《对数运算法则》设计

《对数运算法则》教学设计【教学目标】1.理解对数的运算性质．2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．【教学重点】理解对数的运算性质，并能运用运算性质进行一些简单的化简与证明.【教学难点】能用换底公式的应用【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1．对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，α∈R那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1,2，…，k)．(2)logaMα＝αlogaM.(3)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.2．换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1b>0，c>0且c≠1)．特别地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1)．思考1对于是否正确？提示:不正确，应用对数的运算法则，应满足真数大于0思考2你能用换底公式推导出结论logNMm＝eq\f(m,n)logNM吗？小试牛刀1.下列等式成立的是()(8－4)＝log28－log24\f(log28,log24)＝log2eq\f(8,4)＝3log22(8＋4)＝log28＋log24C解析：由对数的运算性质易知C正确．+log= () B解析：log+log=log=2.3.若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75等于()a＋bB．a－bC．eq\f(b,a)D．eq\f(a,b)D解析:log75＝eq\f(lg5,lg7)＝eq\f(a,b).4．若3a＝2，则2log36－log38＝________.2－a[∵3a＝2，∴a＝log32，∴2log36－log38＝2(log32＋log33)－3log32＝－log32＋2＝2－a.]例题讲解利用对数的运算法则化简【例1】用lgx,lgy,lgz表示下列各式:(1)lg(xyz).(2)lg(3)lg(4)lg.方法总结关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征,确定化简的顺序,其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开.当堂练习1如果lg2=m,lg3=n,则等于 ()C【解析】因为lg2=m,lg3=n,则利用对数的运算法则求值【例2】(1)计算8＋2lg2－lgeq\f(1,25)的值为________．(2)计算：log3eq\r(27)＋lg4＋lg25＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))0＝________.(3)计算：①lgeq\r(5,100)；②log2(47×25)；③(lg2)2＋lg20×lg5(1)eq\f(9,4)(2)eq\f(9,2)[(1)原式＝(23)eq\s\up18(-\f(2,3))＋lg4－(lg1－lg25)＝eq\f(1,4)＋lg(4×25)＝eq\f(1,4)＋2＝eq\f(9,4).(2)原式＝eq\f(3,2)＋lg102＋1＝eq\f(3,2)＋2＋1＝eq\f(9,2).](3)解：①lgeq\r(5,100)＝eq\f(1,5)lg102＝eq\f(2,5)lg10＝eq\f(2,5).②log2(47×25)＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19.③(lg2)2＋lg20×lg5＝(lg2)2＋(1＋lg2)(1－lg2)＝(lg2)2＋1－(lg2)2＝1.方法总结1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．当堂练习2计算下列各式的值：(1)2log23－log2eq\f(63,8)＋log27－.(2)log3eq\r(3)＋lg25＋lg4－log2(log216)．[解](1)2log23－log2eq\f(63,8)＋log27－＝log29－log2eq\f(63,8)＋log27－2＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9×\f(8,63)×7))－2＝3－2＝1.(2)原式＝eq\f(1,2)log33＋lg(25×4)－2＝eq\f(1,2)＋2－2＝eq\f(1,2).换底公式的应用例3(1)已知2x＝3y＝a，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝2，则a的值为()A．36B．6C．2eq\r(6)\r(6)解析：D(1)因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,log2a)＋eq\f(1,log3a)＝loga2＋loga3＝loga6＝2，所以a2＝6，解得a＝±eq\r(6).又a＞0，所以a＝eq\r(6).⑵已知log189＝a，18b＝5，求log3645.【解】法一：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log18（9×5）,log18（18×2）)＝eq\f(log189＋log185,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－a).法二：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log18（9×5）,log18（18×2）)＝eq\f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).法三：因为log189＝a，18b＝5，所以lg9＝alg18，lg5＝blg18，所以log3645＝eq\f(lg45,lg36)＝eq\f(lg（9×5）,lg\f(182,9))＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18,2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a).方法总结1利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.2题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.当堂练习3(1)式子log916·log881的值为()\f(1,18)\f(8,3)\f(3,8)(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于()\f(5,6)\f(25,12)\f(9,4)D．以上都不对(1)C(2)B解析：(1)原式＝log324·log234＝2log32·eq\f(4,3)log23＝eq\f(8,3).(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log33,log34)＋\f(log33,log38)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(log38,log39)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2log32)＋\f(1,3log32)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(3log32,2)))＝eq\f(5,6log32)×eq\f(5,2)log32＝eq\f(25,12).课堂小结1．对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，α∈R那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaMα＝αlogaM.(3)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.注意：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立.2.对数换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)．特别地：logab·log