《函数的单调性和奇偶性》设计

《函数的单调性和奇偶性》教学设计课时：3教学目标：1.了解增函数、减函数的概念，并掌握判断函数的增减性的方法；2.了解偶函数、奇函数的概念，并能判断函数的奇偶性。教学重点、难点：函数单调性、奇偶性的有关概念证明、判断简单函数的奇偶性教学方法：启发引导式媒体选用：幻灯或CAI课件导入新课；复习函数的有关知识；让学生分析研究函数的方法，即研究函数的性质，这节就研究函数的两个显著特性。引入新课新课教学：函数的单调性(1)增函数：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。如下图(1).(2)减函数：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。如下图(2).yy=f(x)Oxyx1x2f(x1)f(x2)Oxyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)(1)(2)(3)单调性和单调区间：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。(4)证明函数单调性的方法①定义法：a)取值；b)作差；c)定正负；d)结论。②直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性。函数y=f(x)与函数y=-f(x)的单调性相反。③图象法：根据函数的图象进行判断。(5)函数单调性的应用：①比较大小；②确定函数的定义域或值域。[例1]如图是定义在单调区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上是增函数还是减函数。[解]如图函数的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。[例2]证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。[证明]设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)由于x1<x2，那么x1-x2<0,因此f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)所以f(x)=3x+2在R上是增函数。函数的奇偶性(1)奇函数：如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。(2)偶函数：如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。(3)函数具有奇偶性的前提条件是其定义域关于原点对称。(4)性质：奇函数图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数(5)判断奇偶性的方法：①定义法，a)考察定义域是否关于原点对称；b)判断f(-x)=±f(x)是否成立。②图象法，利用性质进行判断。[例3]判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2.[解](1)f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)所以函数f(x)=x3+2x是奇函数.(2)f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x)所以函数f(x)=2x4+3x2是偶函数，；[例4]已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在(0,＋∞)上是增函数，证明y=f(x)在(－∞，0)上也是增函数。[证明]设x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2.∵f(x)是奇函数∴f(-x1)=-f(x1)，f(-x2)=-f(x2)由假设可知-x1>0,-x2>0，即-x1，-x2∈(0,＋∞)，且-x1>-x2又f(x)在(0,＋∞)上是增函数，有f(-x1)>f(-x2)所以-f(x1)>-f(x2)，即f(x1)<f(x2),所以函数y=f(x)在(－∞，0)上也是增函数。能力训练；下列函数中，在(0,2)上是增函数的是(B)A．y=-x+1B．C．y=x2-4x+5D．已知奇函数f(x)在区间(0,＋∞)上是增函数，则f(x)在区间(－∞，0)上是(B)A.减函数B.增函数C.减函数或增函数D.不存在单调性函数(1)y=2(x-1)2-3；(2)y=x2-3|x|+4；(3)；(4)中既非奇函数也非偶函数的是(C)A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(1)(3)D.(1)判断函数的奇偶性(根据定义)(1)f(x)=|x+1|-|x-1|(2)f(x)=[答：(1)奇函数；（2）其定义域，由≥0,得-1≤x<1,不对称于原点，即为非奇非偶。]函数f(x)对于x∈R,恒有f(x)<f(x+1),则（B）A.f