《二项式定理》同步练习5

《二项式定理》同步练习1.3.1二项式定理A组1.若展开式的第4项为含x3的项,则n等于() .9 解析:展开式的通项是Tk+1=·xn-k··(-1)k·xn-2k,k∈{0,1,2,…,n},因为当k+1=4时,n-2k=3,所以n=9.答案:B2.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是()A.(2x+2)5 5 .(2x-1)5解析:原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.答案:D3.的展开式中含x的负整数指数幂的项数是() .2 解析:展开式的通项是Tr+1=,由0≤r≤10,且为负整数,得r=4,6,8,10,即有4项含x的负整数指数幂.答案:C4.对于二项式(n∈N*),有以下四种判断:①存在n∈N*,展开式中有常数项;②对任意n∈N*,展开式中没有常数项;③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项;④存在n∈N*,展开式中有x的一次项.其中正确的是()A.①与③ B.②与③C.②与④ D.①与④解析:二项式的展开式的通项为Tk+1=x4k-n,由通项公式可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.答案:D5.(2014湖北高考)若二项式的展开式中的系数是84,则实数a等于() B. D.解析:二项式通项Tr+1=(2x)7-r(ax-1)r=27-rarx7-2r.由题意知7-2r=-3,则r=5.令22a5=84,解得a=1.答案:C6.(a+x)5展开式中x2的系数为10,则实数a的值为.解析:二项展开式的通项是Tk+1=a5-kxk,所以T3=a3x2=10a3x2.所以10a3=10,解得a=1.答案:17.已知的展开式中x3的系数为,则常数a的值为.解析:展开式的通项是Tr+1=a9-r·(-1)r·,令r-9=3,得r=8.依题意,得(-1)8×2-4·a9-8=,解得a=4.答案:4除以9的余数是.解析:233=811=(9-1)11=×911-×910+×99-…+×9-,除最后一项-1外,其余各项都能被9整除,故余数为9-1=8.答案:89.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3,求展开式中的常数项.解:T5=)n-4·24x-8=16,T3=)n-2·22x-4=4.由题意知,,解得n=10.Tk+1=)10-k·2kx-2k=2k,令5-=0,解得k=2,∴展开式中的常数项为×22=180.10.求的展开式中x2y2的系数.解:设的第r+1项中含有x2y2,则Tr+1=·(-1)r·,因此8-r-=2,r-=2,即r=4.故x2y2的系数为×(-1)4==70.11.已知在的展开式中,第9项为常数项,求:(1)n的值;(2)展开式中x5的系数;(3)含x的整数次幂的项的项数.解:已知二项展开式的通项Tk+1==(-1)k.(1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-k=0,解得n=10.(2)令2n-k=5,得k=(2n-5)=6,所以x5的系数为(-1)6×.(3)要使2n-k为整数,即为整数,只需k为偶数,由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.B组1.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是() B.-252 解析:(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10展开式中含x5的项的系数为=207.答案:D+4-8+…+(-2)n等于() -1 .(-1)n解析:逆用二项式定理,将1看成公式中的a,-2看成公式中的b,可得原式=(1-2)n=(-1)n.答案:C3.(2014湖南高考)的展开式中x2y3的系数是() -5 解析:由已知,得Tr+1=(-2y)r=(-2)rx5-ryr(0≤r≤5,r∈Z),令r=3,得T4=(-2)3x2y3=-20x2y3.答案:A4.(2014四川高考)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为() .20 解析:含x3的项是由(1+x)6展开式中含x2的项与x相乘得到的,又(1+x)6展开式中含x2的项的系数为=15,故含x3项的系数是15.答案:C5.若(1+2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项,则x的取值范围是.解析:由解得<x<.答案:6.设m为大于1且小于10的正整数,若的展开式中有不含x的项,满足这样条件的m有个.解析:的展开式的通项为Tr+1=·(x3)m-r·=(-1)r··x3m-5r因为展开式中有不含x的项,所以有3m-5r=0,即3m=5r.又1<m<10(0≤r≤m),且m∈N*,r∈N,所以满足条件的m只有m=5.答案:17.(2014安徽高考)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=.解析:由题意得a1==3,∴n=3a;a2==4,∴n2-n=8a2.将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.答案:38.已知的展开式中,第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍,求展开式中x的一次项.解:依题意=7,整理可得(n-1)(n-2)=6×7,因为n>0,所以n=8.设展开式中含x的项是第k+1项,则Tk+1=)8-k=(-2)k.所以=1,解得k=2.故展开式中含x的项为第3项,即T3=(-2)2x=112x.9.(2014山东高考改编)若的展开式中x3项的系数为20,求a2+b2的最小值.解:的展开式的通项为Tr+1=(ax2)6-r·a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3,由a6-3b3=20得ab=1,所以a2+b2≥2ab=2,故a2+b2的最小值为2.10.(1)求(x2-x+1)(1+x)8展开式中x4项的系数;(2)求(1-x)5(1-2x)6展开式中x3项的系数.解:(1)(1+x)8展开式中x2,x3,x4的系数分别为,(1+x)8与(x2-x+1)相乘后,得x4项的系数为=42.(2)(1-x)5的展开式中,x0,x1,x2,x3项的系数分别为,-,-,(1-2x)6的展开式中,x0,x1,x2,x3项的系数依次为,(-2),(-2)2,(-2)3,因此,(1-x)5(1-2x)6的展开式中,x3项的系数是·(-2)3·+(-)·(-2)2··(-2)·+(-)·=-590.11.已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数的最小值.解:(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x的项为·2x+·4x=(2+4)x,∴2+4=36,即m+2n=18.(