《全称量词与存在量词》同步练习4

《全称量词与存在量词》同步练习一、选择题1．(2012年辽宁鞍山五模)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析：全称命题的否定是特称命题．答案：C2．给出两个命题：p：|x|＝x的充要条件是x为正实数；q：奇函数的图像一定关于原点对称，则下列命题是假命题的是 ()A．p∧q B．p∨qC．非p∧q D．非p∨q解析：p假q真，故选A.答案：A3．(2012年北京东城二模)下列命题中，真命题是 ()A．∀x∈R，－x2－1<0 B．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＝－1C．∀x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)>0 D．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2<0解析：本题考查对特称命题与全称命题真假的判断．要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可；存在性命题的真假判定要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使q(x0)成立即可，否则这一命题为假．对于A选项：∀x∈R，－x2－1<0恒成立，A正确；对于B选项：∵x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，∴不存在x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋x0＝－1，B错误；对于C选项：∵x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2，存在x0＝eq\f(1,2)，使xeq\o\al(2,0)－x0＋eq\f(1,4)＝0，C错误；对于D选项：y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>1，D错误．答案：A4．(2012年山西四校联考)已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m<0，那么 ()A．“非p”是假命题 B．q是真命题C．“p或q”为假命题 D．“p且q”为真命题解析：因为x2＋1<2x，即x2－2x＋1<0，也即(x－1)2<0，所以命题p为假；若mx2－mx－1<0恒成立，则须m＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0，))则－4<m≤0，所以命题q为假，故选C.答案：C5．(2012年安徽安庆月考)下列有关命题的说法正确的是 ()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要而不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题解析：对于A，注意到一个命题的否命题是将其题设与结论分别进行否定所形成的新命题，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，因此A不正确．对于B，当x＝－1时，x2－5x－6＝0，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分条件，B不正确．对于C，命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，因此C不正确．对于D，由于命题“若x＝y，则sinx＝siny”是真命题，因此其逆否命题也是真命题(注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，D正确．综上所述，选D.答案：D6．(2012年河北正定中学高三第2次月考)“非空集合M不是P的子集”的充要条件是 ()A．∀x∈M，x∉PB．∀x∈P，x∈MC．∃x1∈M，x1∈P又∃x2∈M，x2∉PD．∃x0∈M，x0∉P解析：由子集的定义可知∀x∈M，x∈P，故其否定为答案D.答案：D二、填空题7．“若a∉M或a∉P，则a∉M∩P”的逆否命题是________．解析：命题“若p则q”的逆否命题是“若非q则非p”，本题中“a∉M或a∉P”的否定是“a∈M且a∈P”．答案：若a∈M∩P，则a∈M且a∈P8．(2012年扬州月考)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.答案：[－1,3]9．已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(非p)∧(非q)为真命题”；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．解析：命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错；“p∨q”为假命题说明p假q假，则(非p)∧(非q)为真命题，故②正确；a>5⇒a>2，但a>2⇒/a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－4＝0；(2)∀T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sinx；(3)集合A是集合A∪B或A∩B的子集；(4)a，b是异面直线，∃A∈a，B∈b，使AB⊥a，AB⊥b.解：它们的否定及其真假分别为：(1)∀x∈R，x2－4≠0(假命题)．(2)∃T0＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T0)≠sinx(假命题)．(3)存在集合A既不是集合A∪B的子集，也不是A∩B的子集(假命题)．(4)a，b是异面直线，∀A∈a，B∈b，有AB既不垂直于a，也不垂直于b(假命题)．11．已知c>0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上递减；q：函数f(x)＝x2－2cx－1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．解：若p为真，则0<c<1；若q为真，则二次函数的对称轴x＝c在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))的左侧，即c≤eq\f(1,2).因为“p且q”为假，“p或q”为真，所以“p真q假”或“p假q真”，当“p真q假”时，c的取值范围为{c|eq\f(1,2)<c<1}；当“p假q真”时，c无解．所以实数c的取值范围为{c|eq\f(1,2)<c<1}．12．(2012年湖南湘西联考)已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解：命题q：只有一个实数x0满足不等式xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．解：由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝eq\f(a,2)或x＝－a，∴当命题p为真命题时，|eq\f(a,2)|≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2，即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．[热点预测]13．下列说法错误的是 ()A．如果命题“非p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命