第八章阻抗和导纳

第八章阻抗和导纳第三篇动态电路的相量分析法和S域分析法第八章阻抗和导纳8.2复数8.4相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式8.1变换方法的概念8.3振幅相量8.5三种基本电路元件VCR的相量形式8.10相量模型的等效8.9相量模型的网孔分析和节点分析8.11有效值有效值相量8.8正弦稳态混联电路的分析8.7正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比——相量模型的引入8.6VCR的相量形式的统一——阻抗和导纳的引入8.12两类特殊问题相量图法教案目录8.1正弦量的基本概念第八章阻抗和导纳8.2正弦量的相量表示8.3正弦稳态响应8.4三种基本电路元件伏安关系的相量形式8.5电路定律的相量形式和电路的相量模型8.6复阻抗和复导纳8.7用相量法分析电路的正弦稳态响应1.理解正弦量的特征及其各种表示方法；2.掌握基本元件的VCR相量模型；3.理解电路基本定律的相量形式及阻抗、导纳的概念；4.熟练掌握计算正弦稳态电路的相量分析法，会画相量图。5.学会动态电路相量模型的网孔分析和节点分析法。本章要求8.1正弦量的基本概念一、几个概念时变电压和电流：随时间变化的电压和电流称为时变的电压和电流。交流电路：电路中所含的电源都是交流电源，则称该电路为交流电路。交流动态电路：若交流电路中除电源外所含的元件至少有一个是动态元件，则称该电路为交流动态电路。瞬时值：时变电压和电流在任一时刻的数值，称为瞬时值。u(t)t0周期电压、电流如果电流或电压每经过一定时间（T）就重复变化一次，则此电流

、电压称为周期性电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波等。记做：u(t)=u(t+kT)Tut0uTt0ti0激励和响应均为正弦量的电路称为正弦交流电路。设正弦交流电流：角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。初相角：决定正弦量起始位置Im2TiOt二、正弦量的三要素为正弦电流的最大值（振幅）正弦波特征量之一--幅度

在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。最大值电量名称必须大写,下标加m。如：Um、Im则有（均方根值）交流直流热效应相当有效值电量必须大写，如：U、I有效值概念交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量与一直流电流I通过同一电阻在同一时间T内产生的热量相等，则称I的数值为i的有效值可得当

时，i=2Isin(t+ψ)i可写为：同理:u=Umsin(t+ψ)2mUU=u=2Usin(t+ψ)u可写为：

电器~220V最高耐压=300V

若购得一台耐压为300V的电器，是否可用于220V的线路上?

该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V电源电压问题与讨论

描述变化周期的几种方法1.周期

T：变化一周所需的时间

单位：秒，毫秒..正弦波特征量之二--角频率3.角频率

ω：每秒变化的弧度

单位：弧度/秒2.频率

f：每秒变化的次数

单位：赫兹，千赫兹...iT正弦波特征量之三--初相位：t=0

时的相位，称为初相位或初相位角。说明：

给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。i：正弦波的相位角或相位Imti(t)=Imsin(wt+y)i波形图一般

||tiO

=0

=/2=-/2同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。（以正弦函数分析）同频率正弦量的相位差(phasedifference)设u(t)=Umsin(wt+yu),i(t)=Imsin(wt+yi)则相位差j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yij>0，u领先(超前)ij角，或i落后(滞后)uj角(u比i先到达最大值)；j<0，i领先(超前)uj角，或u落后(滞后)ij

角(i比u先到达最大值)。tu,iu

iyuyijOj=0，同相j=(180o)

，反相特殊相位关系：tu,iu

i0tu,iu

i0tu,iu

iO同样可比较两个电压或两个电流的相位差。相位比较时注意：1.同频率才能比较相位

2.同用cos或sin表示

3.同符号=p/2：u领先ip/2,不说u落后i3p/2；

i落后up/2,不说

i领先u3p/2。正交例1幅度：已知：频率：初相位：A例2已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，（1）写出i(t)表达式；（2）求最大值发生的时间t1ti010050t1解:例3已知余弦电流波形如图，w＝103rad/s，（1）写出i(t)表达式；（2）求最大值发生的时间t1ti010050t1解:由于最大值发生在计时起点之后例4计算下列两正弦量的相位差。解

不能比较相位差两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在初相位角取值范围内比较。8.2正弦量的相量表示瞬时值表达式相量(重点)必须小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。波形图i正弦量的表示方法：0

概念

：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。一、正弦波的相量表示法矢量长度

=

矢量与横轴夹角

=

初相位ω矢量以角频率

按逆时针方向旋转ω旋转相量及其在横轴和纵轴上的投影:有效值1.描述正弦量的有向线段称为相量(phasor)。若其幅值用最大值表示，则用符号：最大值相量的书写方式2.在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：mUmIUI3.相量符号U、I

包含幅度与相位信息。mUU或二、正弦波的相量表示法举例例1：将u1、u2

用相量表示

相位：幅度：相量大小设：U1U2相位哪一个领先？哪一个落后？U2U1领先于同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。例2：同频率正弦波相加--平行四边形法则U2U1Uu=u1+u2=()2221

sin2

ψw+==tUu()11

sin2ψw+tUu()

sin2ψw+tU21UUU+=–==180º–

用余弦定理求U：U2=U12+U22–2U1U2cosU2U1U用正弦定理求角：sinUU2sin

==ψ1+()

sin2ψw+tUu=U2U1U注意：1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率不行。新问题提出：平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。相量

复数表示法复数运算实际是变换的思想三、相量的复数表示将相量放到复平面上，可如下表示：Uab+1UψψsincosjUUjbaU+=+=a、b分别为U在实轴和虚轴上的投影欧拉公式ψÐÞUψ=eUj代数式

指数式

极坐标形式

ψψ+=+=jUjbaU)sin(cosab+1U设a、b为正实数ψjeUjbaU=+=在第一象限在第四象限ψjeUjbaU=-=ψjeUjbaU=+-=在第二象限ψjeUjbaU=--=在第三象限ψ在一、二象限，一般ψ取值：180°ψ0°ψ在三、四象限，一般ψ取值：0°ψ-180°+1U1ψ1=60°ψ2=120°U2U3ψ3=-120°计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：43jU--=43jU+-=43jU-=43jU+=例：相量的复数运算1.复数加、减运算222111jbaUjbaU+=+=设：ψjUebbjaaUUU=±+±=±=)()(212121则：2.复数乘、除法运算)(212121ψψ+==jeAAAAA乘法：212211ψψjjeAAeAA==设：()212121ψψ-=jeAAAA除法：3.旋转因子复数ejq

=cosq+jsinq=1∠qReIm0ejqqAAA•ejq

相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把ejq

称为旋转因子。故+j,–j,-1都可以看成旋转因子几种不同值时的旋转因子：ReIm0复数符号法应用举例例1:已知瞬时值，求相量。已知:

求：i、u

的相量解：A506.86301003024.141jI+=Ð=Ð=ooV5.190110602206021.311jU-=-Ð=-Ð=oo求：例2：已知相量，求瞬时值。解：已知两个频率都为1000Hz的正弦电流其相量形式为：A10A601003021oojeII=-Ð=波形图瞬时值相量图复数符号法小结：正弦量的四种表示法TiψψÐÞ=+=UeUjbaUjUI0符号说明瞬时值---小写u、i有效值---大写U、I复数、相量---大写+“.”最大值---大写+下标U？正误判断1.已知：？有效值？3.已知：复数瞬时值j45•？最大值？？负号2.已知：4.已知：例3:已知有效值I=16.8A求：解：例4.正弦量的微分、积分运算微分运算相量微分:积分运算:相量积分:一、正弦RL电路的零状态响应Ri(t)u(t)L+-Ψu取决于计时时刻求iL(t),t≥0,iL(0-)=0.解:强制分量(特解)：Imsin(wt+yi)自由分量(齐次方程解)：Ae-R/Lt8.3正弦稳态响应将强制分量(特解)Imsin(wt+yi)代入（1）则：比较得出：所以有：til(t)05其中：结果：二、正弦稳态响应正弦稳态响应：正弦激励下的线性非时变电路的特解。正弦稳态响应与初始状态无关，是与输入同频率的正弦量，可用相量法求。条件：1.线性、非时变电路。

2.单一频率下的正弦激励。

3.稳定状态。一、电阻时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系：UR=RI相位关系u=i(u,i同相)R+-URu相量关系：UR=RIu=i8.4三种基本电路元件伏安关系的相量形式瞬时功率：波形图及相量图：

itOuRpRu=iURI瞬时功率以2交变。但始终大于等于零，表明电阻始终是消耗功率。二、电感时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型jL+-i相量关系：有效值关系：UL=wLI相位关系：u=i+90°

(u超前i90°)1.相量关系感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；XL=L=2fLXL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆)BL=-1/L=-1/2fL，感纳，单位为S(同电导)2.感抗和感纳电感L具有通直阻交的作用相量表达式:(3)由于感抗的存在使电流落后电压。电感电路复数形式的欧姆定律(2)感抗和频率成正比；O3.功率：波形图：t

iOuLpL2瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。三、电容时域形式：相量形式：相量模型有效值关系：IC=wCU相位关系：i=u+90°

(i超前u90°)uiC(t)u(t)C+-+-相量关系：1.相量关系令XC=-1/wC，称为容抗，单位为W(欧姆)BC=wC，称为容纳，单位为Sw0，|XC|直流开路(隔直)w，|XC|0高频短路(旁路作用)2.容抗和容纳容抗的物理意义：(1)

表示限制电流的能力；所以电容C具有隔直通交的作用相量表达式:(3)由于容抗的存在使电流领先电压。（2）频率和容抗成反比；O电容电路中复数形式的欧姆定律3.功率：波形图：t

iCOupC2瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？在电阻电路中：在电感电路中：在电容电路中：【练习】1.三种基本电路元件伏安关系的相量形式电路参数基本关系复阻抗L复阻抗电路参数基本关系C电路参数R基本关系复阻抗小结在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（)表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。2.三种基本电路元件复数形式的欧姆定律

电阻电路电感电路电容电路复数形式的欧姆定律8.5电路定律的相量形式和电路的相量模型一、基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。二、电路的相量模型(phasormodel)时域列写微分方程相量形式代数方程LCRuSiLiCiR+-jwL1/jwCR+-时域电路相量模型相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。三、相量图1.同频率的正弦量才能表示在同一个相量图中；2.以角速度反时针方向旋转；3.选定一个参考相量(设初相位为零。)jwL1/jwCR+-+-++--选

R为参考相量小结1.求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。2.引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。3.采用相量法后，电阻电路中所有网络定理和一般分析方法都可应用于正弦交流电路。电路元件的相量关系基尔霍夫定律的相量形式iu=iu感抗容抗感抗和容抗相量关系电抗一、复阻抗正弦激励下Z+-无源线性+-8.6复阻抗、复导纳及其等效变换电阻单位：阻抗模阻抗角1.定义纯电阻纯电感纯电容感抗容抗2.R、L、C元件的复阻抗二、复导纳正弦激励下Y+-无源线性+-电导电纳单位：S

导纳的模导纳角1.定义2.R、L、C元件的复导纳纯电阻纯电感纯电容感纳容纳三、RLC串联电路阻抗分析1.用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗由KVL：其相量关系也成立LCRuuLuCi+-+-+-+-uRjLR+-+---++R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；|Z|—复阻抗的模；—阻抗角。Z：复阻抗实部为阻虚部为抗容抗感抗2.关于复数阻抗Z的讨论由复数形式的欧姆定律可得：1）Z和总电流、总电压的关系2）阻抗（Z）三角形阻抗三角形3）Z和电路性质的关系

一定时电路性质由参数决定当

时，表示u领先i－－电路呈感性当

时，表示u落后i

－－电路呈容性当时，

表示u、i同相－－电路呈电阻性阻抗角3.R-L-C串联交流电路相量图先画出参考相量相量表达式：RLC电压三角形4.阻抗三角形和电压三角形的关系电压三角形阻抗三角形相似正误判断？？？？在RLC串联电路中，？？？？？？？？？？设例1.已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解：其相量模型为LCRuuLuCi+-+-+-+-uRjLR+-+---++则UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。-3.4°相量图思考RLC+_+_+_+_1.假设R、L、C已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？2.RLC串联电路的是否一定小于1？3.RLC串联电路中是否会出现，的情况？4.在RLC串联电路中，当L>C时，u超前i，当L<C时，u滞后i，这样分析对吗？四、GLC并联电路阻抗分析由KCL：iLCGuiLiC+-iGjLG+-Y—复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；|Y|—复导纳的模；'—导纳角。关系：|Y|GBj导纳三角形Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠jwC>1/wL，B>0，j'>0，电路为容性，i领先u；wC<1/wL，B<0，j'<0，电路为感性，i落后u；wC=1/wL，B=0，j=0，电路为电阻性，i与u同相。画相量图：选电压为参考相量(wC<1/wL，<0)'GLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象jLG+-五、复阻抗和复导纳的等效互换一般情况G1/RB1/XººZRjXººGjBY1.Z变为Y的等效变化2.Y变为Z的等效变化ººZRjXººGjBY同直流电路相似：ZZ1Z2+++---Y+-Y1Y2六、阻抗串、并联计算解：同理：++--+-例1:有两个阻抗它们串联接在的电源;求:和并作相量图。或利用分压公式：注意：相量图++--+-例2:解:同理：+-有两个阻抗它们并联接在的电源上;求:和并作相量图。相量图注意：或下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？思考两个阻抗串联时,在什么情况下:成立。U=14V?U=70V?(a)3-4V1V26V8V+_-6-830V40V(b)V1V2+_二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，正弦稳态响应相量分析即可应用电阻电路的分析方法。8.7用相量法分析电路的正弦稳态响应比较：1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图一般正弦交流