备考 中考数学一轮复习专题：相似三角形及其应用

中考数学一轮复习专题:相似三角形及其应用一、单选题1．（2021九上·瑞安月考）若xy=32，则A．25 B．35 C．522．（2021九上·瑞安月考）一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（）cm。A．265+26 B．265-26 C．135+14 3．（2021九上·湖州月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AEAB＝ADAC＝A．1：3 B．1：2 C．1：3 D．1：44．（2021九上·瑞安月考）在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的两个点，并且DE∥BC,AD:BD=3:2，则△ADE与四边形BCED的面积之比为（）A．3:5 B．4:25 C．9:16 D．9:255．（2021九上·柯桥期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC．则下列等式中，正确的是（）A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•ABC．AC2＝BC•AB D．AC2＝2AB•BC6．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连结AC，若tanB＝53，则tan∠CAD的值为()A．33 B．35 C．137．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论错误的是()A．AC=2AP B．△PBC是等边三角形C．S△BGC=3S△AGP D．PG8．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE~△ECH；其中，正确的结论有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2021九上·湖州月考）如图，△ABC中，点D为边BC上的点，点E、F分别是边AB、AC上两点，且EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC＝n，则（）A．m＞1，n＞1，则2S△AEF＞S△ABDB．m＜1，n＜1，则2S△AEF＞S△ABDC．m＞1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABDD．m＜1，n＞1，则2S△AEF＜S△ABD二、填空题11．（2021九上·瑞安月考）c是线段a,b的比例中项，若a=4cm,b=9cm，则c=cm.12．（2021九上·湖州月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC，BC上，有两个顶点在斜边AB上，则△ABC的面积为．13．如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的AEDF的30°角的顶点D放在AB边上，E，F分别在AC，BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD=．14．如图，在△ABC中，BD，CE是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点0，则OBOD=15．如图，在方格纸中，以每个小方格的边长为单位1，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，请你提供一个符合条件的点P，使△ABC与以E，P，D为顶点的三角形相似，则点P所在的格点坐标可以是16．（2021九上·湖州月考）已知AC、BD为⊙O的直径，连结AB，BC，AB＝BC，若点F是OC上一点，且CF＝2OF．点E是AB上一点（且不与点A、B重合），连结EF，设OB与EF交于点P．①如图2，当点E为AB中点时，则PEPF的值②连结DF，当EF⊥DF时，AEAB＝三、综合题17．（2021九上·瑞安月考）如图，矩形ABCD,BF⊥AC交CD于点E，交AD的延长线于点F.（1）求证：AB2=BC·AF.（2）当BCAB=218．（2021九上·湖州月考）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．19．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm．（1）求证：BO⊥CO；（2）求BE和CG的长．20．（2019九下·期中）如图，在矩形ABCD中，DG⊥AC，垂足为G．（1）△ADG与△ACD、△CDG与△CAD相似吗？为什么？（2）若AG=6，CG=12，求矩形ABCD的面积．21．在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为BC上一点．（1）如图1，若AF⊥BC，垂足为F，BF＝3，AF＝4，求EF的长．（2）如图2，若DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC，求证：PC＝2AQ．22．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．（1）求证：CD为⊙O的切线．（2）若CDAD=323．如图，点P、M、Q在半径为1的⊙O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：（1）sin60°=；cos75°=；（2）若MH⊥x轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长．（结果精确到0.01，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）24．（2021九上·义乌期中）在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α，α＝∠ABC，得到PE，连接CE.（1）【观察发现】如图1，当BA＝BC，且∠ABC＝60°时，BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是.（2）【猜想证明】如图2，当BA＝BC，且∠ABC＝90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）【拓展探究】在（2）的条件下，若AB＝8，AP＝52，请直接写出CE的长.25．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2（1）求cos∠ABC的值。（2）若E为轴上的点，且S△AOE=26．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(-3，0)，经过A，O两点作半径为52（1）求B点的坐标；（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式·27．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA-8|+(OB-6)2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A，B，M，P为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠CBA交AC于E，交CD于F，CG⊥BE交AB于G．（1）求证：四边形CFGE是菱形；（2）若AG=4，BG=6，求AE和DF的长．

答案解析部分1．【答案】B【考点】比例的性质【解析】【解答】解：∵xy=32，

∴设x=3k，y=2k，

∴xx+y2．【答案】D【考点】黄金分割【解析】【解答】解：∵书的宽与长之比为黄金比，长为26cm，

∴它的宽=5−12×26=135−13.

故答案为：D.

3．【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵AEAB＝ADAC，∠DAE=∠CAB，

∴△ADE∽△ACB，

∴△ADE周长与△ABC的周长比=12.

故答案为：B.4．【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵ADBD=32，

∴ADAB=35，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADES△ABC=AD5．【答案】C【考点】黄金分割【解析】【解答】解：∵把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段和较短线段的比例中项，

∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC

∴AC2＝BC·AB.

故答案为：C.

【分析】利用黄金分割点的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段和较短线段的比例中项，可证得答案.6．【答案】D【考点】平行线的性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：过点D作DE∥AB交AC于点E.∵∠BAD＝90°，DE∥AB，∴∠ADE＝90°，∵tanB＝53=AD∵DE∥AB，∴DEAB=CD∴tan∠CAD＝DEAD＝k5k＝【分析】过点D作DE∥AB交AC于点E，根据平行线的性质可得∠ADE＝∠BAD＝90°，由tanB＝53=ADAB，可设AD＝5k，AB＝3k，根据平行线分线段成比例可得DEAB=CD7．【答案】D【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ABC=90°

在△ABC中，

AC2=AB2+BC2

∴AC=32+32=23

∴sin∠ACB=ABAC=323=12

∴∠ACB=30°

∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，

∴BP⊥AC，∠ACB=∠ACP=30°，AB=AP=3，BC=PC，

∴AC=2AP，故A不符合题意；

∵∠PBC=90°-30°=60°

∴△BCP为等边三角形，故B不符合题意；

∵AC垂直平分BP

∴∠BGC=90°

在Rt△PCG中，∠PCG=30°

∴tan∠PCG=tan30°=PGCG=【分析】利用矩形的四个角是直角，可知∠ABC=90°，利用勾股定理求出AC的长，再利用解直角三角形求出∠ACB的度数，再利用折叠的性质，可知BP⊥AC，∠ACB=∠ACP=30°，AB=AP=3，BC=PC，可得出AC与AP的大小关系，可对A作出判断，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可对B作出判断；再证明△BGC∽△AGB，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可对C作出判断；然后在Rt△PCG中，∠PCG=30°，利用解直角三角形求出PG与CG的比值，可对D作出判断。8．【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵正方形ABCD

∴AB=BC，∠B=90°

∵AG=CE

∴AB-AG=BC-CE，即BG=BE，

∴△BEG是等腰直角三角形，

在Rt△BGE中，GE＞BE，故①错误；

∵AE⊥EF

∴∠AEF=90°

∴∠EAG+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠EAG=∠CEF，

在△AGE和△ECF中

AG=CE∠EAG=∠CEFAE=EF

∴△AGE≌△ECF（ASA），故②正确；

∴∠AGE=∠ECF=90°+∠FCD

∵△BEG是等腰直角三角形，

∴∠BGE=45°

∴∠AGE=180°-45°=135°

∴∠ECF=90°+∠FCD=135°

∴∠FCD=135°-90°=45°，故③正确；

∵∠FEC=∠BAE

∵∠BGE=45°＞∠BAE，即∠CEF＜∠BGE

△ECH不是等腰直角三角形，

∴△GBE与△ECH不相似，故④错误；

∴正确的序号为②③【分析】利用正方形的性质，可知AB=BC，∠B=90°，结合已知条件可证得BE=CE，可对①作出判断；再证明∠EAG=∠CEF，利用SAS可证得△AGE≌△ECF，可对②作出判断；利用全等三角形的性质，可证∠AGE=∠ECF=90°+∠FCD，再由△BGE是等腰直角三角形，可求出∠AGE的度数，即可求出∠FCD的度数，可对③作出判断；然后根据∠EAG=∠CEF，而∠BGE＞∠EAG，即∠CEF＜∠BGE，因此△ECH不是等腰直角三角形，因此△GBE与△ECH不相似，可对④作出判断，综上所述可得出正确结论的个数。9．【答案】D【考点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】∵四边形ADEF为正方形，

∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，

∴∠CAD+∠FAG=90°，

∵FG⊥CA，

∴∠GAF+∠AFG=90°，

∴∠CAD=∠AFG，

在△FGA和△ACD中，

∠G=∠C∠AFG=∠CADAF=AD

∴△FGA≌△ACD（AAS），

∴AC=FG，故①正确；

∵BC=AC，

∴FG=BC，

∵∠ACB=90°，FG⊥CA，

∴FG∥BC，

∴四边形CBFG是矩形，

∴∠CBF=90°，

S△FAB=12FB•FG=12S四边形CBFG，即S△FAB：S四边形CBFG=1：2，故②正确；

∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，

∴∠ABC=∠ABF=45°，故③正确；

∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，

∴△ACD∽△FEQ，

∴AC：AD=FE：FQ，

∴AD•FE=AD2【分析】利用正方形的性质可证得∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，再利用AAS证明△FGA≌△ACD，利用全等三角形的性质易证AC=FG，可对①作出判断；再证明四边形CBFG是矩形，易证S△FAB=S四边形CBFG，可对②作出判断；再根据等腰直角三角形的性质和矩形的性质，可推出∠ABC=∠ABF=45°，可对③作出判断；利用相似三角形的判定定理可证得△ACD∽△FEQ，利用相似三角形的性质得出对应边成比例，可证得AD2=FQ•AC，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的个数。10．【答案】D【考点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴S△AEFS△ABC=AE2AB2=m2m+12，

∴S△AEF=m2m+12S△ABC，

∵BD：DC=n，则BD：BC=n：(n+1)，

∴S△ABD=nn+1S△ABC，

∴S△AEFS△ABD=m+1m2nn+1=m+1m2·n+1n，

∴当m=1，n=1，即当D为BC中点，E为AB中点，S△AEFS△ABD=12，

A、当m>1，n>1时，S△AEF和S△ABD同时增大，则S△AEFS△ABD>12或S△AEFS△ABD<12，即2S△AEF＞S△ABD或2S△AEF<S△ABD，错误；

B、当m<1，n<1时，S△AEF和S△ABD同时减小，则S△AEFS11．【答案】6【考点】比例线段【解析】【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项，

∴c2=ab=4×9=36，

∴c=6.

【分析】根据线段比例中项的定义得出c2=ab=36，即可得出c=6.12．【答案】16【考点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：如图，取D、E、F、G、H点，

∴DE=FG=2，EF=1，

∵DE∥FG，

∴∠BED=∠EGF，

在△BDE和△EFG中，

∠EGF=∠BED∠BDE=∠EFGDE=FG，

∴△BDE≌△EFG（AAS），

∴BD=EF=1，

∴BC=BD+DH+HC=4，

∵DE∥AC，

∴∠BED=∠A，

又∠BDE=∠C，

∴△BDE∽△BCA，

∴BD：BC=DE：CA，

∴1:4=2:CA，

解得CA=8，

∴△ABC的面积=12AC×BC=16.

故答案为：16.

13．【答案】65或【考点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵∠EDF=30°，ED⊥AB于D，

∴∠ADE=90°

∵∠B=90°-30°=60°，

∴∠FDB=180°-30°-90°=60°=∠B，

∴△BDF是等边三角形，

∵BC=1，

∴AB=2BC=2，

∵BD=BF，

∴2-AD=1-CF；

∴AD=CF+1．

①如图1，∠FED=90°，△CEF∽△EDF，

∴CFEF=EFDF即CF2CF=2CF1−CF

解之：CF=15

∴AD=15+1=65；

②如图2，∠EFD=90°，△CEF∽△FED，

∴CFDF=CEEF即CF1−CF=【分析】利用垂直的定义及三角形内角和定理，分别求出∠B、∠FDB的度数，就可证得△BDF是等边三角形，可得到BD=BF，利用直角三角形的性质，可求出AB的长，可证得AD=CF+1。若△CEF与△DEF相似，分情况讨论：当∠FED=90°时，当∠EFD=90°，分别利用相似三角形的性质求出CF的长，再根据AD=CF+1，可求出AD的长。14．【答案】2【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵在△ABC中，BD，CE是边AC，AB上的中线

∴DE是△ABC的中位线

∴DE∥BC，DE=12BC

△ODE∽△OBC

∴OBOD【分析】利用三角形中线的定义可证得DE是△ABC的中位线，再利用三角形中位线定理可证DE∥BC，DE=1215．【答案】(3，6)(答案不唯一)【考点】坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】如图

∵AC=2，AB=3，DE=4，△ABC与以E，P，D为顶点的三角形相似

若△ABC∽△DPE

∴AC：DE=AB：DP

∴2:4=3：DP

∴DP=6

∵DP⊥x轴

∴点P的坐标为（3，6）

故答案为：（3，6）【分析】利用两边对应成比例且夹角相等，要使△ABC与以E，P，D为顶点的三角形相似，若△ABC∽△DPE，可知AC：DE=AB：DP，根据图形可知AC=2，AB=3，DE=4，可求出DP的长，然后可得到点P的坐标。16．【答案】32；【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：①过E作EM∥OA，

∵OA=OC，CF＝2OF，

∴OA=3OF，即OF=13OA，

∵E为AB中点，

∴EM为△AOB的中位线，

∴EM=12OA，

∴EMOF=1213=32，

∵EM∥AC，

∴△POF∽△PME，

∴PEPF=EMOF=32；

②如图，作EM⊥OB于M，EH⊥OA于H，

∵∠OFD+∠OFP=∠OFP+∠OPF，

∴∠OFP=∠MEP，

又∠DOF=∠POF，

∴△DOF∽△FOP，

∴OF2=OP×OD，

设r=1，

∴OP=OF2OD=19OD2OD=19，

设AH=HE=x，

∴EM=OH=1-x，

∵△MPE∽△FPD，

∵PM:EM=OP:OF=1:3，

∴PM=13(1-x)，

∵OM=HE，

∴13(1-x)+117．【答案】（1）证明：∵矩形ABCD∴∠FAB=∠ABC=90°∵BF⊥AC∴∠ACB+∠CBE=∠CBE+∠FBA=90°∴∠ACB=∠FBA∴△ABF∽△BCA∴AB∴A（2）解：∵BC∴设BC=2x，AB=3x∵A∴(3x)∴x∴BC=4,AB=6∴AC=【考点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）先证出△ABF∽△BCA，得出ABBC=AFBA，即可得出AB2=BC·AF；18．【答案】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴AC＝CD，∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CEAC＝AC∴CE6＝6∴CE＝3.6，∵OC＝12∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．【考点】垂径定理；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据垂径定理得出AC＝CD，则可根据圆周角定理求出∠CAD＝∠CBA．

(2)根据垂径定理得出OC⊥AD，则可得出∠AEC＝∠ACB，结合(1)的结论，证明△AEC∽△BCA，根据相似三角形的性质列比例式求出CE长，最后根据线段间的和差关系求OE长即可.19．【答案】（1）证明：∵AB∥CD∴∠ABC+∠BCD=180°∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠DCB）=1∴∠BOC=90°，∴BO⊥CO．（2）解：连接OF，则OF⊥BC，∴Rt△BOF∽Rt△BCO，∴BFBO=BO∵在Rt△BOF中，BO=6cm，CO=8cm，∴BC=62∴BF6=6∴BF=3.6cm，∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，∴BE=BF=3.6cm，CG=CF，∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm．∴CG=CF=6.4cm．【考点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同旁内角互补得出∠ABC+∠BCD=180°，根据切线长定理得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠DCB，根据角的和差及等量代换得出∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠DCB）=12×180°=90°，根据三角形的内角和得出∠BOC=90°，即BO⊥CO；20．【答案】（1）解：△ADG∽△ACD、△CDG∽△CAD；∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∵DG⊥AC，∴∠AGD=∠DGC=90°，∴∠ADC=∠AGD，又∠A=∠A，∴△ADG∽△ACD，同理可得：△CDG∽△CAD（2）解：∵△ADG∽△ACD，∴AD2=AG•AC，∵△CDG∽△CAD，∴CD2=CG•AC，∵AG=6，CG=12，∴AC=18，∴AD=63，CD=66，∴S矩形ABCD=AD×CD=63×66=1082．【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）运用有两对对应角的三角形相似证明三角形相似即可；

（2）运用（1）中的三角形相似即可得到比例中项：AD2=AG•AC，CD2=CG•AC，求出矩形的长和宽，进而求出矩形的面积即可。21．【答案】（1）解：∵AF⊥BC，∴∠AFB＝90°，∵BF＝3，AF＝4，∴AB＝32∵AE＝EB，∴EF＝12AB＝（2）证明：连接AC交DE于点K，∵AE∥DC，∴∠AEP＝∠CDP，又∠AKE＝∠CKD，∴△AKE∽△CKD，∴AEDC＝AKKC＝∵AQ∥PC，∴∠KAQ＝∠PCK，又∠AKQ＝∠CKP，∴△AKQ∽△CKP．∴AQPC＝AK∵AKCK＝1∴AQPC＝1即PC＝2AQ【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【分析】（1）直角三角形斜边中线等于斜边的一半，计算可得；

（2）根据AE∥DC，易得△AKE∽△CKD，AQ∥PC易得△AKQ∽△CKP，通过相似比进行计算即可得到PC=2AQ。22．【答案】（1）证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB，∵CDAD=3∴令CD=3，AD=4，得AC=5，∴BCAC=3BC5=3∴BC=154由勾股定理得AB=254∴OC=258∵OC∥AD，∴OCAD=OE∴2584=解得AE=1007∴cos∠DAB=ADAE=41007【考点】切线的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的性质，易证∠DAC=∠OCA，利用平行线的判定方法，可证OC∥AD，由AD⊥CD，可证得OC⊥CD，然后根据切线的判断方法，可证得结论。

（2）利用圆周角定理可证得∠ACB=90°，由∠CAD=∠CAB，再根据相似三角形的判定和性质，可证得CDAD23．【答案】（1）；0.26（2）解：在Rt△MHO中，sin∠MOH=MHMO即MH=MO•sin∠MOH=1×32=3∴OH=OM设PA⊥x轴，垂足为A，如右图所示，∵∠NHO=∠PAO=90°，∴NH∥PA，∴△ONH∽△OPA，∴NHPA=OHOA，即NH0.26∴NH≈0.134．∴MN=MH-HN=32【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：（1）由图可知，sin60°=32，cos75°=0.26故答案为：32【分析】（1）根据题中提供的数据，及锐角三角函数的定义即可求出答案；

（2）在Rt△MHO中，根据正弦函数的定义，由MH=MO•sin∠MOH算出MH的长，从而根据勾股定理算出OH的长；设PA⊥x轴，垂足为A，如右图所示，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ONH∽△OPA，根据相似三角形对应边成比例得出NHPA=OH24．【答案】（1）BP＝CE；BC⊥CE（2）解：如图2中，（1）中的结论BC⊥CE成立.BP＝CE不成立，结论是EC＝2BP.理由：如图2中，连接AE.∵△ABC，△APE都是等腰直角三角形，∴AC＝2AB，AE＝2AP，∠BAC＝∠ACB＝∠PAE＝45°，∴∠BAP＝∠CAE，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴∠ABD＝12∵ACAB＝AEAP＝∴△CAE∽△BAP，∴ECBP＝ACAB＝∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴EC＝2BP，BC⊥EC.（3）解：当点P在线段BD上时，如图2中，∵AB＝CB＝8，∠ABC＝90°，∴AC＝82，∵BD⊥AC，∴AD＝DC＝42，∵AP＝52，∴PD＝AP2−AD2∵BD＝AD＝DC＝42，∴BP＝BD﹣PD＝2，∴EC＝2BP＝2.当点P在BD的延长线上时，如图3中，同法可得PD＝32，∴BP＝BD+PD＝72，∴EC＝2BP＝14.综上所述，EC的长为2或14.【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接AE.∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝12∵PA＝PE，∠APE＝∠ABC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAC＝∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴BC⊥CE.故答案为：BP＝CE，BC⊥CE.【分析】（1）连接AE，易得△ABC、△APE是等边三角形，则AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠PAE＝60°，∠ABD＝30°，AP＝AE，推出∠BAP＝∠CAE，证明△BAP≌△CAE，得到BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，然后求出∠BCE的度数，据此判断；

（2）连接AE，由等腰直角三角形的性质可得AC＝2AB，AE＝2AP，∠BAC＝∠ACB＝∠PAE＝45°，则∠BAP＝∠CAE，∠ABD＝45°，证明△CAE∽△BAP，据此解答；

（3）当点P在线段BD上时，由勾股定理可得AC=82，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD＝DC＝42，由勾股定理求出PD，然后根据BP=BD-PD、EC＝2BP进行计算；当点P在BD的延长线上时，同法可得PD＝32，然后根据BP=BD+PD、EC＝2BP进行计算.25．【答案】（1）解：解一元二次方程x2−7x+12=0得x∵OA＞OB∴OA＝4，OB＝3，在RtΔAOB中，OA＝4，OB＝3，∴AB＝4∴cos∠ABC=；（2）解：设E（x，0），由题意得S解得x=∴E（83，0）或（-8∵四边形ABCD是平行四边形，∴点D的坐标是（6，4）设经过D、E两点的直线的解析式为若图象过点（83则83k+b=0此时函数解析式为y=若图象过点（-83则−83此时函数解析式为y=在△AOE与△DAO中，OAOE=∴又∵∠AOE=∠OAD=90°∴△AOE∽△DAO。【考点】一元二次方程的根；坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【解析】【分析】（1）求出方程的根，可得OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB=5，由cos∠ABC=ABOB即可求出结论；

（2）设E（x，0），根据三角形的面积公式可得S△AOE=12OA⋅x=12×4x=163，解出x的值，即得点E（26．【答案】（1）解：∠AOB=90°，AB是直径，且AB=5，在Rt△AOB中，由勾股定理可得B=ABB点的坐标为(0，-4)；（2）解：BD是⊙C的切线，CB是⊙C的半径，BD⊥AB。即∠ABD=90°，∠DAB+∠ADB=90°，又∠BDO+∠OBD=90°，∠DAB=VDB0，∠AOB=∠BOD=90°．△ABO∽△BDO，OAOB=OBD的坐标为(163设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠o，k、b为常数)，则有163k+b=0直线BD的解析式为y=34【考点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）要求B点坐标，只要求出OB的长度即可。A点坐标已知，OA长度可求，现知圆的半径，则AB的长度可求，利用勾股定理即可求出OB的长度。

（2）要求直线BD的解析式，B点已求，只要求出D点坐标就可解决。由圆的切线性质及直角三角形的两个锐角互余可求得△ABOG∽△BDO，由相似三角形对应边成比例，列比例式求得OD的长度，则D的坐标可求。现知B、D坐标，用待定系数法可求直线BD的解析式。27．【答案】（1）解：|OA-8|+(OB-6)2=0OA=8，OB=6，在直角△AOB中，AB=OA2+O（2）解：在△OBC和△D