《充分条件与必要条件》冲刺9

《充分条件与必要条件》试卷一、选择题1．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则m＝2是A∩B＝{4}的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当m＝2时，m2＝4，A∩B＝{4}，但m2＝4时，m＝±2，∴A∩B＝{4}得m＝±2.【答案】A2．(2013·济南高二检测)设α，β∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，那么“α＜β”是“tanα＜tanβ”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))中，函数y＝tanx为增函数，所以设α、β∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，那么“α＜β”是tanα＜tanβ的充要条件．【答案】C3．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>dB．p：AB，q：x∈A⇒x∈BC．p：x＝1，q：x2＝xD．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数【解析】易知由a＋c>b＋dDa>b且c>d.但a>b且c>d，可得a＋c>b＋d∴“p：a＋c>b＋d”是“q：a>b且c>d”的必要不充分条件．故选A.【答案】A4．“α＞β”是“sinα＞sinβ”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【解析】由“α＞β”D“sinα＞sinβ”；由“sinα＞sinβ”D“α＞β”，应选C.(也可以举反例)．【答案】C5．(2013·青岛高二检测)下列各小题中，p是q的充分必要条件的是()①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p：eq\f(f－x,fx)＝1，q：y＝f(x)是偶函数；③p：cosα＝cosβ；tanα＝tanβ；④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】①y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则Δ＝m2－4(m＋3)＞0，得m＞6或m＜－2，所以p是q的充要条件．②若y＝f(x)中存在x0，使得f(x0)＝0，则p是q的充分不必要条件．③当α＝β＝kπ＋eq\f(π,2)时，tanα，tanβ无意义，所以p是q的必要不充分条件．④p是q的充要条件．【答案】D二、填空题6．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以是x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．【答案】②③④7．(2013·武汉高二检测)“b2＝ac”是“a、b、c”成等比数列的________条件．【解析】“b2＝acD”a，b，c成等比数列，如b2＝ac＝0；而“a，b，c”成等比数列“⇒”“b2＝ac”．【答案】必要不充分8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝______.【解析】直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－eq\f(2,3).【答案】－eq\f(2,3)三、解答题9．指出下列命题中，p是q的什么条件．(1)p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(x－1,2)))≤eq\f(3,4)，q：eq\f(1,3)x2＋eq\f(3,2)x－3≥0；(2)p：ax2＋ax＋1＞0的解集是R，q：0＜a＜4；(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B.【解】(1)化简得p：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)≤x≤\f(13,2)))))，q：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－6或x≥\f(3,2))))).如图由图可知，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)≤x≤\f(13,2)))))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－6或x≥\f(3,2)))))，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为ax2＋ax＋1＞0的解集是R，所以①当a＝0时成立；②当a≠0时，ax2＋ax＋1＞0的解集是R，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4a＜0，,a＞0，))解得0＜a＜4，所以0≤a＜4.所以pD⇒/q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．(3)对于p：A∪B＝A⇔B⊆A，对于q：A∩B＝B⇔B⊆A，即p⇔q，所以p是q的充要条件．10．若A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解】∵A是B的充分不必要条件，∴AB.又A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}．因此a＋2≤－1或a≥3，∴实数a的取值范围是a≥3或a≤－3.11．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．【证明】充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccosA可得1＋2cosA＝eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB).即sinB＋2sinBcosA＝sin(A＋B)．化简，得sinB＝sin(A－B)．由于sinB＞0且在三角形中，故B＝A－B，即A＝2B.必要性：若A＝2B，则A－B＝B，sin(A＋B)＝sinB，即sin(A＋B)＝2sinBcosA＝sinA.∴sin(A＋B)＝sinB(1＋2cosA)．∵A、B、C为△ABC的内角，∴sin(A＋B)＝sinC，即sinC＝sinB(1＋2cosA)．∴eq\f