《频率的稳定性》设计

《频率的稳定性》教学设计【教学目标】1.结合实例，掌握频率和概率联系和区别，培养学生数学抽象素养．2.通过利用随机事件的频率估计其概率，培养学生数学运算素养.【教学重点】会用频率估计概率．【教学难点】会用频率估计概率【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1．频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．2．频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)．思考：频率和概率有什么区别和联系？[提示]区别：(1)在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．(2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量(3)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．小试牛刀1．已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是()A．合格产品少于9件B．合格产品多于9件C．合格产品正好是9件D．合格产品可能是9件D解析：根据概率意义知选D.2.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了6次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的()A．概率为B．频率为C．频率为6D．概率接近于6B[做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为eq\f(m,n).如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故为事件A的频率．]3．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷100次，那么第99次出现正面朝上的概率为()\f(1,99)\f(1,100)\f(99,100)\f(1,2)D解析：∵第99次抛掷硬币出现的结果共有两种不同的情形，且这两种情形等可能发生，∴所求概率为P＝eq\f(1,2).4.已知随机事件A发生的频率是，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．500解析：设共进行了n次试验，则eq\f(10,n)＝，解得n＝500.例题讲解频率和概率的区别和联系【例1】下列说法正确的是()A.由生物学知道生男生女的概率约为，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女B.一次摸奖活动中，中奖概率为，则摸5张票，一定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是D[一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为是说中奖的可能性为，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是，所以C不正确，D正确．]方法总结理解概率与频率应关注的三个方面(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．当堂练习1⑴“某彩票的中奖概率为eq\f(1,100)”意味着()A.买100张彩票就一定能中奖B．买100张彩票能中一次奖C.买100张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性为eq\f(1,100)(2)有人告诉你，放学后送你回家的概率如下：①50%；②2%；③90%.试将以上数据分别与下面的文字描述相配．a.很可能送你回家，但不一定送．b.送与不送的可能性一样多．c．送你回家的可能性极小．解析：(1)[某彩票的中奖率为eq\f(1,100)，意味着中奖的可能性为eq\f(1,100)，可能中奖，也可能不中奖．](2)概率为50%，指事件发生的可能性为50%，与b相配；概率为2%，指事件发生的概率较小，与c相配；概率为90%指事件发生的可能性很大，与a相配．答案：(1)D(2)50%→b2%→c90%→a用随机事件的频率估计其概率【例2】某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示：上年度出险次数01234≥5保费a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值.(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值.(3)求续保人本年度平均保费的估计值.【解析】(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为=，故P(A)的估计值为.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为=，故P(B)的估计值为.⑶由所给数据得保费a2a频率调查的200名续保人的平均保费为×+a×+×+×+×+2a×=5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为5a.方法总结1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率.2.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小.通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.当堂练习2某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔偿金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．[解](1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝，P(B)＝eq\f(120,1000)＝，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3000元和4000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝＋＝.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有×1000＝100(位)，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝，由频率估计概率得P(C)＝.游戏的公平性例3如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．现为甲、乙两人设计游戏规则：自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针指上一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜，你认为这个规则公平吗？思路点拨：先将转盘A，B指针所得的结果都列表出来，然后观察和是6的情况有几种，即得甲获胜的概率，那么，乙获胜的概率便知；再判断两者是否相等即可.【解析】列表如下：BA3456145672567836789由表可知,可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．因此，甲获胜的概率为eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，乙获胜的概率为eq\f(9,12)＝eq\f(3,4)，甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平.方法总结游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．当堂练习3在本例中，若将游戏规则改为：自由转动转盘A和B，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么甲获胜，否则乙获胜，游戏规则公平吗？解析：列表如下：BA345613456268101239121518由表格可知，积为偶数的有8个，积为奇数的有4个，所以甲获胜的概率为eq\f(8,12)＝e