的平均平动动能就相同。6、阿伏加德罗定律的一种表述，

即在相同的压强，相同的温度下，各种气体的分子数密度相同──这是一个很有用的公式温度和系统的整体运动无关。32二、气体分子的方均根速率称之为气体分子的方均根速率(其数量级是n×100m/s)33例7-1求０oＣ时氢分子和氧分子的平均平动动能和方均根速率。解：已知氢分子和氧分子的平均平动动能相等，均为34氧分子的方均根速率氢分子的方均根速率35例7-2在一密闭容器中，储有A、B、C三种理想气体，处于平衡状态。A种气体的分子数密度为n1，它产生的压强为p1，B种气体的分子数密度为2n1，C种气体的分子数密度为3n1，则混合气体的压强p为

(A)3p1(B)4p1(C)5p1(D)6p1

答[D]36

例：

理想气体体积为V

，压强为p，温度为T,一个分子的质量为m

，k

为玻尔兹曼常量，R

为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为：（A）（B）（C）（D）解37例:一容器内储有氧气，其压强为，温度为27℃，求：(1)气体分子的数密度；(2)氧气的密度；(3)分子的平均平动动能；(4)分子间的平均距离．(设分子间均匀等距排列)分析(1)由知(2)(3)(4)38§7-4能量按自由度均分原理内能一自由度

单原子分子平均能量39

刚性双原子分子分子平均平动动能分子平均转动动能

刚性分子平均能量40非刚性分子平均振动能量刚性分子平均能量非刚性分子平均能量非刚性双原子分子*C

自由度

分子能量中独立的速度和坐标的二次方项数目叫做分子能量自由度的数目,简称自由度，用符号表示.41

自由度数目

平动

转动

振动单原子分子303双原子分子325多原子分子336刚性分子能量自由度分子自由度平动转动总

自由度:

分子能量中独立的速度和坐标的二次方项数目叫做分子能量自由度的数目,简称自由度，用符号i表示.42二、能量按自由度均分原理1、分子的平均平动动能平均地分配在每一个平动自由度上，且每一个平动自由度上的平均平动动能的大小都是

之所以会出现上述结果，这是分子无规则热运动，相互碰撞后达热平衡的结果。432、能均分原理

上述结果可推广到转动和振动自由度(这是因为他们之间都能通过碰撞而交换能量)。即得：在平衡态下，分子无规则热运动碰撞的结果，使得没有那一个自由度上的能量比其它自由度上的能量更占优势。

在平衡态下，气体分子的每一个自由度的平均动能相等，每一个自由度的能量均为

这就是能均分原理3、气体分子的平均总动能，气体分子的热运动能量(1)一个自由度为i的刚性分子所具有平均总动能44单原子分子全为平均平动动能双原子分子平均平动动能为平均平动动能为多原子分子平均转动动能为45三、理想气体分子的内能１、什么是内能：

内能是指系统内所有分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和２、内能是态函数３、理想气体内能(１)由于理想气体不计分子间相互作用力，因此

理想气体的内能仅为热运动能量之总和。

由于我们只讨论刚性分子，所以理想气体刚性分子的内能只是：所有分子的平均总动能之总和(２)设热力学体系内有N个刚性分子，则N个分子的平均总动能的总和──即内能为

是热力学状态参量p、V、T的函数，即E=E(p、V、T),是相对量。──因为状态参量是相对量。46(I)这说明理想气体的内能仅为温度的单值函数，因此当理想气体的状态发生变化时，其内能的增量仅与始末状态的温度有关，而与过程无关，即(II)单原子气体双原子气体多原子气体子47

例

两种气体自由度数目不同，温度相同，摩尔数相同，下面那种叙述正确；（A）它们的平均平动动能、平均动能、内能都相同；（B）它们的平均平动动能、平均动能、内能都不同；

（C）它们的平均平动动能相同，而平均动能和内能不同；

（D）它们的内能相同，而平均平动动能和平均动能都不相同；48分析(1)氧分子为刚性双原子分子:

(2)氧气的内能习题7-11：

当温度为0oC时，可将气体分子视为刚性分子，求在此温度下：(1)氧分子的平均动能和平均转动动能；(2)氧气的内能；(3)氦气的内能.平均平动动能

平均转动动能

(3)氦气的内能49§7-6麦克斯韦速率分布律*几个概念的说明：1、概率(1)离散型随机变量的概率(如掷骰子)—等可能事件的概率事件A出现的概率(2)连续型随机变量的概率(如麦克斯韦速率分布)随机变量在x+dx间隔内的概率(x)称之为随机变量X的概率密度概率具有以下性质(1)概率的取值域为0≤P(A)≤1；(2)各种可能发生事件的概率总和等于1，即50

考虑事件的统计规律时，个别事件的偶然性和其自身所遵从的规律退居次要地位，而且一般说来，不可能从个别事件所遵从的规律导出其所遵从的统计规律。对于随机变量，则为此式称为概率归一化条件2、统计分布律：一种对于大量偶然事件的整体起作用的规律3、概率和统计值都遵从涨落规律51一、气体分子的速率分布函数

如果我们将气体分子在平衡态下，所有可能的运动速率(在经典物理中为0→)，按照从小到大的排列，分成一系列相等的速率区间，例如从：(i)如果跟踪考察某些个别分子，在某一瞬间，到底在哪个速率区间内运动，那么，我们发现这种运动完全是偶然的，无规则的(即随机的)，毫无意义的。

对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但对于大量分子，其速率的分布从整体上会出现一些统计规律(ii)如果我们考察的对象，不是个别的具体的分子，而是大量分子的整体，例如我们考察：在某一平衡态下，分布在各个速率区间内的分子数Ｎ，占总分子数N的百分比──这时就会发现，它是存在确切的统计规律的，按照这个思路考虑下去，就可得到麦氏速率分布律。52

将气体分子的所有可能的速率，按照从小到大分隔成一系列相等的速率间隔，即v1v1+v,v2v2+v,…,然后考察分布在速率间隔v+v内的分子数N占总分子数的百分比N/N,─为了进一步消除速率间隔v的影响，将比值N/N除以v,即得N/Nv

取极限，并令极限值为以f(v)表示，──其是速率v的确定函数。即──这就是麦氏速率分布函数１、麦克斯韦速率分布函数１)速率分布函数的物理意义一定质量的气体，在给定温度下，在平衡态时，53３)分布函数的归一化条件表示分布在v1-v2区间内的分子数２)麦氏速率分布函数式：式中m是分子的质量，k是玻尔兹曼恒量541、分布在v1-v2区间内的分子数占总分子数的百分比(或一个分子的速率处于v1→v2区间内的概率)２、分布在0→的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1，即──这就是分布函数的归一化条件的数学表示。(一个分子的速率分布在0→的所有可能区间的概率当然是1)55二、麦氏速率分布曲线

若以v为横轴，f(v)的值为纵轴，以分布函数作曲线，这就是麦氏速率分布曲线。1、图中小方块面积的物理意义小方块的面积为

表示分子速率分布在v附近，v～v+△v区间内的分子数占总分子数N的百分比，vf(v)vp562、曲线下总面积由小方块面积可知，曲线下总面积为

由归一化条件可知，曲线下总面积之总和为1，是一个常数，虽然曲线形状与温度等有关，但总面积将保持不变。3、最概然速率vp

与气体分子速率分布曲线极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率vp

。物理意义是：对所有的相同速率区间而言，速率在含有vp的区间内的分子数占总分子数的百分比最大。或：气体分子的速率取vp附近值的概率最大。57三、分子速率的三种统计平均值1、平均速率将麦氏速率分布函数式代入得582、方均根速率593、最概然速率将函数f(v)对v求导得60以上各种速率各有用处，分布函数的特征由vp表示；讨论分子的平均平动动能用讨论平均自由程用(１)温度与分子速率f(v)vm相同(设它们的温度分别为73K，273K，1273K)73K273K1273K61(２)质量与分子速率f(v)vT相同,m3<m2<m1m1m2m362讨论

麦克斯韦速率分布中最概然速率的概念下面哪种表述正确？（A）是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B）是速率最大的速度值.（C）是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大.63习题7-14：有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示.(1)说明曲线与横坐标所包围的面积的含义；(2)由N和v0求a

值；(3)求在速率v0/2到v03/2间隔内的分子数；(4)求分子的平均平动动能.分析

(1)由归一化条件知(2)64(3)(4)由于故分子的平均平动动能为65§7-7分子的平均碰撞次数及平均自由程问题的提出前面已经过：