建筑力学-变形及刚度创新

第十九章弹性杆件基本变形的计算及刚度设计基础力学IIBasicMechanicsIIChapter16.DeformationCalculationandstiffnessofElasticBar1、杆的纵向总变形：3、平均线应变：2、线应变：单位长度的线变形。一、拉压杆的变形及应变拉压杆的变形(deformation)弹性定律拉压abcdL4、x点处的纵向线应变：6、x点处的横向线应变：5、杆的横向变形：拉压PPd´a´c´b´L1二、拉压杆的弹性定律1、等内力拉压杆的弹性定律2、变内力拉压杆的弹性定律内力在n段中分别为常量时※“EA”称为杆的抗拉压刚度。拉压PPN(x)dxx3、单向应力状态下的弹性定律4、泊松比（或横向变形系数）拉压三、是谁首先提出弹性定律

弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。“”胡：请问，弛其弦，以绳缓援之是什么意思?

郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦松开，另外用绳子松松地套住弓的两端，然后加重物，测量。

胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。

东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记·弓人》中“量其力，有三均”作了这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”(图)拉压

拉压郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说：郑又云假令弓力胜三石，引之中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三尺。其中”“两萧就是指弓的两端。一条“胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一个意思。您比我早1500中就记录下这种正比关系，的确了不起，和推测》一文中早就推崇过贵国的古代文化：目前我们还只是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认识，就将会在我们面前展现出一个迄今为止只被人们神话般地加以描述的知识王国”。1686年《关于中国文字和语言的研究真是令人佩服之至』我在C'1、怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量△Li，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。例1小变形放大图与位移的求法。拉压ABCL1L2PC"2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系拉压ABCL1L2B'解：变形图如图2，B点位移至B'点，由图知：例2设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设P=20kN，试求刚索的应力和C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。解：方法1：小变形放大图法1）求钢索内力：以ABCD为对象2)钢索的应力和伸长分别为：拉压800400400DCPAB60°60°PABCDTTYAXA拉压CPAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'C3）变形图如左图,C点的垂直位移为：拉压杆的弹性应变能

(strainenergy)一、弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存

与杆内，这种能成为应变能（StrainEnergy）用“U”表示。二、拉压杆的应变能计算：

不计能量损耗时，外力功等于应变能。内力为分段常量时

拉压N(x)dxx三、拉压杆的比能u：

(strain-energydensity)

单位体积内的应变能。拉压N(x)dxxdxN(x)N(x)解：方法2：能量法：（外力功等于变形能）（1）求钢索内力：以ABD为对象：拉压例3设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设P=20kN，试求刚索的应力和C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。800400400CPAB60°60°PABCDTTYAXA（2)钢索的应力为：（3)C点位移为：拉压800400400CPAB60°60°能量法：利用应变能的概念解决与结构物或构件的弹性变形有关的问题，这种方法称为能量法。拉压超静定问题及其处理方法1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力

（外力、内力、应力）的问题。一、超静定问题及其处理方法拉压2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。例4

设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、L3=L

；各杆面积为A1=A2=A、A3；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。拉压CPABD123解：、平衡方程:PAN1N3N2几何方程——变形协调方程：物理方程——弹性定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:拉压CABD123A1平衡方程；

几何方程——变形协调方程；

物理方程——弹性定律；

补充方程：由几何方程和物理方程得；

解由平衡方程和补充方程组成的方程组。拉压3、超静定问题的方法步骤：例5木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和[]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa和E2=10GPa；求许可载荷P。几何方程物理方程及补充方程：解：平衡方程:拉压PPy4N1N2PPy4N1N2拉压解平衡方程和补充方程，得:求结构的许可载荷：

方法1:角钢面积由型钢表查得:A1=3.086cm2所以在△1=△2的前提下，角钢将先达到极限状态，即角钢决定最大载荷。求结构的许可载荷：另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？若将木的面积变为25mm，又怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着。拉压方法2:、几何方程解：、平衡方程:2、静不定问题存在装配应力。二、装配应力——预应力1、静定问题无装配应力。拉压如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。ABC12ABC12DA13、物理方程及补充方程：、解平衡方程和补充方程，得:d拉压A1N1N2N3AA11、静定问题无温度应力。三、装配温度如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为i;△T=T2-T1)拉压ABC12CABD123A12、静不定问题存在温度应力。拉压CABD123A1、几何方程解：、平衡方程:、物理方程：PAN1N3N2拉压CABD123A1、补充方程解平衡方程和补充方程，得:

拉压aaaaN1N2例6

如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃

时被固定,杆的上下两段的面积分别

=cm2，

=cm2，当温度升至T2

=25℃时,求各杆的温度应力。

(线膨胀系数=12.5×；

弹性模量E=200GPa)、几何方程：解：、平衡方程：、物理方程解平衡方程和补充方程，得:、补充方程、温度应力拉压扭转§3–5等直圆杆在扭转时的变形·刚度条件一、扭转时的变形由公式知：长为l一段杆两截面间相对扭转角

为扭转二、单位扭转角：或三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。[]称为许用单位扭转角。扭转刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。扭转[例7]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径扭转40NmxT代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度扭转40NmxT③右端面转角为：[例8]某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？扭转解：①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)扭转由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)扭转

综上：②全轴选同一直径时扭转

③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才

为75mm。Tx–4.21(kNm)2.814扭转§3–6等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；几何方程——变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。①②③④⑤扭转[例9]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解：①杆的受力图如图示，

这是一次超静定问题。

平衡方程为：扭转②几何方程——变形协调方程③综合物理方程与几何方程，得补充方程：④由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。扭转§3–7等直圆杆在扭转时的应变能一、应变能与能密度acddxbdy´´dzzxy单元体微功：应变比能：扭转二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1.应力的计算=+tQtTQT近似值：PQT扭转2.弹簧丝的强度条件:精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）其中：称为弹簧指数。称为曲度系数。扭转3.位移的计算(能量法）外力功：变形能：扭转[例10]圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直径为：d=18mm，受拉力P=500N的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若G=82GPa，欲使弹簧变形等于6mm，问：弹簧至少应有几圈？解：①最大剪应力的近似值：扭转②最大剪应力的精确值：③弹簧圈数：（圈）扭转§3–8非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。扭转一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。三、矩形杆横截面上的剪应力:

h³bht1T

t

max注意！b1.剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）扭转2.最大剪应力及单位扭转角h³bht1T

t

max注意！b其中：其中：It—相当极惯性矩。扭转注意！对于Wt

和It，多数教材与手册上有如下定义：查表求和时一定要注意，表中和与那套公式对应。h³bht1T

t

max注意！b扭转[例11]一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h=100mm，

b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶T=4000N·m的作用，钢的G=80GPa，[]=100MPa，[]=1º/m，试校核此杆的强度和刚度。解：①查表求、②校核强度扭转③校核刚度综上,此杆满足强度和刚度要求。弯曲变形材料力学概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分求梁的挠度与转角的共轭梁法按叠加原理求梁的挠度与转角梁的刚度校核弯曲变形梁内的弯曲应变能简单超静定梁的求解方法梁内的弯曲应变能概述弯曲变形研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。与f

同向为正，反之为负。

2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。

二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：

v=f(x)三、转角与挠曲线的关系：弯曲变形一、度量梁变形的两个基本位移量小变形PxvCqC1f梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程式（2）就是挠曲线近似微分方程。弯曲变形小变形fxM>0fxM<0对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分弯曲变形2.位移边界条件PABCPD讨论：①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。支点位移条件：连续条件：光滑条件：弯曲变形例1求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数弯曲变形解：PLxf写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角弯曲变形xfPL解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分弯曲变形xfPLa应用位移边界条件求积分常数弯曲变形PLaxf写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角弯曲变形PLaxf求梁的挠度与转角的共轭梁法一、方法的用途：求梁上指定点的挠度与转角。二、方法的理论基础：相似比拟。上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求弯矩与剪力的问题。弯曲变形三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）：①x轴指向及坐标原点完全相同。②几何形状完全相同。③实梁对应方程：⑤虚梁“力”微分方程的积分弯曲变形④虚梁对应方程：下脚标带“0”的量均为坐标原点的量。实梁“位移”微分方程的积分⑥依实梁的“位移”边界条件建立虚梁的“力”边界条件。弯曲变形中间铰支座A弯曲变形固定端AA固定端AA自由端AA自由端AA铰支端AA铰支端AA中间铰支座A中间铰A中间铰A总结：等截面实梁与虚梁的关系如下：①

x

轴指向及坐标原点完全相同。②几何形状完全相同。④依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。⑤依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。弯曲变形a：固定端自由端b：铰支座铰支座c：中间铰支座中间铰链③解：

建立坐标和虚梁例2求下列等截面直梁B点的位移（挠度和转角）。求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度求实梁的弯矩方程以确定虚梁荷载弯曲变形qLABfxABL求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度弯曲变形ABLB点之矩解：

建立坐标和虚梁求虚梁B点的剪力和弯矩求实梁的弯矩方程以确定虚梁荷载qqa2qaABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+弯曲变形aaafxD求虚梁B点的剪力和弯矩C点左右位移怎样？弯曲变形qa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+ABCaaaDqa2/23qa2/8①将截面的变化折算到弯矩之中去。②几何形状：长度不变，惯性矩变为I0。③实梁对应方程：虚梁对应方程：四、变截面直梁的共轭梁法：其它与等截面直梁完全相同。弯曲变形④例3求下列变截面直梁C点的位移，已知：IDE

=2IEB

=2IAD

。解：

建立坐标和虚梁弯曲变形aaP0.5aABCDExfxM弯曲变形aaP0.5aABCDExfxM求虚梁C点的剪力和弯矩按叠加原理求梁的挠度与转角一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形

等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。二、结构形式叠加（逐段刚化法）：弯曲变形例4按叠加原理求A点转角和C点

挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。弯曲变形qqPP=+AAABBB

Caa弯曲变形qqPP=+AAABBB

Caa叠加例5按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。叠加弯曲变形q00.5L0.5LxdxbxfC例6结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+弯曲变形PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxffPL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMxf梁的刚度校核一、梁的刚度条件其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：

、校核刚度：

、设计截面尺寸；、设计载荷。弯曲变形(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例7下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,试核此杆的刚度。=++=弯曲变形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++图1图2图3解：结构变换，查表求简单

载荷变形。弯曲变形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=++图1图2图3弯曲变形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf叠加求复杂载荷下的变形校核刚度弯曲变形dxxQQ+dQMM+dM一、弯曲应变能的计算：梁内的弯曲应变能

弯曲变形应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去dqM(x)P1MxfP2dxdqr例8

用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？弯曲变形Paaqxf二、梁的冲击问题1.假设：

冲击物为钢体；

不计被冲击物的重力势能和动能；冲击物不反弹；

不计声、光、热等能量损耗（能

量守恒）。

弯曲变形mgLhABCABCxffd弯曲变形冲击前、后，能量守恒，所以：ABCxffdhBACmgE=P三、动响应计算：解：求C点静挠度动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积.例9结构如图，AB=DE=L，A、C分别为AB和DE的中点，求梁在重物mg的冲击下，C面的动应力。C1A1

D弯曲变形LC2动荷系数求C面的动应力弯曲变形hBACmgE=PC1A1DLC2简单超静定梁的求解方法1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：建立静定基确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构——静定基。=弯曲变形q0LABLq0MABAq0LRBABxf几何方程——变形协调方程+弯曲变形q0LRBAB=RBABq0AB物理方程——变形与力的关系补充方