第四章命题逻辑

第四章命题逻辑第一节负命题及其推理第二节联言命题及其推理第三节选言命题及其推理第四节假言命题及其推理第五节命题逻辑的自然推理系统NP主讲：莦业葵模态命题命题非模态命题简单命题是不包含其它命题的命题复合命题是由联结词联结若干命题而形成的命题命题的种类复合命题有负命题、联言命题、选言命题、假言命题等复合推理有负命题推理、联言推理、选言推理、假言推理等。（1）小张歌唱得好并且舞跳得好。（2）他尽管工作很忙,但学习很努力。（3）生也有涯，知也无涯。

联言命题：即合取命题，反映若干事物情况同时存在。第二节联言命题及其推理命题形式：

p且q逻辑性质：肢肢真，则∧真；任一肢假，则∧假pq

p∧qFFFFTFTFFTTTp∧q注：联言命题的支命题称为联言支，一个联言命题的联言支至少有两个，具有两个以上联言支的联言命题与具有两个联言支的联言命题，其逻辑性质是相同的。第二节联言命题及其推理在现代汉语中，表达逻辑学上合取的有：“并且”、“不仅，而且”、“不仅，还”、“既，又”、“尽管，仍然”、“…又…”、“虽然，但是”、“一方面，另一方面”、“…而…”等等。在日常用语中，合取词常常被省略。∧一则征婚启示中提出的基本择偶条件

某女士提出择偶条件，年龄25或26岁，身高180cm,身体魁伟，英俊，无任何不良嗜好，硕士毕业，国家干部，月收入7000元以上，住有豪宅，出入有名车。想一想：该女士是否容易找到理想爱人？第二节联言命题及其推理练习：公安部网上通缉令

2000年7月31日，福建省福州市仓山区发生一起故意杀人案，致使两人死亡。2007年8月13日，福建省邵武市拿口镇发生一起特大杀人案，致使4死、1重伤。经查，陈金春有重大作案嫌疑，陈金春在逃。公安部网上发出A级通缉令对疑犯描述如下：

陈金春，男，40岁，福建省人，福州口音，瘦长脸，黑皮肤，三角眼，身高170厘米，体形偏瘦。请判断上述命题的类型，并写出它的逻辑形式。联言命题：A∧B∧C∧D∧E∧F∧G∧H∧I联言支都为真时，则联言命题为真。联言支越多，锁定范围越小。ABCDEFGHI合取词∧的真值表由∧的真值表,可得出∧运算的规律:（1）∧的交换律：p∧q

q∧p（2）∧的结合律：p∧(q∧r)(p∧q)∧r（3）∧的重言（幂等）律：p∧p

ppq

p∧qFFFFTFTFFTTT第二节联言命题及其推理

联言推理：前提或结论是联言命题，根据联言命题的逻辑性质进行的推理。逻辑性质：肢肢真，∧真；任一肢假，∧假1、合取引入规则2、合取消去规则推理有效式：第二节联言命题及其推理由全部联言支命题真推出联言命题真的推理形式。推理形式：蕴涵式表示为：

pq所以，p并且q（p，q）→p∧q[例]甲盗窃数额巨大，犯了盗窃罪。甲盗窃后将房屋烧毁，又犯了放火罪，所以，某甲犯了盗窃罪和放火罪。第二节联言命题及其推理1、合取引入规则∧+由联言命题的真，推出一个联言支为真的推理形式。推理形式：p并且q所以,qp并且q所以,p蕴涵式表示为：p∧q→pp∧q→q[例]言者无罪,闻者足戒。所以，言者无罪。第二节联言命题及其推理2、合取消去规则∧-[例1]此报告或材料不可靠，或计算有错误。[例2]小李正在看书或者正在听音乐。[例3]要么武松打死老虎，要么老虎吃掉武松。

选言命题：即析取命题，反映若干事物情况中至少有一种情况存在的命题。注：选言命题的支命题称为选言支。选言支可以有两个，也可以有两个以上。根据选言支之间是否具有并存关系，分为相容选言命题和不相容选言命题。第三节选言命题及其推理

赵勇和赵红是兄妹，有一只共用的柜子，另外每人各有一把锁和一把开自己锁的钥匙。春天，兄妹俩在课余时间各自养了一盒蚕，并把蚕锁在自己的抽屉里。蚕越长越大，需要每天多次喂新鲜桑叶，两人决定共同喂养，把两盒蚕都放在共用柜子里，约定谁先回家谁就给蚕喂桑叶。妹妹提议给柜子上锁。哥：“用我的锁吧！我跑得快，比你先回家。”妹：“不一定，有时你放学比我还晚！”哥：“你说得有道理，但有时我比你先到家。究竟用谁的锁呢？”妹：“我有一个好主意，用我的锁，再让爸爸配一把钥匙给你，不就解决问题了吗，”兄妹俩找到爸爸说了这件事，爸爸就说：“只要你们动动脑子，换一种锁法，就不需要配钥匙了.”案例：兄妹俩锁柜子

想一想：兄妹俩需要怎样一种锁法。

相容选言命题：选言肢可同真

逻辑形式：p或q自然语言：或，或；可能，也可能；也许，也许逻辑性质：肢肢假，则∨假；其余，则∨真。

当至少有一个选言肢为真，选言命题一定为真。例：打开柜子给蚕喂桑叶或者要哥哥打开自己的锁，或者要妹妹打开自己的锁。pqp∨qFFFFTTTFTTTT第三节选言命题及其推理p∨q∨的运算规律∧和∨的混合运算规律(1)∧对∨的分配律:p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)(2)∨对∧的分配律：p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)(3)吸收律：p∧(p∨q)pp∨(p∧q)p(4)德·摩根律：¬(p∧q)¬p∨¬q¬(p∨q)¬p∧¬q第三节选言命题及其推理(1)∨的交换律：p∨qq∨p，(2)∨的结合律：p∨(q∨r)(p∨q)∨r(3)∨的重言律：p∨p

p。用真值表检验德·摩根律：¬(p∧q)¬p∨¬q从上述真值表，可得：¬(p∧q)<=>¬p∨¬q应用德·摩根律的实例:并非这件衣服物美(而且)价廉

这件衣服或者物不美，或者价不廉。并非小李或者喜欢音乐，或者喜欢体育

小李既不喜欢音乐，也不喜欢体育。第三节选言命题及其推理TTFTTFFTTFFTTFTTFTFFTFFTFFTTp∨q(p∧q)p∧qqpqp齐国有一女子，长得非常漂亮。到了出嫁年龄时有两家前来求婚。一是村东一家，小伙子长得英俊、聪明，但家境贫寒；一家是村西，小伙子长得丑陋、愚顿，但家境殷实。父母左右为难，拿不定主意，决定征求女儿意见，女儿一听羞得满脸通红，被子蒙住头不说话。还是父亲有办法，说：“如果你同意嫁给村东头小伙子就伸出左手；如果你同意嫁给村西头小伙就伸出右手。”女儿不假思索地同时伸出两只手。母亲“呼啦”一声扯开被子说：“丫头,你疯了，这是什么意思？”女儿回答说：“我想在西边那家吃饭，东边那家住宿。”母亲骂道：“你真的疯了，一女不嫁二夫呀！”想一想：该女子选择有哪点不对？[案例]齐女择婿逻辑形式：要么p，要么q自然语句：不是，就是；或，或，二者不可兼得等逻辑性质：唯一肢真，则▽真；其余，则▽假。不相容选言命题：选言肢不同真

例：齐女要么嫁给村东一家小伙子，要么嫁给村西一家小伙子。

p

qp▽qFFFFTTTFTTTF第三节选言命题及其推理p

▽q

相容选言命题

选言肢可同真

pqp∨qFFFFTTTFTTTT逻辑形式：p∨q

逻辑性质：肢肢假，∨假逻辑形式：p▽q逻辑性质：唯一肢真，▽真不相容选言命题

选言肢不同真

p

qp▽qFFFFTTTFTTTF第三节选言命题及其推理海军上将的笑话西方某国的海军上将在一艘巡洋舰上召集全舰官兵训话：“你们都是这舰上的一分子吗？”距离上将最近的一个水兵朝前跨了一步，高声答道：“是的。”“那么，我要问你一个问题，”将军指着舰上的一门炮说，“在战争中，炮手阵亡时该怎么办？”水兵环顾了一下左右，回答说：“什么也不做！”“我是问，如果炮手阵亡了，你该怎么办？”将军重复了一遍。“什么也不做！”水手还是那句话。“什么都不做？难道你死了？”将军火了。“对，我已阵亡了。”“我们海军怎么会有你这种混账东西！”将军破口大骂。“报告将军，我就是那个炮手嘛！”“啊？”将军目瞪口呆，说不出话来。想一想：请问上将为什么出洋相？[案例分析]海军上将的思维是这样的：“眼前这位水手，或者是通信兵，或者是轮机手，或者是炊事员，或者是……”这是一个选言命题。

将军什么可能情况都考虑到了，可是唯独没有考虑到那个水手可能就是炮手本人，即将军所用的选言命题中，选言肢并没有穷尽，所遗漏的选言肢，恰恰是为真的选言肢——“水手就是炮手本人”。也就是说，将军所用的选言命题的选言肢都是假的，整个选言命题也是假的。将军的洋相就出在这里。

使用选言命题的注意事项人们在使用选言命题时，经常会遇到选言支是否穷尽的问题。所谓选言支穷尽与否，就是指选言命题是否反映了事物的全部可能情况。如果一个选言命题的选言支是穷尽的，就能保证至少有一个选言支是真的，反之，如果一个选言命题的选言支不是穷尽的，那么就不能保证至少有一个选言支为真，这样的选言命题就可能假。例如，某侦查人员根据某甲或某乙到过作案现场，就得出这样的结论：“某甲是凶手或者某乙是凶手”。但经查，某甲和某乙都不是凶手。这说明某侦查员所作的选言命题并没有穷尽所有的选言支，因而是一个假命题。第三节选言命题及其推理使用选言命题的注意事项一个选言命题，如果选言支穷尽，它就一定是真的，但是，一个真的选言命题，其选言支不一定是穷尽的。因为只要一个选言命题满足了“至少有一个选言支是真的”这个条件，它就是真的。如上例中，如果凶手确实是某甲，即便这一选言命题的支命题不穷尽，这一选言命题也是真的。当然，我们也应注意到，选言支是否穷尽不是逻辑学所能解决的问题，因为逻辑学只从形式上研究命题的真假性质，而不研究内容的真假。第三节选言命题及其推理

选言推理：前提或结论是选言命题，根据选言命题的逻辑性质进行的推理。*

相容选言的推理

逻辑性质：肢肢假，则∨假；其余，则∨真推理有效式：第三节选言命题及其推理1、析取消去规则2、析取引入规则*相容选言的推理推理形式：蕴涵式：p或者q非p所以,qp或者q非q所以,p（p∨q）∧

¬p→q（p∨q）∧

¬q→p[例]该案的作案人或者是甲，或者是乙；现已查明该案的作案人不是甲；所以，该案的作案人是乙。第三节选言命题及其推理1、析取消去规则∨-

*相容选言的推理某甲犯错误或是立场原因或是认识原因，某甲犯错误是认识原因；所以，某甲犯错误不是立场原因。推理形式无效相容选言推理的两条规则：（1）否定一部分选言支，就要肯定另一部分选言支。（2）肯定一部分选言支，不能否定另一部分选言支。p或者qp所以,非q推理形式是：第三节选言命题及其推理*相容选言的推理[例]地板上脚印是该案的重要证据；所以，地板上的脚印或者墙上的血迹是该案的重要证据。p所以，p或者qp→

p∨q推理形式：蕴涵式：第三节选言命题及其推理2、析取引入规则∨+*不相容选言的推理1.否定肯定式2.肯定否定式逻辑性质：唯一肢真，则▽真；其余，则▽假要么P，要么q非P所以q(p▽q)∧¬p→q(p▽q)∧p→¬q要么P，要么qP所以非q推理有效式：第三节选言命题及其推理练习：某单位要从100名报名者中挑选20名献血者进行体检。最不可能被挑选上的是1993年以来已经献过血，或是1995年以来在献血体检中不合格的人。

如果上述断定是真的，则以下哪项所言及报名者最有可能被选上？（）

A.校长1995年献过血，他的血型是O型，医用价值很高。

B.小王是区献血标兵，近年来每年献血，他坚决要求献血

C.小刘1996年报名鲜血，因“澳抗”阳性体检不合格，这次出具了“澳抗”转阴的证明，并坚决要求献血。

D.大陈最近一次献血时间在1992年，他因公截肢，血管中流动着义务献血者的血.他说我比任何人都有理由献血.

有一个土耳其商人想找一个聪明的助手协助他经商。有两人Ａ和Ｂ前来应聘，土耳其商人将他们带到一个黑房中，打开电灯对他们说：“桌上有五顶帽子，三黑二红，我现在关灯并把帽子位置弄乱，然后我们各摸一顶帽子戴上，我开灯后你们尽快说出自己所戴帽子颜色。”同时商人将剩下两顶帽子藏起来，接着开灯，商人头上戴的是红色的，Ａ和Ｂ你看我，我看你，无法判断，过一会，Ａ说：“我戴的黑色！”商人说：“好，你被录取了。”为什么？[案例]土耳其商人和帽子[案例分析]已知材料：共有帽子3黑2红，商人戴了1红,同时他把2帽子藏起来；A推导出自己戴的是黑帽子。假设自己是A，看见商人戴的是红帽子，B则存在两种可能：①Ｂ戴红帽子，②Ｂ戴黑帽子。令p:Ｂ戴红帽子,q:Ｂ戴黑帽子，有选言命题p▽q

如果p真,那么A可以立刻报出自己戴黑帽子。由于故事中说两人互相对视无法判断，表明A看见B戴黑帽子，即q真，那么A也猜不出自己戴什么帽子，但A马上发现B也不做声，从而推测是因为自己戴的是黑帽子，所以B也不知道他自己戴的是什么颜色的帽子，于是A抢先一步报出自己戴的是黑帽子。

相容选言推理

逻辑性质：肢肢假，∨假逻辑性质：唯一肢真，▽真不相容选言推理第三节选言命题及其推理推理有效式：1.析取消去规则2.析取引入规则1.否定肯定式2.肯定否定式推理有效式：假言命题反映一事物情况是另一事物情况的存在条件的命题。

前件

后件

联结词条件命题[例1]如果天下雨，那么操场地面会湿。[例2]只有一个人年满18岁，他才有选举权。[例3]一个数是偶数，当且仅当它能被2整除。根据前件与后件的不同条件关系有：充分条件假言命题必要条件假言命题充要条件假言命题第四节假言命题及其推理充分条件假言命题[例1]如果天下雨，那么操场地面会湿。反映前件是后件存在的充分条件。逻辑形式：如果p，那么q

逻辑性质：前件真而后件假，则假；其余为真。

有前件必然有后件，无后件必然无前件。自然语句：如果…那么…,只要…就…,要是…就…pqp

qTFFTTTFFTFTT第四节假言命题及其推理p

qpqp

qTFFTTTFFTFTT如果给我一个支点，我能把地球撬起来。若天塌下来，我能顶起来。注意：当充分条件假言命题的前件为假时，不管后件的真假，该命题的逻辑值都是“T”，逻辑学上称为善意推定。第四节假言命题及其推理充分条件假言命题“如果太阳从西边出，那么…。”“若公鸡也能下蛋，那么….。”必要条件假言命题[例2]只有一个人年满18岁，他才有选举权。反映前件是后件存在的必要条件。逻辑形式：只有p，才q

逻辑性质：前件假而后件真，则假；其余为真。无前件必然无后件，有后件必然有前件。自然语句：只有…才…,除非…不…,没有…就没有…pqp

qFTFFFTTFTTTT第四节假言命题及其推理p

q充要条件假言命题[例3]一个数是偶数，当且仅当它能被2整除。反映前件是后件存在的充分且必要条件。逻辑形式：当且仅当p，才q

逻辑性质：前后件同真假，则真；其余为假自然语句：当且仅当…才…,…当且仅当…等pqp

qFTFFFTTTTTFF第四节假言命题及其推理p

q条件关系中，最不容易分清充分条件和必要条件。如：只有贪污腐化，才会犯大错误。把“贪污腐化”当作“犯大错误”的必要条件，错的。

因为根据必要条件假言命题的逻辑性质，无前件就无后件，就会得出“不贪污腐化就不会犯大错误”的荒谬结论。实际上，“贪污腐化”是“犯大错误”的充分条件：“如果贪污腐化，那么就会犯大错误。”又如有人说：“如果学习方法正确，那么就能学好各门功课。”这也是不正确的。因为“学习方法正确”不是“学好各门功课”的充分条件，而是必要条件。第四节假言命题及其推理充分条件假言命题逻辑形式：p

q

逻辑性质：有前件必然有后件逻辑形式：pq

逻辑性质：无前件必然无后件必要条件假言命题pqp

qTFFTTTFFTFTTpqp

qFTFFFTTFTTTT第四节假言命题及其推理练习：用P、Q、R、S分别表示不同的简单命题，并将下列命题符号化。1．甲、乙、丙、丁至少有一个人是北京人。2．只有找到问题的关键所在，才能解决问题。

3．如果明天是晴天，那么我们去打球。4.如果小王基础好，学习又努力，而且学习方法对头，那么他就能学好逻辑。

据说，英美联军攻打伊拉克的报告曾有微小改动。正是这一改动，让英美出兵的理由更加充分。原英国情报委员会关于伊拉克武器报告中说：“萨达姆只有在伊拉克遭受攻击时，才有可能启用生化武器。”专家认为，如此出兵理由不足，后将其改为“如果萨达姆认为他的政权遭受攻击时，他将启用生化武器。为什么说这一改动让英美出兵的理由更加充分？请用相关的逻辑知识进行分析。[案例]攻打伊拉克理由[案例分析]P：伊拉克遭受攻击;Q:萨达姆将启用生化武器。

原报告是一个必要条件的假言判断，即P←Q。有之未必然，无之必不然。

修改后成为一个充分条件的假言判断，即P→Q有之必然，无之未必然。断定伊拉克如果感受到“遭受攻击”的威胁时就一定使用生化武器，如果没有感受到“遭受攻击”的威胁也不一定不使用生化武器。这样英美联军就堂而惶之出兵。[案例]攻打伊拉克理由假言推理：前提中有一个假言命题，根据假言命题的逻辑性质进行的推理。充分条件假言推理

1、肯定前件式2、否定后件式逻辑性质：有前件必然有后件,无后件必然无前件。推理有效式：无q必无p有p必有q第四节假言命题及其推理

充分条件假言推理

如果p，那么qp所以，q（pq）∧pq推理形式是：蕴涵式表示为：1.肯定前件式有p必有q第四节假言命题及其推理［案例］曾子杀猪曾子妻要上街，孩子闹着要跟去，其妻哄着说，在家好好念书，我回来后杀猪给你吃。回来后曾子真的要杀猪，决不食言。逻辑分析曾子的做法。分析：故事中有假言推理如果你在家好好念书，我回来后给你杀猪吃。孩子在家好好念书。令p、q分别代表前件和后件。P→qp∴q《世说新语》记载，孔融十岁时随父到京城洛阳拜访当时朝廷的司隶校尉大名士李膺。看门的不让进，也融灵机一动说：“我是李大人的亲戚。”便进去了。李膺说：“你是我的亲戚，究竟是什么亲？”孔融说；“我的先人孔子曾经向你的先人老子（李耳）请教过礼仪之事，所以我们两家是世交。”在座客人对这个小孩的回答感到惊奇。有一客人叫陈韪不以为然地说：“小时聪明，长大就不怎么样了。”孔融来个反唇相相讥，说：“我猜想，你小的时候必定是很聪明。”引起哄堂大笑，陈很尴尬。陈韪为什么很尴尬？请用逻辑学知识分析。分析：孔融运用了充分条件的假言推理。如果小时聪明，那么长大就不怎么样了。你小的时候必定是很聪明。所以，你现在就不怎么样了。第四节假言命题及其推理P→qp∴q2.否定后件式充分条件假言推理

如果p，那么q

¬q

所以，¬p(pq)∧¬q¬p推理形式是：蕴涵式表示为：无q必无p第四节假言命题及其推理A：走，我们去看看唐明。B：唐明不在家。A：你怎么知道的？B：如果他在家，他的自行车就会停在他家门口。但是，我来时看到，他的自行车没有停在他家门口。分析上述对话中存在的推理。如果唐明在家，那么他的自行车就会停在他家门口。他的自行车没有停在他家门口。所以，唐明不在家。P→q¬q∴¬P

充分条件假言推理

1]如果甲是案犯，那么甲有作案时间，事实上甲不是案犯，所以，甲没有作案时间。2]如果甲是案犯，那么甲一定到过作案现场，事实上甲到过作案现场，所以，甲是案犯。(pq)∧qp(pq)∧¬p¬q无效推理式充分条件假言推理的两条规则：（1）肯定前件就肯定后件，否定后件就否定前件。（2）否定前件不能否定后件，肯定后件不能肯定前件。第四节假言命题及其推理逻辑性质：无前件必然无后件，有后件必然有前件。

必要条件假言推理

1、否定前件式2、肯定后件式推理有效式：有q必有p无p必无q(pq)∧¬p¬q(pq)∧qp第四节假言命题及其推理只有你学习努力，才能取得好成绩。你学习不努力。所以，你不能取得好成绩。

必要条件假言推理

第四节假言命题及其推理1、否定前件式无p必无qPq¬P∴¬q(pq)∧¬p¬q

必要条件假言推理

第四节假言命题及其推理除非发生了意外情况，这趟列车不会停在这个地方。它既然停在这个地方。可见，发生了意外情况。2、肯定后件式有q必有p(pq)∧qpPqq∴P

必要条件假言推理

第四节假言命题及其推理只有小A在作案现场，他才是杀人凶手。有人证明小A在作案现场。所以，小A是杀人凶手。只有小A在作案现场，他才是杀人凶手。小A不是杀人凶手。所以，小A不在作案现场。(pq)∧pq(pq)∧¬

q¬

p无效推理式必要条件假言推理的两条规则：（1）否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件。

（2）肯定前件不能肯定后件，否定后件不能否定前件。

充要条件假言推理

逻辑性质：前件与后件互为充分条件和必要条件。1、肯定前件式2、否定后件式推理有效式：无q必无p有p必有q3、否定前件式4、肯定后件式有q必有p无p必无q第四节假言命题及其推理充分条件（pq）∧（qr

）（pr）（pq）∧（qr）（¬r¬p）肯定式否定式必要条件肯定式否定式（pq）∧（qr）（rp）（pq）∧（qr）（¬p¬r）混合条件肯定式否定式（pq）∧（qr）（pr）（pq）∧（qr）（¬p¬r）

假言连锁推理

两个以上假言命题作前提的推理第四节假言命题及其推理假言易位推理（pq）（¬q¬p）（pq）（qp）充分条件假言易位推理必要条件假言易位推理充要条件假言易位推理(pq)(qp)第四节假言命题及其推理如：如果寒潮到来，那么气温就会下降。如果气温没有下降，那么寒潮没有到来。反三段论有效式为：p∧qr

¬r∧p

¬q例：如果小张考试及格并且大田考试不及格，则小娜考试一定不及格。如果以上便是是真的，那么再加上什么前提，可以得出结论：大田考试及格了。（）A.小张考试及格而大田考试不及格B.小张与小娜考试都不及格C.小张考试不及格而小娜考试及格D.小张与小娜考试都及格了第四节假言命题及其推理√假言三段论第四节假言命题及其推理利用蕴涵词的传递性进行的推理。推理式为：pqq

rpr例：名不正则言不顺，言不顺则事不成，所以，名不正则事不成。由2个假言命题和1个选言命题组成的推理。如果你娶到一个好老婆，你会获得人生的幸福。如果你娶到一个坏老婆，你会成为一个哲学家。你或者娶到好老婆，或者娶到一个坏老婆，所以，你或者获得人生的幸福，或者成为一个哲学家。第四节假言命题及其推理假言选言推理(二难推理)

假言选言推理（二难推理）分类：简单构成式、简单破坏式、复杂构成式、复杂破坏式pr¬prp∨¬p∴rpqpr¬q∨¬r∴¬ppqrsp∨r∴q∨

s简单构成式结论不带析取肯定前件式前件不同后件同简单破坏式结论不带析取否定后件式后件不同前件同复杂构成式结论带析取肯定前件式前后件均不同pqrs¬q∨¬s∴¬p∨

¬r复杂破坏式结论带析取否定后件式前后件均不同[案例]聪明的苏特拉斯第四节假言命题及其推理聪明的苏特拉斯遇见年轻的苏丹国王说：“陛下，您知道不知道我是全国最会撒谎的人？国王摇头说：“如果你能使我相信你说的谎话，那我就给你一磅金币。”苏特拉斯说：“陛下，这一磅金币我拿定了。听好啦，我现在开始撒谎。在三十年前，我的父亲和您的父亲老国王陛下在一个风雨交加的夜里，两人闲得无聊赌起钱来，结果您的父亲老国王陛下输了，当时向我父亲借一磅金币，后来这两位老人家先后去世，这个钱一直没有还。”国王气得跳起来说：“胡说，你撒谎。”请用逻辑知识分析苏特拉斯为什么这么肯定地说这一磅金币我拿定了。[案例]聪明的苏特拉斯苏特拉斯是用二难推理来得出结论的，其推理如下：如果你信我是说谎，则按约定给我一镑金币如果你不信我是说谎，则按法律给我一镑金币你或信，或不信总之，你得给我一镑金币P：你信我是说谎，q:按约定给我一镑金币，r:按法律给我一镑金币推理形式如下：pq¬prp∨¬p

∴q∨r[分析][案例]聪明的苏特拉斯二难推理案例1如果加息力度过大，势必影响经济增长；如果加息力度过小，又难以抑制物价上涨势头。这不惟对中国央行是这样，即使各国央行也经常处在相似的夹缝中，左右为难。中国人民银行日本中央銀行——日本銀行大樓。美联储总部农产品降价，农民苦；农产品涨价，农民也得不到什么好处。有评论指出：农产品进入市场的过程中，中间环节太多，市场上的农产品涨价了，农民鲜能从中得益，挣钱的是中间环节；农产品价跌了，亏的也是农民。（王学良文，2007年6月21日，来源：文摘报）二难推理案例2破斥错误的二难推理推理形式评估前提审查（充分条件存在否？选言支穷尽否？）构造相反的二难推理例：如果天气过热，那么人会难受；如果天气过冷，那么人也会很难受；天气或者过热或者过冷；总之，人都会很难受。无效推理式第四节假言命题及其推理如果欧提勒士这场官司胜诉，那么按合同的约定，他应付给我另一半学费。

如果欧提勒士这场官司败诉，那么按法庭的判决，他也应付给我另一半学费。

这场官司或胜诉或败诉。

所以他应付给我另一半学费。

推理形式：pqrs

p∨r

q∨s半费之讼如果我这场官司胜诉，那么按法庭的判决，我不应付给他另一半学费。

如果我这场官司败诉，那么按合同的约定，我也不应付给他另一半学费。

我这场官司或胜诉或败诉。

所以我不应付给他另一半学费.

推理的形式：pq

rs

p∨r

q∨s普罗达哥拉斯的“二难推理”欧提勒士的“二难推理”负命题：否定某个命题的命题。(1)并非选修逻辑的学生都是文科生。(2)如果它是三角形，则内角和等于180°，这个观点不对。负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。第一节负命题及其推理负命题：否定某个命题的命题。逻辑形式：并非P

自然语言：并非；并不是；是假的；是不对的逻辑性质：负命题的真假与被否定的命题的真假是相反的。

p

p

FT

TF第一节负命题及其推理p

第一节负命题及其推理负命题推理逻辑性质：负命题的真假与被否定命题的真假是相反的.推理有效式：1.双重否定引入规则¬¬+2.双重否定消去规则¬¬-例：小王是有优点的。所以，小王不是没有优点的。P¬¬P联言命题负命题推理¬（p∧q）（¬p∨¬q）否定合取得析取，分配否定到变项充分条件假言命题负命题推理相容选言命题负命题推理不相容选言命题负命题推理¬（p∨q）（¬p∧¬q）否定析取得合取，分配否定到变项德摩根定律．．¬(p▽

q)（p∧q）∨(¬p∧¬q)¬（pq）（p∧¬q）必要条件假言命题负命题推理充要条件假言命题负命题推理¬（pq）（¬p∧q）¬（pq）（p∧¬q）∨（¬p∧q）负命题的负命题推理¬（¬p）p负命题的等值推理第一节负命题及其推理真值联结词：反映复合命题与支命题之间真假关系的联结词。五个基本的真值联结词：¬

∧∨

真值形式：由真值联结词构成的复合命题与复合推理的推理形式。如：pq，p∧q

q真值联结词和真值表真值表：显示一个真值形式在它的命题变项的各种真值组合下所取真值的图表。命题变项的真值组合情况的数量与命题变项的数量有关。

n个命题变项可能有的真假组合是2n个。运用真值表，可以判定任一真值形式是否为:重言式、矛盾式、可满足式。真值联结词和真值表复合命题形式根据其真假情况可分成三种。1、重言式指常真的式子，也就是无论命题变项如何赋值（即变项无论为真还是为假），它总是真的。如，p→p就是个重言式。2、矛盾式指常假的式子，也就是无论命题变项如何赋值，它总是假的，如，p∧¬p就是个矛盾式。3、可满足式指可真可假的式子，也就是在命题变项赋值中，复合命题公式可能为真，也可能为假。如，p∧q就是个可满足式。真值联结词和真值表

重言式反映逻辑规律，是进行正确推理的依据，所以逻辑学特别关注重言式。在现代逻辑中，复合命题推理形式可以表达成一个蕴涵式，蕴涵式的前件是各个前提的命题形式的合取式，其后件是结论的命题形式，一切正确的推理形式均表现为重言式。因此，要判定推理是否有效，只需判定其推理蕴涵式是否为重言式。

判定方法主要是真值表法。真值联结词和真值表第一，找出给定真值形式里的所有变项，列出这些变项的各种真值组合情况。[例1]：（p→q∧q）

p其中变项为p、q，其真值组合情况为：pqFFFTTFTT真值联结词和真值表（真值表中“T”表示真，“F”表示假。）真值表法的判定程序有三个步骤。P

q

p

q

q∧q

p→q∧q

(p→q∧q)→p

FFFTTFTT

第二，式子的构成过程，由简到繁地列举出该式子的各个组成部分，最后为该式子本身。以[例1]为例：（p→q∧q）

p(1)(2)(3)(4)(5)真值联结词和真值表P

q

p

q

q∧q

p→q∧q

（p→q∧q）→p

FFTTFTTFTTFFTTTFFTFFTTTTFFFT

第三，根据五个真值联结词的性质，一步步地计算出每个组成部分的真值，最后得出该式子的真值。如果这个式子在各种情况下都是真的，就判定它是重言式，否则就判定它不是重言式。

仍以[例1]为例：（p→q∧q）

p

真值联结词和真值表由真值表可知，（p→q∧q）

p在命题变项各种组合中取值都为真，所以该式子是重言式。练习：判定下列公式是否是重言式：p→p，p∧p，p∧p。解：用真值表法判定如下：p

p

p→p

p∧p

p∧p

FTTFFTFTTF可见，p→p为重言式，而p∧p是可满足式，p∧p是矛盾式。真值联结词和真值表简化的真值表——归谬赋值法：

先假定要判定的真值形式的值为假，然后一一赋值，如果出现矛盾情况，则说明假设不成立，原真值形式为真，真值形式为重言式，否则不为重言式。解：用归谬赋值法进行判定：p∧qp∨q0101100例：试判定真值形式p∧qp∨q是否为重言式。上述真值形式的赋值中，p既真又假，q既真又假，矛盾，原真值形式为重言式。真值联结词和真值表重要的重言等值式1.空全律p∧0=0p∧1=pp∨0=pp∨1=12.矛盾律p∧

p=0p∨p=1

3.幂等律p∧p=pp∨p=p4.双否律p=p5.交换律p∧q=q∧pp∨q=q∨p6.结合律p∧(q∧r)=(p∧q)

∧r

p∨(q∨r)=(p∨q)∨r

7.分配律p∧(q∨r)=(p∧q)

∨(p∧r)

p∨(q∧r)=(p∨q)∧(p∨r)

8.蕴涵律p→q=

p∨q9.蕴否律(p→q)=p∧

q

10.德摩根律

(p∧q)=p∨q

(p∨q)=p∧q重要的重言等值式11.等值律p↔q=

(p→q)∧(q→p)=(p∨q)

∧(q∨p)

p↔q=

(p∧q)∨(p∧q)12.加元律p=p∧(q∨q)p=p∨(q∧q)13.吸收律p∧(p∨q)=pp∨(p∧q)

=p14.并项消去律(p∧q)

∨(p∧q)=p

(p∨q)∧(p∨q)=p15.反项吸收律p∧(

p∨q)=p∧qp∨(

p∧q)=

p∨q重要的重言等值式练习：列出A、B两命题的真值表，并回答当A、B恰有一个为假时,某公司是否录用小黄?是否录用小林?

A：如果某公司录用小黄，那么就不录用小林。

B：某公司没有录用小黄。

(p：某公司录用了小黄，q：某公司录用了小林）

当A、B恰有一个为假时，p真q假，即录用小黄，不录用小林。命题练习：列表说明，在大王与小李不同时上场比赛的已知条件下，（1）“如果大王不上场，那么小李上场比赛”与（2）“要么大王不上场比赛，要么小李不上场比赛”的真假情况是否相同。

（令p:“大王上场比赛”，q:“小李上场比赛”）

已知条件：p，q不同时为真。（1）

p→q（2）

p▽

q真值表的方法判定：

pqp

q

p→q

p▽

qＴＴFＦＴＦＴＦFＴＴＴＦＴTＦＴＴＦＦTＴＦＦ可见，当满足条件时，命题（1）和（2）是等值的，即是可同真同假的。一、什么是命题自然推理

所谓自然推理，就是从给定的前提出发，运用推理的有效式即根据推理规则进行的推理。自然推理和公理化推理不同，它不预设公理，只是根据规则，从给定的前提出发得出结论。这似乎更符合人们日常思维的习惯，因此，称之为自然推理。自然推理是判定推理形式是否有效的又一种方法，也是指导有效推理的一种方法。自然推理的基本思想是确定一些推理规则，依据这些规则，从真前提只会推出真结论。第五节命题逻辑的自然推理系统NP因此，当我们要判定一个推理是否有效时，就要从前提出发，依据推理规则，能否形式地推出预期的结论。如果能推出，就说明该推理如果前提真，结论就一定真，因而是有效的；反之，如果推不出，则说明该推理即使前提真，结论也不一定真，因而是无效的。同时，这些具有保真性的推理规则，也可以指导我们从给定的前提进行有效的推导。自然推理并不仅用于判定和指导命题推理。当我们运用它来判定和指导复合命题推理时，就称之为命题自然推理。第五节命题逻辑的自然推理系统NP二、命题自然推理的基本规则（Ｐ140-141页）（一）基本推导规则（二）常用派生规则（三）等值转换规则第五节命题逻辑的自然推理系统NP第五节命题逻辑的自然推理系统NP（一）基本推导规则（p，q）→p∧q1、合取引入规则∧+p∧q→pp∧q→q2、合取消去规则∧-(p∨q)∧

¬p→q(p∨q)∧¬q→p3、析取消去规则∨-p→

p∨q4、析取引入规则∨+q

→

p∨q5、蕴涵引入规则→

+(条件证明规则)(pq)∧pq6、蕴涵消去规则→

-

7、否定消去规则﹁

-

∨的运算规律∧和∨的混合运算规律(1)∧对∨的分配律:p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)(2)∨对∧的分配律：p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)(3)吸收律：p∧(p∨q)pp∨(p∧q)p(4)德·摩根律：¬(p∧q)¬p∨¬q¬(p∨q)¬p∧¬q第三节选言命题及其推理(1)∨的交换律：p∨qq∨p，(2)∨的结合律：p∨(q∨r)(p∨q)∨r(3)∨的重言律：p∨p

p。例：请证明以下推论是有效的。

Ｊ∨Ｋ→Ｎ

Ｍ

Ｎ→Ｍ∴Ｋ第五节命题逻辑的自然推理系统NP三、直接证明在推理规则的控制下，不借助假设，只根据已知前提逐步得出结论的证明方法。证明:(1)Ｊ∨Ｋ→Ｎ(2)Ｍ

(3)Ｎ→Ｍ(4)N(5)(Ｊ∨Ｋ)(6)Ｊ∧Ｋ(7)Ｋ上述表明推论有效。(2)(3)否后(1)(4)否后(5)德摩根(6)∧-练习：证明以下推论是有效的。第五节命题逻辑的自然推理系统NP１.(P∨Q)∨R

P∨(Q∧P

）

∴Q→R2.H→Ｉ∧KＩ→Ｏ∨ＨＯ

∴Ｈ←→Ｉ证明：(1)(P∨Q)∨R(2)P∨(Q∧P

）

(3)P

(2)吸收(4)P∨

(Q∨R)(1)交换(5)Q∨R(3)(4)∨-

(6)Q→R(5)蕴析上述表明推论有效。证明：(1)H→Ｉ∧K(2)Ｉ→Ｏ∨Ｈ

(3)Ｏ

(4)Ｉ∨(Ｏ∨Ｈ)(2)蕴析(5)Ｏ∨(Ｉ∨Ｈ)(4)交换(6)Ｉ∨Ｈ(3)(5)∨-

(7)Ｉ→Ｈ

(6)蕴析(8)

H∨(Ｉ∧K)(1)蕴析(9)(

H∨Ｉ)∧(

H∨

K)

(8)结合(10)

H∨Ｉ(9)∧-(11)Ｈ→Ｉ(10)蕴析(12)Ｈ←→Ｉ(7)(11)等值上述表明推论有效。条件证明也可表达为如下模式：Pr前提Ｐ假设…Q由Pr或Ｐ推得的命题∴Ｐ→Q第五节命题逻辑的自然推理系统NP三、条件证明如果从前提Pr或假设Ｐ推出Ｑ，那么仅从前提Pr就可以推出Ｐ→Ｑ。[例]在一起凶杀案中，公安人员掌握了如下情况：（1）甲或乙是凶手；（2）如果甲是凶手，那么作案地点不在办公室；（3）如果丙的证词真实，则办公室里有枪声；（4）只有作案地点在办公室，丙的证词才不真实。公安人员因此得出：如果办公室里无枪声，那么凶手是乙不是甲.问：此推理是否有效？解：简单命题用符号表示如下：p：甲是凶手q：乙是凶手r：作案地点在办公室s：丙证词真实t：办公室里有枪声

前提:(1)p∨q(2)p→r(3)s→t(4)s

→r结论：t→p∧q第五节命题逻辑的自然推理系统NP

前提:(1)p∨q(2)p→r(3)s→t(4)s→r结论：t→p∧q证明如下：（5）t假设（6）s(3)(5)否后（7）r(6)(4)肯前（8）p

(2)(7)否后（9）q(1)(8)∨-

（10）p∧q(8)(9)∧+（11）t→p∧q(5)-(10)条件证明

行11是由前提合乎逻辑地推出的结论,这表明公安人员的推理有效。第五节命题逻辑的自然推理系统NP[练习]在一起集团作案中，侦查人员了解到如下情况：（1）甲和乙不同时作案；（2）如果丙作案，那么乙也作案；（3）如果丁作案，那么甲也作案；（4）或者戊和已不同时作案，或者丙作案。据此，侦查人员做出推断，如果丁和已一同作案，那么戊不会作案。问：这一推断正确吗？解：简单命题用符号表示如下：p：甲作案q：乙作案r：丙作案s：丁作案t：戊作案u：已作案

前提:(1)(p∧q)(2)

r→q

(3)

s→p(4)

(t∧u)∨r结论：(s∧u)→t第五节命题逻辑的自然推理系统NP

前提:(1)(p∧q),(2)

r→q,(3)

s→p,(4)

(t∧u)∨r结论：(s∧u)→t证明:（5）s∧u假设

（6）s(5)∧－

（7）p(3)(6)肯前（8）p∨q(1)德摩根（9）q(7)(8)∨-

（10）r(2)(9)否后（11）(t∧u)(4)(10）∨-

（12）t∨u(11)德摩根（13）u(5)∧－（14）t(12)(13)∨-

（15）(s∧u)→t(5)-(14)条件证明所以，侦查人员的推断正确。条件证明也可表达为如下模式：Pr前提

Ｐ假设…Q∧Ｑ由Pr或假设推出的逻辑矛盾∴Ｐ第五节命题逻辑的自然推理系统NP三、反证法如果从前提Pr和假设Ｐ推出Ｑ∧Ｑ，那么仅从前提Pr可以推出Ｐ。证明如下:(1)Ｆ∨Ｎ前提(2)Ｎ→Ｂ∧Ｊ前提(3)Ｂ∨Ｆ→Ｄ前提(4)D假设

(5)(Ｂ∨Ｆ)(3)(4)否后(6)Ｂ∧Ｆ(5)德摩根(7)Ｆ(6)∧－(8)N(1)(7)∨-

(9)Ｂ∧Ｊ(2)(8)肯前

(10)B(9)∧－(11)Ｂ(6)∧－(12)Ｂ∧Ｂ(10)(11)∧+(13)D(4)-(12)反证法求证下面推论：

Ｆ∨ＮＮ→Ｂ∧ＪＢ∨Ｆ→Ｄ∴Ｄ[例1]：在一起凶杀案中，侦查人员了解到一些情况：（1）凶手是甲或乙或丙；（2）只有是盗窃杀人案，甲才是凶手；（3）如果是盗窃杀人案，那么被害人的财物会丢失；（4）如果乙是凶手，那么案件发生在中午12点以后；（5）案件发生在中午12点以前，并且被害人的财物没有丢失。问：谁是凶手？解：简单命题用符号表示如下：

p:甲是凶手q:乙是凶手

r:丙是凶手s:本案是盗窃杀人案

t:被害人的财物丢失u:案件发生在中午12点以后

已知前提:(1)p∨q∨r(2)p→s(