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中考数学一轮复习专题:相似三角形及其应用一、单选题1.(2021九上·瑞安月考)若xy=32,则A.25 B.35 C.522.(2021九上·瑞安月考)一种数学课本的宽与长之比为黄金比,已知它的长是26cm,那么它的宽是()cm。A.265+26 B.265-26 C.135+14 3.(2021九上·湖州月考)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且AEAB=ADAC=A.1:3 B.1:2 C.1:3 D.1:44.(2021九上·瑞安月考)在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的两个点,并且DE∥BC,AD:BD=3:2,则△ADE与四边形BCED的面积之比为()A.3:5 B.4:25 C.9:16 D.9:255.(2021九上·柯桥期中)已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC.则下列等式中,正确的是()A.AB2=AC•BC B.BC2=AC•ABC.AC2=BC•AB D.AC2=2AB•BC6.如图,在直角△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连结AC,若tanB=53,则tan∠CAD的值为()A.33 B.35 C.137.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,将△ABC沿对角线AC折叠,点B恰好落在点P处,CP与AD交于点F,连接BP交AC于点G,交AD于点E,下列结论错误的是()A.AC=2AP B.△PBC是等边三角形C.S△BGC=3S△AGP D.PG8.如图,G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点,且AG=CE,AE⊥EF,AE=EF,现有如下结论:①BE=GE;②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°;④△GBE~△ECH;其中,正确的结论有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.如图,CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与B,C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG;②S△FAB:S四边形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ•AC,其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.410.(2021九上·湖州月考)如图,△ABC中,点D为边BC上的点,点E、F分别是边AB、AC上两点,且EF∥BC,若AE:EB=m,BD:DC=n,则()A.m>1,n>1,则2S△AEF>S△ABDB.m<1,n<1,则2S△AEF>S△ABDC.m>1,n<1,则2S△AEF<S△ABDD.m<1,n>1,则2S△AEF<S△ABD二、填空题11.(2021九上·瑞安月考)c是线段a,b的比例中项,若a=4cm,b=9cm,则c=cm.12.(2021九上·湖州月考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC,BC上,有两个顶点在斜边AB上,则△ABC的面积为.13.如图,在一块直角三角板ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,将另一个含30°角的AEDF的30°角的顶点D放在AB边上,E,F分别在AC,BC上,当点D在AB边上移动时,DE始终与AB垂直,若△CEF与△DEF相似,则AD=.14.如图,在△ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点0,则OBOD=15.如图,在方格纸中,以每个小方格的边长为单位1,△ABC和△EPD的顶点均在格点上,请你提供一个符合条件的点P,使△ABC与以E,P,D为顶点的三角形相似,则点P所在的格点坐标可以是16.(2021九上·湖州月考)已知AC、BD为⊙O的直径,连结AB,BC,AB=BC,若点F是OC上一点,且CF=2OF.点E是AB上一点(且不与点A、B重合),连结EF,设OB与EF交于点P.①如图2,当点E为AB中点时,则PEPF的值②连结DF,当EF⊥DF时,AEAB=三、综合题17.(2021九上·瑞安月考)如图,矩形ABCD,BF⊥AC交CD于点E,交AD的延长线于点F.(1)求证:AB2=BC·AF.(2)当BCAB=218.(2021九上·湖州月考)如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AD的中点.(1)求证:∠CAD=∠CBA.(2)求OE的长.19.如图,AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G.且AB∥CD.BO=6cm,CO=8cm.(1)求证:BO⊥CO;(2)求BE和CG的长.20.(2019九下·期中)如图,在矩形ABCD中,DG⊥AC,垂足为G.(1)△ADG与△ACD、△CDG与△CAD相似吗?为什么?(2)若AG=6,CG=12,求矩形ABCD的面积.21.在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,F为BC上一点.(1)如图1,若AF⊥BC,垂足为F,BF=3,AF=4,求EF的长.(2)如图2,若DE和AF相交于点P,点Q在线段DE上,且AQ∥PC,求证:PC=2AQ.22.如图,以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C,过C作CD⊥AD于D,交AB的延长线于E.(1)求证:CD为⊙O的切线.(2)若CDAD=323.如图,点P、M、Q在半径为1的⊙O上,根据已学知识和图中数据(0.97、0.26为近似数),解答下列问题:(1)sin60°=;cos75°=;(2)若MH⊥x轴,垂足为H,MH交OP于点N,求MN的长.(结果精确到0.01,参考数据:2≈1.414,3≈1.732)24.(2021九上·义乌期中)在△ABC中,BD⊥AC于点D,点P为射线BD上任一点(点B除外),连接AP,将线段PA绕点P顺时针方向旋转α,α=∠ABC,得到PE,连接CE.(1)【观察发现】如图1,当BA=BC,且∠ABC=60°时,BP与CE的数量关系是,BC与CE的位置关系是.(2)【猜想证明】如图2,当BA=BC,且∠ABC=90°时,(1)中的结论是否成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由.(请选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理)(3)【拓展探究】在(2)的条件下,若AB=8,AP=52,请直接写出CE的长.25.如图,平行四边形ABCD在平面直角坐标系中,AD=6,若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2(1)求cos∠ABC的值。(2)若E为轴上的点,且S△AOE=26.如图,在平面直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为(-3,0),经过A,O两点作半径为52(1)求B点的坐标;(2)过B点作⊙C的切线交x轴于点D,求直线BD的解析式·27.如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,且OA,OB的长满足|OA-8|+(OB-6)2=0,∠ABO的平分线交x轴于点C,过点C作AB的垂线,垂足为点D,交y轴于点E.(1)求线段AB的长;(2)求直线CE的解析式;(3)若M是射线BC上的一个动点,在坐标平面内是否存在点P,使以A,B,M,P为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.28.Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,BE平分∠CBA交AC于E,交CD于F,CG⊥BE交AB于G.(1)求证:四边形CFGE是菱形;(2)若AG=4,BG=6,求AE和DF的长.
答案解析部分1.【答案】B【考点】比例的性质【解析】【解答】解:∵xy=32,
∴设x=3k,y=2k,
∴xx+y2.【答案】D【考点】黄金分割【解析】【解答】解:∵书的宽与长之比为黄金比,长为26cm,
∴它的宽=5−12×26=135−13.
故答案为:D.
3.【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解:∵AEAB=ADAC,∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB,
∴△ADE周长与△ABC的周长比=12.
故答案为:B.4.【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:∵ADBD=32,
∴ADAB=35,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴S△ADES△ABC=AD5.【答案】C【考点】黄金分割【解析】【解答】解:∵把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段和较短线段的比例中项,
∵点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC
∴AC2=BC·AB.
故答案为:C.
【分析】利用黄金分割点的定义:把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段和较短线段的比例中项,可证得答案.6.【答案】D【考点】平行线的性质;平行线分线段成比例;锐角三角函数的定义【解析】【解答】解:过点D作DE∥AB交AC于点E.∵∠BAD=90°,DE∥AB,∴∠ADE=90°,∵tanB=53=AD∵DE∥AB,∴DEAB=CD∴tan∠CAD=DEAD=k5k=【分析】过点D作DE∥AB交AC于点E,根据平行线的性质可得∠ADE=∠BAD=90°,由tanB=53=ADAB,可设AD=5k,AB=3k,根据平行线分线段成比例可得DEAB=CD7.【答案】D【考点】矩形的性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形【解析】【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠ABC=90°
在△ABC中,
AC2=AB2+BC2
∴AC=32+32=23
∴sin∠ACB=ABAC=323=12
∴∠ACB=30°
∵将△ABC沿对角线AC折叠,点B恰好落在点P处,
∴BP⊥AC,∠ACB=∠ACP=30°,AB=AP=3,BC=PC,
∴AC=2AP,故A不符合题意;
∵∠PBC=90°-30°=60°
∴△BCP为等边三角形,故B不符合题意;
∵AC垂直平分BP
∴∠BGC=90°
在Rt△PCG中,∠PCG=30°
∴tan∠PCG=tan30°=PGCG=【分析】利用矩形的四个角是直角,可知∠ABC=90°,利用勾股定理求出AC的长,再利用解直角三角形求出∠ACB的度数,再利用折叠的性质,可知BP⊥AC,∠ACB=∠ACP=30°,AB=AP=3,BC=PC,可得出AC与AP的大小关系,可对A作出判断,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,可对B作出判断;再证明△BGC∽△AGB,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可对C作出判断;然后在Rt△PCG中,∠PCG=30°,利用解直角三角形求出PG与CG的比值,可对D作出判断。8.【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质;相似三角形的判定【解析】【解答】解:∵正方形ABCD
∴AB=BC,∠B=90°
∵AG=CE
∴AB-AG=BC-CE,即BG=BE,
∴△BEG是等腰直角三角形,
在Rt△BGE中,GE>BE,故①错误;
∵AE⊥EF
∴∠AEF=90°
∴∠EAG+∠AEB=90°,∠AEB+∠CEF=90°,
∴∠EAG=∠CEF,
在△AGE和△ECF中
AG=CE∠EAG=∠CEFAE=EF
∴△AGE≌△ECF(ASA),故②正确;
∴∠AGE=∠ECF=90°+∠FCD
∵△BEG是等腰直角三角形,
∴∠BGE=45°
∴∠AGE=180°-45°=135°
∴∠ECF=90°+∠FCD=135°
∴∠FCD=135°-90°=45°,故③正确;
∵∠FEC=∠BAE
∵∠BGE=45°>∠BAE,即∠CEF<∠BGE
△ECH不是等腰直角三角形,
∴△GBE与△ECH不相似,故④错误;
∴正确的序号为②③【分析】利用正方形的性质,可知AB=BC,∠B=90°,结合已知条件可证得BE=CE,可对①作出判断;再证明∠EAG=∠CEF,利用SAS可证得△AGE≌△ECF,可对②作出判断;利用全等三角形的性质,可证∠AGE=∠ECF=90°+∠FCD,再由△BGE是等腰直角三角形,可求出∠AGE的度数,即可求出∠FCD的度数,可对③作出判断;然后根据∠EAG=∠CEF,而∠BGE>∠EAG,即∠CEF<∠BGE,因此△ECH不是等腰直角三角形,因此△GBE与△ECH不相似,可对④作出判断,综上所述可得出正确结论的个数。9.【答案】D【考点】矩形的判定与性质;正方形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【解答】∵四边形ADEF为正方形,
∴∠FAD=90°,AD=AF=EF,
∴∠CAD+∠FAG=90°,
∵FG⊥CA,
∴∠GAF+∠AFG=90°,
∴∠CAD=∠AFG,
在△FGA和△ACD中,
∠G=∠C∠AFG=∠CADAF=AD
∴△FGA≌△ACD(AAS),
∴AC=FG,故①正确;
∵BC=AC,
∴FG=BC,
∵∠ACB=90°,FG⊥CA,
∴FG∥BC,
∴四边形CBFG是矩形,
∴∠CBF=90°,
S△FAB=12FB•FG=12S四边形CBFG,即S△FAB:S四边形CBFG=1:2,故②正确;
∵CA=CB,∠C=∠CBF=90°,
∴∠ABC=∠ABF=45°,故③正确;
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC,∠E=∠C=90°,
∴△ACD∽△FEQ,
∴AC:AD=FE:FQ,
∴AD•FE=AD2【分析】利用正方形的性质可证得∠FAD=90°,AD=AF=EF,证出∠CAD=∠AFG,再利用AAS证明△FGA≌△ACD,利用全等三角形的性质易证AC=FG,可对①作出判断;再证明四边形CBFG是矩形,易证S△FAB=S四边形CBFG,可对②作出判断;再根据等腰直角三角形的性质和矩形的性质,可推出∠ABC=∠ABF=45°,可对③作出判断;利用相似三角形的判定定理可证得△ACD∽△FEQ,利用相似三角形的性质得出对应边成比例,可证得AD2=FQ•AC,可对④作出判断,综上所述可得到正确结论的个数。10.【答案】D【考点】三角形的面积;相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴S△AEFS△ABC=AE2AB2=m2m+12,
∴S△AEF=m2m+12S△ABC,
∵BD:DC=n,则BD:BC=n:(n+1),
∴S△ABD=nn+1S△ABC,
∴S△AEFS△ABD=m+1m2nn+1=m+1m2·n+1n,
∴当m=1,n=1,即当D为BC中点,E为AB中点,S△AEFS△ABD=12,
A、当m>1,n>1时,S△AEF和S△ABD同时增大,则S△AEFS△ABD>12或S△AEFS△ABD<12,即2S△AEF>S△ABD或2S△AEF<S△ABD,错误;
B、当m<1,n<1时,S△AEF和S△ABD同时减小,则S△AEFS11.【答案】6【考点】比例线段【解析】【解答】解:∵线段c是线段a,b的比例中项,
∴c2=ab=4×9=36,
∴c=6.
【分析】根据线段比例中项的定义得出c2=ab=36,即可得出c=6.12.【答案】16【考点】三角形的面积;相似三角形的判定与性质;三角形全等的判定(AAS)【解析】【解答】解:如图,取D、E、F、G、H点,
∴DE=FG=2,EF=1,
∵DE∥FG,
∴∠BED=∠EGF,
在△BDE和△EFG中,
∠EGF=∠BED∠BDE=∠EFGDE=FG,
∴△BDE≌△EFG(AAS),
∴BD=EF=1,
∴BC=BD+DH+HC=4,
∵DE∥AC,
∴∠BED=∠A,
又∠BDE=∠C,
∴△BDE∽△BCA,
∴BD:BC=DE:CA,
∴1:4=2:CA,
解得CA=8,
∴△ABC的面积=12AC×BC=16.
故答案为:16.
13.【答案】65或【考点】等边三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:∵∠EDF=30°,ED⊥AB于D,
∴∠ADE=90°
∵∠B=90°-30°=60°,
∴∠FDB=180°-30°-90°=60°=∠B,
∴△BDF是等边三角形,
∵BC=1,
∴AB=2BC=2,
∵BD=BF,
∴2-AD=1-CF;
∴AD=CF+1.
①如图1,∠FED=90°,△CEF∽△EDF,
∴CFEF=EFDF即CF2CF=2CF1−CF
解之:CF=15
∴AD=15+1=65;
②如图2,∠EFD=90°,△CEF∽△FED,
∴CFDF=CEEF即CF1−CF=【分析】利用垂直的定义及三角形内角和定理,分别求出∠B、∠FDB的度数,就可证得△BDF是等边三角形,可得到BD=BF,利用直角三角形的性质,可求出AB的长,可证得AD=CF+1。若△CEF与△DEF相似,分情况讨论:当∠FED=90°时,当∠EFD=90°,分别利用相似三角形的性质求出CF的长,再根据AD=CF+1,可求出AD的长。14.【答案】2【考点】相似三角形的判定与性质;三角形的中位线定理【解析】【解答】解:∵在△ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中线
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC,DE=12BC
△ODE∽△OBC
∴OBOD【分析】利用三角形中线的定义可证得DE是△ABC的中位线,再利用三角形中位线定理可证DE∥BC,DE=1215.【答案】(3,6)(答案不唯一)【考点】坐标与图形性质;相似三角形的判定与性质【解析】【解答】如图
∵AC=2,AB=3,DE=4,△ABC与以E,P,D为顶点的三角形相似
若△ABC∽△DPE
∴AC:DE=AB:DP
∴2:4=3:DP
∴DP=6
∵DP⊥x轴
∴点P的坐标为(3,6)
故答案为:(3,6)【分析】利用两边对应成比例且夹角相等,要使△ABC与以E,P,D为顶点的三角形相似,若△ABC∽△DPE,可知AC:DE=AB:DP,根据图形可知AC=2,AB=3,DE=4,可求出DP的长,然后可得到点P的坐标。16.【答案】32;【考点】圆周角定理;相似三角形的判定与性质;三角形的中位线定理【解析】【解答】解:①过E作EM∥OA,
∵OA=OC,CF=2OF,
∴OA=3OF,即OF=13OA,
∵E为AB中点,
∴EM为△AOB的中位线,
∴EM=12OA,
∴EMOF=1213=32,
∵EM∥AC,
∴△POF∽△PME,
∴PEPF=EMOF=32;
②如图,作EM⊥OB于M,EH⊥OA于H,
∵∠OFD+∠OFP=∠OFP+∠OPF,
∴∠OFP=∠MEP,
又∠DOF=∠POF,
∴△DOF∽△FOP,
∴OF2=OP×OD,
设r=1,
∴OP=OF2OD=19OD2OD=19,
设AH=HE=x,
∴EM=OH=1-x,
∵△MPE∽△FPD,
∵PM:EM=OP:OF=1:3,
∴PM=13(1-x),
∵OM=HE,
∴13(1-x)+117.【答案】(1)证明:∵矩形ABCD∴∠FAB=∠ABC=90°∵BF⊥AC∴∠ACB+∠CBE=∠CBE+∠FBA=90°∴∠ACB=∠FBA∴△ABF∽△BCA∴AB∴A(2)解:∵BC∴设BC=2x,AB=3x∵A∴(3x)∴x∴BC=4,AB=6∴AC=【考点】勾股定理;矩形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)先证出△ABF∽△BCA,得出ABBC=AFBA,即可得出AB2=BC·AF;18.【答案】(1)证明:∵AE=DE,OC是半径,∴AC=CD,∴∠CAD=∠CBA.(2)解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵AE=DE,∴OC⊥AD,∴∠AEC=90°,∴∠AEC=∠ACB,∴△AEC∽△BCA,∴CEAC=AC∴CE6=6∴CE=3.6,∵OC=12∴OE=OC﹣EC=5﹣3.6=1.4.【考点】垂径定理;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据垂径定理得出AC=CD,则可根据圆周角定理求出∠CAD=∠CBA.
(2)根据垂径定理得出OC⊥AD,则可得出∠AEC=∠ACB,结合(1)的结论,证明△AEC∽△BCA,根据相似三角形的性质列比例式求出CE长,最后根据线段间的和差关系求OE长即可.19.【答案】(1)证明:∵AB∥CD∴∠ABC+∠BCD=180°∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G,∴BO平分∠ABC,CO平分∠DCB,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠DCB)=1∴∠BOC=90°,∴BO⊥CO.(2)解:连接OF,则OF⊥BC,∴Rt△BOF∽Rt△BCO,∴BFBO=BO∵在Rt△BOF中,BO=6cm,CO=8cm,∴BC=62∴BF6=6∴BF=3.6cm,∵AB、BC、CD分别与⊙O相切,∴BE=BF=3.6cm,CG=CF,∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm.∴CG=CF=6.4cm.【考点】平行线的性质;相似三角形的判定与性质;切线长定理【解析】【分析】(1)根据二直线平行,同旁内角互补得出∠ABC+∠BCD=180°,根据切线长定理得出∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠DCB,根据角的和差及等量代换得出∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠DCB)=12×180°=90°,根据三角形的内角和得出∠BOC=90°,即BO⊥CO;20.【答案】(1)解:△ADG∽△ACD、△CDG∽△CAD;∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,∵DG⊥AC,∴∠AGD=∠DGC=90°,∴∠ADC=∠AGD,又∠A=∠A,∴△ADG∽△ACD,同理可得:△CDG∽△CAD(2)解:∵△ADG∽△ACD,∴AD2=AG•AC,∵△CDG∽△CAD,∴CD2=CG•AC,∵AG=6,CG=12,∴AC=18,∴AD=63,CD=66,∴S矩形ABCD=AD×CD=63×66=1082.【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)运用有两对对应角的三角形相似证明三角形相似即可;
(2)运用(1)中的三角形相似即可得到比例中项:AD2=AG•AC,CD2=CG•AC,求出矩形的长和宽,进而求出矩形的面积即可。21.【答案】(1)解:∵AF⊥BC,∴∠AFB=90°,∵BF=3,AF=4,∴AB=32∵AE=EB,∴EF=12AB=(2)证明:连接AC交DE于点K,∵AE∥DC,∴∠AEP=∠CDP,又∠AKE=∠CKD,∴△AKE∽△CKD,∴AEDC=AKKC=∵AQ∥PC,∴∠KAQ=∠PCK,又∠AKQ=∠CKP,∴△AKQ∽△CKP.∴AQPC=AK∵AKCK=1∴AQPC=1即PC=2AQ【考点】相似三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线【解析】【分析】(1)直角三角形斜边中线等于斜边的一半,计算可得;
(2)根据AE∥DC,易得△AKE∽△CKD,AQ∥PC易得△AKQ∽△CKP,通过相似比进行计算即可得到PC=2AQ。22.【答案】(1)证明:连接OC,∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,∵AD⊥CD,∴OC⊥CD,∵OC为⊙O半径,∴CD是⊙O的切线;(2)解:连接BC,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵AC平分∠BAD,∴∠CAD=∠CAB,∵CDAD=3∴令CD=3,AD=4,得AC=5,∴BCAC=3BC5=3∴BC=154由勾股定理得AB=254∴OC=258∵OC∥AD,∴OCAD=OE∴2584=解得AE=1007∴cos∠DAB=ADAE=41007【考点】切线的判定;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义及等腰三角形的性质,易证∠DAC=∠OCA,利用平行线的判定方法,可证OC∥AD,由AD⊥CD,可证得OC⊥CD,然后根据切线的判断方法,可证得结论。
(2)利用圆周角定理可证得∠ACB=90°,由∠CAD=∠CAB,再根据相似三角形的判定和性质,可证得CDAD23.【答案】(1);0.26(2)解:在Rt△MHO中,sin∠MOH=MHMO即MH=MO•sin∠MOH=1×32=3∴OH=OM设PA⊥x轴,垂足为A,如右图所示,∵∠NHO=∠PAO=90°,∴NH∥PA,∴△ONH∽△OPA,∴NHPA=OHOA,即NH0.26∴NH≈0.134.∴MN=MH-HN=32【考点】相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义【解析】【解答】解:(1)由图可知,sin60°=32,cos75°=0.26故答案为:32【分析】(1)根据题中提供的数据,及锐角三角函数的定义即可求出答案;
(2)在Rt△MHO中,根据正弦函数的定义,由MH=MO•sin∠MOH算出MH的长,从而根据勾股定理算出OH的长;设PA⊥x轴,垂足为A,如右图所示,根据平行于三角形一边的直线截其它两边,所截的三角形与原三角形相似得出△ONH∽△OPA,根据相似三角形对应边成比例得出NHPA=OH24.【答案】(1)BP=CE;BC⊥CE(2)解:如图2中,(1)中的结论BC⊥CE成立.BP=CE不成立,结论是EC=2BP.理由:如图2中,连接AE.∵△ABC,△APE都是等腰直角三角形,∴AC=2AB,AE=2AP,∠BAC=∠ACB=∠PAE=45°,∴∠BAP=∠CAE,∵BA=BC,BD⊥AC,∴∠ABD=12∵ACAB=AEAP=∴△CAE∽△BAP,∴ECBP=ACAB=∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,∴EC=2BP,BC⊥EC.(3)解:当点P在线段BD上时,如图2中,∵AB=CB=8,∠ABC=90°,∴AC=82,∵BD⊥AC,∴AD=DC=42,∵AP=52,∴PD=AP2−AD2∵BD=AD=DC=42,∴BP=BD﹣PD=2,∴EC=2BP=2.当点P在BD的延长线上时,如图3中,同法可得PD=32,∴BP=BD+PD=72,∴EC=2BP=14.综上所述,EC的长为2或14.【考点】等边三角形的判定与性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形;三角形全等的判定(SAS)【解析】【解答】解:(1)如图1中,连接AE.∵BA=BC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,∵BD⊥AC,∴∠ABD=12∵PA=PE,∠APE=∠ABC=60°,∴△APE是等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°,∴∠BAC=∠PAE=60°,∴∠BAP=∠CAE,∴△BAP≌△CAE(SAS),∴BP=CE,∠ABP=∠ACE=30°,∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,∴BC⊥CE.故答案为:BP=CE,BC⊥CE.【分析】(1)连接AE,易得△ABC、△APE是等边三角形,则AB=AC,∠BAC=∠ACB=∠PAE=60°,∠ABD=30°,AP=AE,推出∠BAP=∠CAE,证明△BAP≌△CAE,得到BP=CE,∠ABP=∠ACE=30°,然后求出∠BCE的度数,据此判断;
(2)连接AE,由等腰直角三角形的性质可得AC=2AB,AE=2AP,∠BAC=∠ACB=∠PAE=45°,则∠BAP=∠CAE,∠ABD=45°,证明△CAE∽△BAP,据此解答;
(3)当点P在线段BD上时,由勾股定理可得AC=82,根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=DC=42,由勾股定理求出PD,然后根据BP=BD-PD、EC=2BP进行计算;当点P在BD的延长线上时,同法可得PD=32,然后根据BP=BD+PD、EC=2BP进行计算.25.【答案】(1)解:解一元二次方程x2−7x+12=0得x∵OA>OB∴OA=4,OB=3,在RtΔAOB中,OA=4,OB=3,∴AB=4∴cos∠ABC=;(2)解:设E(x,0),由题意得S解得x=∴E(83,0)或(-8∵四边形ABCD是平行四边形,∴点D的坐标是(6,4)设经过D、E两点的直线的解析式为若图象过点(83则83k+b=0此时函数解析式为y=若图象过点(-83则−83此时函数解析式为y=在△AOE与△DAO中,OAOE=∴又∵∠AOE=∠OAD=90°∴△AOE∽△DAO。【考点】一元二次方程的根;坐标与图形性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形【解析】【分析】(1)求出方程的根,可得OA=4,OB=3,在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB=5,由cos∠ABC=ABOB即可求出结论;
(2)设E(x,0),根据三角形的面积公式可得S△AOE=12OA⋅x=12×4x=163,解出x的值,即得点E(26.【答案】(1)解:∠AOB=90°,AB是直径,且AB=5,在Rt△AOB中,由勾股定理可得B=ABB点的坐标为(0,-4);(2)解:BD是⊙C的切线,CB是⊙C的半径,BD⊥AB。即∠ABD=90°,∠DAB+∠ADB=90°,又∠BDO+∠OBD=90°,∠DAB=VDB0,∠AOB=∠BOD=90°.△ABO∽△BDO,OAOB=OBD的坐标为(163设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠o,k、b为常数),则有163k+b=0直线BD的解析式为y=34【考点】待定系数法求一次函数解析式;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)要求B点坐标,只要求出OB的长度即可。A点坐标已知,OA长度可求,现知圆的半径,则AB的长度可求,利用勾股定理即可求出OB的长度。
(2)要求直线BD的解析式,B点已求,只要求出D点坐标就可解决。由圆的切线性质及直角三角形的两个锐角互余可求得△ABOG∽△BDO,由相似三角形对应边成比例,列比例式求得OD的长度,则D的坐标可求。现知B、D坐标,用待定系数法可求直线BD的解析式。27.【答案】(1)解:|OA-8|+(OB-6)2=0OA=8,OB=6,在直角△AOB中,AB=OA2+O(2)解:在△OBC和△D
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